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奥数

[em19] 请哪个高人帮忙解一下，要过程。[em19]
将15×15的正方形方格表涂上红色、蓝色或绿色，证明至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。（要证明过程）

[[i] 本帖最后由 Marya 于 2009-3-6 21:39 编辑 [/i]].

是每行都要有3种颜色吗？还是可以缺1－2种？.

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[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-3-6 20:17 编辑 [/i]].

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[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-3-6 20:18 编辑 [/i]].

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不好意思看错题目了。正方形的话应该这样证明。
第1步 首先如果某种颜色R满足任意两行中都没有相同数量的话，那么把该种颜色在横行中的每行的个数从小到大排序，这个序列一定要满足以下条件：
   a   不能有相邻的两个数的差为0，（这样就相等了）
   b  不能有相邻的两个数的差大于等于2，（这样多出来的这几格的竖行中该颜色R的格子数相等。即第m横行如果比第n横行的R色格子多2个，不妨设这多的两个格子一个是mp格一个是mq格。第p竖行中R颜色格子数为比第m横行涂R格子数更多的横行个数加上1（mp格），而第q竖行中涂R颜色格子数为比第m横行涂R格子数更多的横行个数加上1（mq格），两者相等。）
   所以横行中每行涂R的格子个数一定为1，2，3，4，5，，，15.（第1种情况）或者是0，1，2，，，14.（第2种情况）。否则题目的结论被满足。
第2步 第1种情况考虑涂R的格子的补集格子，将它们同样按横行中的每行个数从小到大排序，则为0，1，2，3，4，，，14。
  我们考虑在横行补集格子中某种颜色G都没有相同数量，那么把该种颜色在横行补集格子中的每行的个数从小到大排序，这个序列一定要满足一下条件：
   a   不能有相邻的两个数的差为0，（这样就相等了）
   b  不能有相邻的两个数的差大于等于2，（这样多出来的这几格的竖行中该颜色R的格子数相等）
   并且在涂R色15格的那一横行中，G色的格子数为0。
   所以每个横行中涂G色的格子数一定是0，1，2，，，，14。否则题目的结论被满足。
   而此时，每个横行都没有最后那种颜色即B色，题目的结论被满足。
第3步 第二种情况也同样讨论。补集是1到15，G色格子数必为0，，，14。最后还是每个横行都没有B色，题目的结论被满足。

通过上述证明发现，这道题目只要边长数大于等于颜色数，结论就不变。

[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-3-6 21:06 编辑 [/i]].

又想了一下，你这个题目如果允许把任意两行中都没有某种颜色也算作某一种颜色的格数相同的话，实际上是很没有意思的。
因为，横行中R颜色只能取0到15中的15个数（否则有两个横行都没R），同样的结论适用于G色和R色。
那么，至少需要（0+。。。+14）*3个格子=315》15*15，得证。.

仔细看了题目，写错一个字，[em07] 现已改了，谢谢了[em01].