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日本竞赛题

[size=5]正七边形和正十二边形的每边长都是7，面积差是多少？[/size].

如果是愤青看到，一定会回贴说：日本题目，变态！

别无他意，开个玩笑。.

看来这到题目的确很难啊.

不难吧，程度好的初三学生应该会做这个问题。

答案是一个无理数。如果精确到0.1，后者与前者的面积差为370.5。.

回复 4#老姜 的帖子

问题是这道题目是给4年级的小朋友做的，还有就是能否把解答过程告诉我？.

[quote]原帖由 [i]xiaht_1220[/i] 于 2008-10-24 23:37 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3762223&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
问题是这道题目是给4年级的小朋友做的，还有就是能否把解答过程告诉我？ [/quote]
在1楼，你并没有说清楚题目考察的对象。果真如你所说，则这个问题已远远超出中国的（一般意义上的）小学4年级小朋友的认知水平，再讨论下去，是没有意义的。.

回复 4#老姜 的帖子

正多边形面积A=Ki*a^2
其中a---边长,Ki---系数,i指多边形的边数,
三边形 K3=0.433
四边形 K4=1.00
五边形 K5=1.72
六边形 K6=2.598
七边形 K7=3.614
八边形 K8=4.828
九边形 K9=6.182
十边形 K10=7.694
十二边形 K10=11.196
根据上述的公式,你就可以算出来了(本题答案是：368.6).

[quote]原帖由 [i]ITmeansit[/i] 于 2008-10-25 15:47 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3763525&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
正多边形面积A=Ki*a^2
其中a---边长,Ki---系数,i指多边形的边数,
三边形 K3=0.433
四边形 K4=1.00
五边形 K5=1.72
六边形 K6=2.598
七边形 K7=3.614
八边形 K8=4.828
九边形 K9=6.182
十边形 K10=7 ... [/quote]
K7=3.6339，K12=11.196

答案精确到0.1是370.5。.

正n边形相关计算系数

正n边形相关计算系数
名称   面积     内切圆半径  外切圆半径
正三角形 0.433a^2    0.289a   0.577a
正方形 1.000a^2       0.500a   0.707a
正五边形 1.720a^2   0.688a   0.851a
正六边形 2.598a^2   0.866a   1.000a
正七边形 3.634a^2   1.038a   1.152a
正八边形 4.828a^2   1.207a   1.307a
正九边形 6.182a^2   1.374a   1.462a
正十边形 7.694a^2    1.539a   1.618a
正十一边形 9.364a^2 1.703a   1.776a
正十二边形 11.196a^2 1.866a   1.932a.

回复 6#老姜 的帖子

这道题目是今年亚太地区数学比赛的培训题，是针对四年级学生的，如果说讨论无意义的话，那么在这里开设的很多话题都是远远超出中国的（一般意义上的）小学4年级小朋友的认知水平，这个版块也可以删去了。.

回复 7#ITmeansit 的帖子

谢谢，研究中…….

删

[[i] 本帖最后由 老姜 于 2008-10-26 00:21 编辑 [/i]].

简单点理解，就是周长7x12=84与周长7x7=49的两个圆的面积差。
计算结果是4655/(4x3.14)=370.6.

边数越多越准确，
最初的pai就是这么求的。.

[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-10-25 22:55 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3765036&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
简单点理解，就是周长7x12=84与周长7x7=49的两个圆的面积差。
计算结果是4655/(4x3.14)=370.6 [/quote]
经echooooo这么一点破，出这道题目的人还是有点想法的。把“正7边形”和“正12边形”想象成“圆”，虽说显得有点“夸张”（毕竟边数太少了，如此操作误差是多少，一开始谁能说得清？），但歪打而正着，最终的答案居然还很接近精确值，这就是硬道理。似乎没得说了，赶紧鼓掌。：）

然而，歪打而正着，并不等于“不正”的方法就能被扶正。echooooo指出，他的这种解法，当边数不是足够大的时候，误差还是很大的。其实[b][color=Red]影响误差的除了边数，还有圆周率的精确度，还有边长。[/color][/b]日本人给的正多边形的边长是7，这是很具欺骗性的，因为不严谨的方法的答案那么接近精确值，自然就能堵住众多反对者的嘴，也使更多的不明就里的人信以为是。我们设想，如果边长不是7，而是700，这时误差就被“放大”了，这时正确的答案（精确到0.1）是[b][color=Red]3705497.6[/color][/b]，echooooo方法的答案（精确到0.1）是[b][color=Red]3706210.2[/color][/b]，这种不严谨的方法的“破绽”也就显露无疑。

