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奥数题

计算：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+（n^2+1)/(n^2-1)+〔(n+1)^2+1〕/〔(n+1)^2-1〕.

回复 #1 福星高照 的帖子

原式=（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+（n^2+1)/(n^2-1)+〔(n+1)^2+1〕/〔(n+1)^2-1〕
=（2^2-1+2)/(2^2-1)+(3^2-1+2)/(3^2-1)+(4^2-1+2)/(4^2-1)+…………+（n^2-1+2)/(n^2-1)+〔(n+1)^2-1+2〕/〔(n+1)^2-1〕
=1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2〕/((n+1)^2-1)
=n+(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+.......+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/(n+1-1)-1/(n+1+1))
=n+1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)
=n+3/2-1/(n+1)-1/(n+2).

注： n>=2.

[quote]原帖由 [i]秦博他爸秦革[/i] 于 2007-6-4 23:42 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1709474&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
注： n>=2 [/quote]

解答干净利落，只是貌似n＝1也是可以的。.

回复 #4 老猫 的帖子

若 n=1,则 n^2-1=0
分母不可为0.

[em01] [em03].

n=1可以的。

若n=1，原式只有(2^2+1)/(2^2-1)这一项，不存在(n^2+1)/(n^2-1)。.

回复 #7 老姜 的帖子

姜还是老的辣。[em04].

回复 #7 老姜 的帖子

我的理解n不是序数或项数，而是原式在后面取的某一个数，既然开头的已是2，自然......，而且依据原式后面的通项式，项数应最少为2。

请看原式。
当n=1时，原式=（1^2+1)/(1^2-1)+〔(1+1)^2+1〕/〔(1+1)^2-1〕
显然是无意义的，且不合原式。
当n=2时，原式=（2^2+1)/(2^2-1)+〔(2+1)^2+1〕/〔(2+1)^2-1〕
=35/12
当n=3时，原式=（2^2+1)/(2^2-1)+（3^2+1)/(3^2-1)+〔(3+1)^2+1〕/〔(3+1)^2-1〕
=81/20
...
都符合n+3/2-1/(n+1)-1/(n+2)这个答案。

问题是，为什么n=1时，只要最前面的一项？而且奇怪的是计算的结果也符合答案？n究竟该如何理解？.

[quote]原帖由 [i]福星高照[/i] 于 2007-6-4 22:43 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1709349&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
计算：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+（n^2+1)/(n^2-1)+〔(n+1)^2+1〕/〔(n+1)^2-1〕 [/quote]
如果题目变成：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+（n^2+1)/(n^2-1)
或者：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+〔(n+1)^2+1〕/〔(n+1)^2-1〕
有本质上的差异吗？.

[quote]原帖由 [i]秦博他爸秦革[/i] 于 2007-6-5 19:59 发表 [url=http://222.73.254.138/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1712435&ptid=4437024][img]http://222.73.254.138/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
问题是，为什么n=1时，只要最前面的一项？而且奇怪的是计算的结果也符合答案？n究竟该如何理解？ [/quote]
以题会友，为新结识一位喜欢数学的BB而高兴。

这个问题，和1+2+…+n=n(n+1)/2是一个意思，在这里，n>=1。用数学归纳法证明这个求和公式，第一步便是：当n=1时，左边=1；右边=1，所以左边=右边。

如果给出的求和公式是1+2+…+(n+1)=(n+1)(n+2)/2，此时n>=0。.

[quote]原帖由 [i]秦博他爸秦革[/i] 于 2007-6-5 20:08 发表 [url=http://222.73.254.138/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1712453&ptid=4437024][img]http://222.73.254.138/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

如果题目变成：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+（n^2+1)/(n^2-1)
或者：（2^2+1)/(2^2-1)+(3^2+1)/(3^2-1)+(4^2+1)/(4^2-1)+…………+〔(n+1)^2+1〕/〔(n+1)^2-1〕
有本质上的 ... [/quote]
前者n>=2，后者n>=1，在这样的前提下，两个式子是等价的。.

回复 #2 秦博他爸秦革 的帖子

[em07] 我想问一下^什么意思
=1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2〕/((n+1)^2-1)
=n+(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+.......+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/(n+1-1)-1/(n+1+1))这一步不明白，望赐教.

回复 #12 老姜 的帖子

谢谢回复。我也是这样理解的。[em01].

[quote]原帖由 [i]羊鼠好妈妈[/i] 于 2007-6-5 22:04 发表 [url=http://222.73.254.138/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1712695&ptid=4437024][img]http://222.73.254.138/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[em07] 我想问一下^什么意思
=1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2〕/((n+1)^2-1)
=n+(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+.......+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/(n+1-1)-1/(n+1+1))这一步不明 ... [/quote]
2/(2^2-1)=2/[(2+1)(2-1)]=2/(1*3)=(3-1)/(1*3)=3/(1*3)-1/(1*3)=1/1-1/3，其余的类似。

这里用到了平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2。.

