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2007年我爱数学夏令营小学试题（已附了解答）

3、圆周上有8个点，两两相连，请问在圆内部这些线段最多相交成多少个三角形？（三角形的顶点必须都在圆的内部）

完整的考卷明天才能拿到，现在根据学生回忆发几道题，这次题目学生都反映比较难。完整的试题请到15楼下载。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-15 18:23 编辑 [/i]].

让Linda做了一下，不容易，1－2就用了半个小时
1 假定 x＝2008
    就有 =（xxx-2x+1)/(xx+x-1)=x-1＝2007
2 凑出来是
    95624
＋10624
－－－－－－－－－－
106248.

Linda两道题都对了。
第一题，小孩意识到分子是一个平方，但是不知道公式，不清楚是哪一个的平方，但是想只有是分母的平方，才不需要去计算2008×2008，而且结果是2007也很像，就这样猜了。
第二题，由式子知道9×"数学夏令营"+好=我爱夏令营，所以马上知道：数=1，学=0，我=9；很巧妙把这三个数带回去就得到9×夏令营+90000+好=90000+爱夏令营，这样，8×夏令营+好=爱×1000，因此"好"是8的倍数只能等于8了；这样，夏令营=爱×125-1，"营"不能等于9，所以"爱"=奇数，只能是3、5、7，测试一下知道只能有"爱"=5，所以答案是95624。
第三题，首先小朋友可能训练过类似的问题：圆周上8个点两两连接在内部最多产生多少个交点？这个问题要求学习过排列组合，每个交点对应于圆上的4个点，所以答案是8个里面取4个组合数=70。这道比前面这个问题要难得多，要意识到每个三角形实际上对应圆周上6个点，所以解答是8个取6个这个组合数=28.

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-12 09:15 编辑 [/i]].

问题6：小强下午4点多开始课外活动，6点多钟结束。他一看表发现开始和结束的两个时刻分针和时针正好位置发生对调，那么他开始活动是4点[u]         [/u]分。

问题7：一个小公司有5名员工，月平均工资是2700元。已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为[u]        [/u]元。

问题9：请问在分母小于100的所有真分数中，除7/13以外最接近7/13的分数是多少？

问题10：小朋友在一个商场走一个匀速的自动扶梯，在静止状态下他下楼的速度是他上楼速度的两倍。现在他从电梯上部要走120格到达下部，从下到上走了90格。问电梯从下到上的长度是多少？

问题11：甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛。记分方法是在30分的基础上，答对一题加4分，答错一题扣1分，不答不加也不减分。赛后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙都比甲少一分，但是乙丙答对的题数却互不相同。由此可知甲所得总分最多是[u]        [/u]分。

问题12：请你构造6个整数，使得他们6个数中任意两个数的乘积都是他们和的倍数。简要说明理由。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 16:22 编辑 [/i]].

从这几道题目看来，是比华杯赛决赛难不少，而且计算量也很大。数学竞赛总共12道题总用时100分钟，所以很难全部做完。
供各位5升6，6升7的小朋友参考。过几天我们陆续提供这些题目的解答，以及接力赛的试题。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-12 19:16 编辑 [/i]].

wood，你家的，做的如何啊？
这些问题100分钟有点紧。.

回复 #6 老猫 的帖子

考的不理想，三等奖。
第四题，(2007,4683)=669，所以只要比较5^3和2^7即可，5^3=125＜2^7=128，所以B更大。

第五题，没学过因式分解很难做出，第一题完整解答也是如此。:L

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 13:46 编辑 [/i]].

[color=Purple]第5题最早的版本是美国中学生数学邀请赛（高中）的一个试题，现在用来考小学生，真的很无聊。

我一直以为，小学竞赛的命题者理应在命题的时候下更大的功夫，多出一点为小学生度身定做的问题，不要动不动就把中学的问题下放到小学来。[/color].

问题六，假设他4点x分开始，则此时长针在第x格，短针在5×(x/60)+20格；根据条件结束时，长针在5×(x/60)+20=x/12+20格，所以短针在第5×[x/12+20]/60+30格=x格，所以x=31+(127/143)分。

问题七，虽然不是很难，但是小朋友很难适应这样的题型，所以做出来的不多。
设最少的人每月a元，则最多的人2a元，假设其他三人的和为b，则由已知3a+b=5×2700=13500，现在要求a最小，就要b最大，b最大只能是3×2a=6a，此时9a=13500，a=1500，最多的人每月3000元。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 14:03 编辑 [/i]].

题目难,很多超过小学生的理解能力，4.A<B，用到lg2=0.3010可以更精确
lgA-lgB=lgA+lgB-2lgB=lg(AB)-2lgB=2007+2677lg2-9366lg2=2007-6689lg2
lg2>0.3001>2007/6689
5.(x^4+4)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)
11.131,用到了19表示为4和5个数的唯一性
12.这题有很多构造方法(1)21,42,63,84,105,126
(2)取一个大于21的素数p，将p表示为6个不同正整数的和，23=1+2+3+4+5+8
23,46,69,92,115,184

[[i] 本帖最后由 xyq2100 于 2007-8-13 15:40 编辑 [/i]].

回复 #10 xyq2100 的帖子

不是超过小学生理解能力的问题啊！.