[b][color=Navy]把“割圆术”和“极限”的思想引入小学竞赛本无可非议，甚至还颇有新意，但在问题的设计上要谨慎，不能因为拥有评分的“解释权”而“玩出火”。[/color][/b]如果把边数加大，并且改为选择题，似乎比较妥贴。我把题目修改如下，抛砖引玉，不怕同行和有识之士见笑。

设边长为1的正271边形与边长为1的正205边形的面积之差为S，则S与下列整数中的最接近的是（    ）
A.2400  b.2450  c.2500  D.2550  E.2600

[b][color=Navy]总之，撇开这道题目解法上的严谨性不谈，这种解法本身还是值得玩味的。在此，谢谢楼主为大家提供了这样一个争论的话题。[/color][/b]=======================================================================================================

这位老姜很久没有露脸了，来，笑一个。
[attach]202817[/attach]

数学不是我的全部，欢迎光临老姜博客选——姜汁姜味的生活：
[url]http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4396041&extra=&page=11[/url]。

[[i] 本帖最后由 老姜 于 2008-10-26 15:21 编辑 [/i]].

呵呵，老姜老师就是认真。:lol.

不过，
“我们设想，如果边长不是7，而是700，这时误差就被“放大”了，这时正确的答案（精确到0.1）是3405497.6，echooooo方法的答案（精确到0.1）是3406210.2，”
貌似计算有误。:$.

[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-10-26 13:43 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3766205&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
不过，
“我们设想，如果边长不是7，而是700，这时误差就被“放大”了，这时正确的答案（精确到0.1）是3405497.6，echooooo方法的答案（精确到0.1）是3406210.2，”
貌似计算有误。:$ [/quote]
计算无误，输入有误，已改正。

我是对事不对人哦，echooooo莫怪罪。[tt7].

回复 18#老姜 的帖子

嘿嘿
这题的解法也就是不得已而为之。

周长相等，圆围的面积最大。
所以用圆近似计算面积时，必定比实际面积偏大。
偏差值随边数增加逐渐减小。

比较巧妙的是，此题求的是差值。
所以尽管单个多边形的近似面积误差较大，
但其差值却可以比较准确。
尤其是边数和边长的数值匹配得恰当时。
例如此题，相对误差竟不到万分之3

此题寻求的是一种能迅速解决问题的最直接简便的办法，
尽管存在可预见的误差，
但其可控可接受。.

回复 7#ITmeansit 的帖子

问一下，Ki是怎么计算出来的？[em07].

[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-10-26 16:05 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3766628&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
嘿嘿
这题的解法也就是不得已而为之。

周长相等，圆围的面积最大。
所以用圆近似计算面积时，必定比实际面积偏大。
偏差值随边数增加逐渐减小。

比较巧妙的是，此题求的是差值。
所以尽管单个多边形的近似 ... [/quote]
呵呵，不同意你这个观点。问题的数据是问题提出者设计的，当然误差被“人为”控制在“可接受”的范围，如果把7改成700，那么事情就闹“大”了。所以在小学竞赛里出这个问题是不合适的，或者把问题改为我的提法就可以了。.

回复 21#老姜 的帖子

如果把7改成700，相对误差不变，所以精度还是可接受的。:P.

不争了，大家的观点都已经说过了，大家看着办吧。：）.

[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2008-10-25 22:55 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=3765036&ptid=4577224][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
简单点理解，就是周长7x12=84与周长7x7=49的两个圆的面积差。
计算结果是4655/(4x3.14)=370.6 [/quote]

相信绝大部分四年级的孩子面对此题是束手无策的；

但您说的这个方法相信大部分四年级的孩子是能够理解的。

一家之言：
我比较赞同对小学生应用小学生的方法去讲，尽管有时答案不一定准确（精确），但不必太刻意。
像这样的难题，通过思考只要能找到相对较好的解题思路，即使无法求解，也很不错了。.

试了试7边形和8边形
误差竟然也很小
只有万分之2
是不是其中有必然规律？:lol.

回复 25#echooooo 的帖子

边形要接近，误差就小！边形接近的话，意味着多边形周长与其外接圆的误差较为接近，且都是负误差，相减之后面积差的精度反而较高。面积也是和周长的平方成正比。.

回复 26#ITmeansit 的帖子

离谱的是
就算是4边形与12边形
误差也仅万分之5

边长7的正12边形面积548.61
边长7的正方形面积49
实际差值499.61

计算差值(84^2-28^2)/(4x3.14)=499.36.

翻出近10年的帖子，看看还是蛮有意思:D
忽然想起，当边数相差越大时，其实他们的面积差也越大，
此时边数小的面积的计算精度已经无足轻重了。:lol

一晃又接近6年了