查看完整版本: 急!求教二道五年级奥数

急!求教二道五年级奥数

1.有n个整数，其积为n，和为0。求证:数n能被4整除。
2.在1，2，3，4，。。。，98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与两个整数的差的积的数的个数有多少个？.

2. 首先证明所有的奇数都满足条件

奇数可以用2n+1来表示 2n+1=(n+1+n)(n+1-n)   n>=0   n=0的时候，这个数是1 ，1可以看作 1和0的和乘以1和0的差

然后证明偶数的。偶数如果按照被4除余数来区分，只有被4整除或被4除余2两种；

两个自然数的和和两个自然数的差的奇偶性一定是一样的；
    都是奇数时，乘积是奇数，所有奇数都满足，这个刚才证明过了
    都是偶数是，乘积是偶数，而且两个偶数的乘积一定是4的倍数 ，所以证明了被4除余2的数不满足条件；
   
现在来证明所有4的整数倍的自然数都满足条件即可。

4的整数倍的数可以表示为 4n  4n=((n+1)+(n-1))×((n+1)-(n-1))
即两个整数的和乘以两个整数的差， n=1的时候， 4=(2+0)×(2-0)

综上 所有自然数中，奇数一定满足条件，如果是偶数则，被4整除的一定满足条件，其余被4除余2的，不满足条件。

1-98个数中，被4除余2的共 （98-2）/4+1= 25个
所以满足条件的共98-25=73个

[[i] 本帖最后由 淘淘妈妈971 于 2009-8-11 17:04 编辑 [/i]].

第一个题蛮拗的

证明的是n是4的整数倍

先来证明n不可能是奇数，假设n是奇数：
    1、 n个数的积是n>0 ,和是0 ，说明n个数里面有正数、有负数。 而且负数的个数一定是偶数个。
    2、 如果n是奇数， 而负数的个数是偶数个，所以正数的个数是奇数个
    3、 因为n是奇数，所以n个数都只能是奇数（负数就看绝对值）
    4、 结合上述条件   负数是 偶数个奇数； 正数是奇数个奇数； 这样的话  不可能n个数的和是0.
再来证明n不可能被4除余2，假设n被4除余2：
    1、 则n可以表示为n=4b+2=2(2b+1),即n个自然数中，只能有1个偶数，其余都是奇数。（负数就看绝对值）
    2、 n是偶数，负数的个数一定是偶数个，所以正数的个数也一定是偶数
    3、 因为n个自然数中只有1个是偶数，如果这个偶数是正数，则正数里面有1个偶数，奇数个奇数；而负数里面有偶数个奇数，这样，和不可能是0；对于偶数是负数的话，同理。

综上，n不可能是奇数，也不可能是被4除余2，所以n一定是被4整除即4的整数倍。.

谢谢.

回复 2#淘淘妈妈971 的帖子

*** 该贴被屏蔽 ***

你是传说中的吉祥老师哇？久仰大名，嘿嘿～

不过我觉得用奇偶性来说明，只能说满足条件的一定是4的倍数或者奇数才行

但是还需要证明每个4的整数倍或者奇数都满足，才能得出结论。.

学习.

厉害的人真多，俺看得头都大了。.