的确是不少题等于是把初中的题“下放”，但是讲解以后小朋友还是能够理解的。这次住宿、饭食、洗浴各方面需要克服一些困难，上网信号也不好。我们发帖也断断续续了：）

第八题，由已知4/5=(AD/AC)(AE/AB)=6/5(AE/AB)，所以AE/AB=2/3，AE/EB=2:1。

第九题，7/13=49/91，所以容易想到50/92,50/93,48/90,48/89中寻找，发现50/93最接近。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 16:16 编辑 [/i]].

问题十，我的解法用了多个未知数，小朋友的解法很漂亮。设小朋友上的速度为1，则下的速度为2，因此他向上走用的时间为90，向下走用的时间为60。电梯显然是向上的，设电梯向上的速度为x，电梯长度为a，则有a/90=(1+x),a/60=(2-x),相加得a/90+a/60=3，因此a=108格。[em11]

问题十一，有一个做法就是从最高分150分开始，看那些分数是可能的，那些分数是只有一种答题可能的。作为填空题这样也能做，只是时间长一点，不好叙述。讲解使用这种方法的话就显得不太理想了。
我们假设小朋友做错了a道，b道没做，从满分开始计算做错一道相当于-5分，没做一道相当于-4分。这样他的分数就是150-(5a+4b)，如果出现了重复，那就是说存在c、d使得5a+4b=5c+5d，而且要求5a+4b尽量的小，这样a、c中肯定有个0，不然的话两者都减1也满足，而且5(a-1)+4b当然跟小，同理b、d中也有一个是0，由对称性不妨设a=0,d=0，这样4b=5c，而且要最小，只能是4b=5c=20，也就是说扣20分是最大的出现多种解题情况的分数。所以，乙=丙=150-20=130，甲=131。

问题十二，有无穷多个解，问题不像看上去那么难。里面如果有0的话，当然是可以成立的，所以只要找5个数就可以了，假设另外5个数是a,2a,3a,4a,5a,这样只要a是3、4、5、6、7、8、9的倍数就可以了，取a是3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数即可，a=2520。
知道这样假设的话，几乎所有小朋友都会做了，主要是要会转换问题，有多种假设办法比如设另外5个数为a、3a、4a、5a、6a也可以，这样要求a是4、5、6、7、8、9、10、11的倍数即可，取a是4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，即a=27720.
不用0也可以，比如设六个数为a、2a、3a、4a、5a、6a，a=27720.

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 21:09 编辑 [/i]].

还可以，现在主要是为以后的考试积累经验，再适当训练，初二初三就可以出成绩，.

数学竞赛以及接力赛的试题请看附件。接力赛的比赛是这样进行的，每个队派出3名选手，排列为1、2、3号选手，1号选手做第1、4、7道，2号选手做2、5、8道，3号选手做3、6、9号。前面的答案错误的话，后面的就没法做了[em07] ，我们联队广州选手第一题就错了。
我一般不主张过早学下一年级的知识，尽量使用已有的知识来解决问题，但是赛后看来要参加这项比赛还是需要有点初中的数学基础。
刚编辑好，如果发现有问题，请及时指出。没有安装mathtype可能有几题会显示不正常，可以看上面几个贴的图片。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-8-13 21:06 编辑 [/i]].

接力赛解答

2、解：a=9，至少要剩下16个球才能满足要求，所以最多只能取走9+8+7―16=8个球。

3、解：b=40，如下图，由(80+x)/(35+y)=4/3，得100+3x=4y；又由y/35=(80+x)/70,得x+80=2y，因此解得x=60，y=70，所以大三角形的面积=315。

4、解：c=1890，n(n+1)/2＞1890≥n(n+1)/2-n=n(n-1)/2，所以只能有n=61，
所以去掉的数=61×62/2―1890=1。

5、解：由(1)A的数字和为偶数，因此只能是2，故A=11；由(5)B是奇数，由(2)它还是5的倍数，所以只能有B=15；因此E=(A+B)/2=13；A、B、C、D、E是大于1小于20的5个不同整数，由(3)只能有C=9；由(4)只能有D=4，因此他们的和=52。.

1号选手负责1、4、7题，2号选手负责2、5、8题，3号选手负责3、6、9题。每题做完以后同伴接着做下一题，1-6题每题限时5分钟，7、8题每题限时为10分钟，第9题每题限时15分钟。
7、解：f=5，5个人分配到3个班只能是(1,1,3)、(3,1,1)、(1,3,1)和(1,2,2)、(2,1,2)、(2,2,1)6种情况，所以分配方法=3×(5×4)+3×(5×4×3)/2=60+90=[b]150[/b]种。

8、解：g=135，火车速度为10米/秒。设巡路工速度为x，学生速度为y，由已知15×(10-x)=135，12×(10+y)=135，解得x=1，y=1.25。在8时的时候他们的距离为10×60×(10-1)=5400米，此后他们相遇所用时间为5400÷(1+1.25)=2400秒=[b]40[/b]分钟。

9、[b]h=40，答案是可以[/b]。
证明：对于任意偶数a≥40，①如果a≡0(mod 3)，则a=9+b，b=a－9≥31，且是3的倍数，因此满足条件；②如果a≡1(mod 3)，则a=25+c，c=a－25≥15，且是3的倍数，因此满足条件；③如果a≡2(mod 3)，则a=35+c，c=a－35≥5，且是3的倍数，因此也满足条件。.

[tt5].