[quote]原帖由 [i]羊鼠好妈妈[/i] 于 2007-6-5 22:04 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1712695&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
[em07] 我想问一下^什么意思
=1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2〕/((n+1)^2-1)
=n+(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+.......+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/(n+1-1)-1/(n+1+1))这一步不明 ... [/quote]
首先更正一下：1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2〕/((n+1)^2-1)
打错了一点，应是1+2/(2^2-1)+1+2/(3^2-1)+1+2/(4^2-1)+…………+1+2/(n^2-1)+1+2/((n+1)^2-1)
多了一个)，不过应该看得懂——很有规律的。
主要是有一个公式2/(n^2-1)=1/(n-1)-1/(n+1)
如：2/(2^2-1)=1/1-1/3
2/(3^2-1)=1/2-1/4.

[quote]原帖由 [i]秦博他爸秦革[/i] 于 2007-6-5 19:59 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1712435&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我的理解n不是序数或项数，而是原式在后面取的某一个数，既然开头的已是2，自然......，而且依据原式后面的通项式，项数应最少为2。
问题是，为什么n=1时，只要最前面的一项？而且奇怪的是计算的结果也符合答案？n究竟该如何理解？ [/quote]
n是项数。

现在常用的表达形式给人的错觉是至少有3项或者4项。
比如1+2+3+...+n＝n(n+1)/2。就会被说成，已经看到4项了，当然n最小就是4。实际上这个只是表达时候的缺陷而已。
由于通项公式这件事小学没有讲，所以只能这样来写。实际上所有的类似的公式都应该写成统一的形式，那么就没有这个问题了。[attach]57575[/attach][attach]57576[/attach].

回复 #17 老猫 的帖子

要补数学归纳法的证明。[em16].

回复 #17 老猫 的帖子

有个问题：
最后的那个表达式 i 可以为 1 吗？

举个例:若 f(x)=(x-1)/(x-1)
则 f(x)=1
但其定义域显然是 x 不等于 1
或者说 f(1)不等于1

在代数运算中，关注定义域的变化，是我那个时代的老师所再三强调的。不知现在改了没有？

[[i] 本帖最后由 秦博他爸秦革 于 2007-6-6 10:36 编辑 [/i]].

使的都是童子功，难免献丑！嗬嗬.

回复 #15 老姜 的帖子

[em01] 明白了,^是平方的意思[em03] 这里高手如云,但愿能学到更多[em16].

回复 #16 秦博他爸秦革 的帖子

[em01] [em01] [em18].

[quote]原帖由 [i]秦博他爸秦革[/i] 于 2007-6-6 10:34 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1713672&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
有个问题：
最后的那个表达式 i 可以为 1 吗？

举个例:若 f(x)=(x-1)/(x-1)
则 f(x)=1
但其定义域显然是 x 不等于 1
或者说 f(1)不等于1

在代数运算中，关注定义域的变化，是我那个时代的老师所再三强 ... [/quote]

你说的是对的，如果你那个式子就x就不能为1。
只是我打错了，后面一个式子应该是这样的：

[attach]57653[/attach]

[em07] [em07].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-6-6 10:13 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1713541&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
要补数学归纳法的证明。[em16] [/quote]

炫炫爸做了斑竹，好久没有看到出来了。

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-6-7 08:50 编辑 [/i]].

谁知道这次希望杯预初的一等奖的分数线，会是120分还是117。5分？.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-6-6 19:33 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1716067&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


炫炫爸做了斑竹，好久没有看到出来了。 [/quote]
年轻人啊！.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-6-6 19:33 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1716067&ptid=4437024][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


炫炫爸做了斑竹，好久没有看到出来了。 [/quote]
是呀，不会是“官升了，谱大了”吧？！历来飘逸潇洒的炫炫爸哪去了？.

回复 #23 老猫 的帖子

误人的老毛病经常犯[em16].

回复 #24 老猫 的帖子

你这人没劲，吃好饭想我了，吃饭时装糊涂[em17].

回复 #27 秦博他爸秦革 的帖子

大家忙，我被旺爸来去培训，如何打扫卫生，如何抓马甲，想我，那就吃饭，帐记在旺爸卡上就可以了[em16].

回复 #26 老姜 的帖子

年轻人的毛病就是爱吹，我去找谷老吃饭了，还找吴文俊伯伯吃饭了[em16].