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请教数学题

请教：
1、一个六位数，把它的末三位一起搬到前三位的前面，成为一个新的六位数，而原来的那个六位数的7倍正好等于新的六位数的6倍。原来的六位数是多少？

2、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

3、有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数。已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88、85、80分，最低分是30分。又知道没有与前三名得分相同的学生，其他任何一个分数，得到这个分数的都不超过3人。那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少名？.

1,    设这个6位数的前三位组成的三位数是 a,  后三位数组成的三位数是b
则这个数就等于 1000a+b,   前后颠倒以后 就是  1000b+a
根据条件则  7×(1000a+b)=6×(1000b+a)
进而得出6994a=5993b
a和b都是3位数，所以如果两个乘数都是三位数，a和b就很好求了
穷举法试一下 6994和 5993的公约数（这个一般都不会太大）
得出13是公约数， 两边都除以13后得  461a=538b
所以 a=538  b=461 就满足条件
所以原来的六位数是   538461.

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2. 这道题有点难度，应该是初中以上的竞赛题吧？否则有点恶心的……

设满足条件的数是N 因为是11的倍数，设N=11×S

当S是1位数的时候，显然不可能数字和是13
当S是两位数的时候，设S=10a+b （a,b都是0-9的一位数整数 a当然不能是0）
则 N=11×S=10×(10a+b)+(10a+b)=100a+10(a+b)+b
因为 a b c都是一位数的整数，所以如果  a+b<10 (即10位上没有进位)，则 N 的百、十、个位就分别是 a ,a+b,b  则各位只和就是2a+2b ，不可能=13
所以10位上一定有进位  ，所以N的百、十、个位上就分别是 a+1, a+b-10,b,  各位只和就是 a+1+a+b-10+b=13
所以 a+b=11
这样 a=2,b=9;  a=3,b=8 ... ... a=8,b=3 都是满足条件的；   a=9,b=2的时候，因为a+1百位也进位了，所以不满足条件；共7个

当S是三位数的时候 ，设 S=100a+10b+c(同上 ，a,b,c都是0-9的一位数整数 a当然不能是0)
则 N=11×S=10(100a+10b+c)+(100a+10b+c)=1000a+100(a+b)+10(b+c)+c

同理，如果各位都没有进位  则N的千、百、十、个位分别是a,a+b,b+c,c  各位只和等于13则 2(a+b+c)=13 不可能
所以一定有进位， 不论十位还是百位进位，同上 结论都可以得出 a+b+c=11
但是如果百位和十位都进位， 则N的千、百、十、个位分别是a+1,a+b+1-10,b+c-10,c 得出2(a+b+c)=31 不可能
所以结论就是 有且只能有一个位子有进位。

N<5000 所以 a<=4   枚举法从a=1开始测试

当a=1时  b+c=10   所以 b=1,c=9;b=2,c=8; b=3,c=7;.....b=7,c=3; 都满足  ，  b=8,c=2时， 十位、百位都进位了，所以不满足，共7个
当a=2时  b+c=9  所以 十位不可能进位，只有在百位上进位，所以只有b=8 c=1,b=9 c=0 满足  共2个
当a=3时  b+c=8  同理，十位不可能进位，只有在百位上进位。 b=7,c=1;b=8,c=0 满足 共2个
当a=4时， b+c=7 ;   b=6,c=1;b=7,c=0;  但是 461×11已经大于5000所以不算了
综上共  18个

答案对不？比较绕，中间算错也有可能，呵呵。不过思路应该是对的。
不知道还有没有更简单、直接的算法，同求！

[[i] 本帖最后由 淘淘妈妈971 于 2009-8-17 21:07 编辑 [/i]].

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3、有若干学生参加数学竞赛，每个学生的得分都是整数。已知参赛学生所得的总分是4729分，并且前三名的分数分别是88、85、80分，最低分是30分。又知道没有与前三名得分相同的学生，其他任何一个分数，得到这个分数的都不超过3人。那么在这次竞赛中得分不低于60分的学生至少有多少名？

先扣掉前三名的分数 4729-88-85-80=4476分
求不低于60分的学生至少多少名，不少于60分至少的情况，即低于60分的最多的情况；最低分30分，每个分数不超过3人，则低于60分最多的情况就是从30-59，每个分数都3个人，共(30+59)×30/2×3=4005
即低于60分的之多4005分，总分剩下4476，则不低于60分，不在前三名的学生的分数只和是4476-4005=471分

不低于60分的学生人数最少的情况，在总分确定时，应尽量每个人的得分最高的情况；
即从最高分79开始往下排，每个分数都有3个人
471分数字不大，枚举尝试即可
79×3=237  剩余 234
78×3=234  正好分光

所以本次比赛，不低于60分的人至少 9个人（三个最高分前三名，3个79的，3个78的）.

谢谢帮助！[tt7].

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小学生可以试试，从被11整除的性质入手会简单点，数字和是13，被11整除，那么奇数位的数字和与偶数位的数字和的差只能是11（因为13是奇数，所以0不可能），那么12-1=11，两种情况：
1）奇数位是1，偶数位和是12，该数一定是1X0X，12=3+9=4+8=5+7=6+6，共2×3+1=7个
2）偶数位是1，奇数位是12，该数一定是X0X1或X1X0，同样有7×2=14个
3）由于要小于5000，所以减去首位是9、8、7、6、5的5×2=10个
共有14+7-10=11个
再看3位数，必然是X1X，共7个，
所以11+7=18
思路大致如此，没细想可能有疏漏，供参考。

[[i] 本帖最后由 smartwxc 于 2009-8-17 18:09 编辑 [/i]].

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不是老师，呵呵，只是小时候学过

11整除的特性是奇数位数字和和偶数位数字和的差是0或11，这个定律以前还真不知道。

有了这个，就容易多了：）

我的方法麻烦多了[tt12] [tt19]

少算了一个是 a=1 b+c=10,这里 b=1,c=9也可以，不知道算的时候怎么漏掉了，嘎嘎。.

不可错过..

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