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华杯赛往届难题回顾-今年的行程问题也很难

临阵磨枪不快也光，我们来一起看一下去年华杯决赛最后一道题，也就是2006年华杯小学组第14题。
[b]问题：一根长为L的木棍用红色刻度把它分为m等份，再用黑色刻度把它分为n等份（m＞n）。
①设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明x+1是m、n的最大公约数；
②如果按刻度线把木棍锯成小段，一共可以得到170段长短不一的短棍，其中最长的小棍有100根，请确定m和n的值。[/b]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-3-27 10:57 编辑 [/i]].

以下我们用(m,n)代表两个数的最大公约数。
解答：①不妨假设棍子的长度为mn，这样从1到(mn-1)这些数中，n的倍数被染为红色(有m-1个)，m的倍数被染为黑色(有n-1个)。因此，其中只有即是m的倍数又是n的倍数的的点，才是红、黑重合之处，也就是1到(mn-1)这些数被染为两种颜色的点当且仅当它是mn/(m,n)的倍数，所以x=(m,n)-1.

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-20 06:52 编辑 [/i]].

解答②“一共可以得到170段长短不一的短棍”说明被染色的点的个数正好是169，也就是说(n-1)+(m-1)-x=169，把①的结果带入我们得到n+m-(m,n)=170；
另一个关键点是“最长的小棍”=？，仔细分析不难发现在m＞n的假设下，只有长为n的段是最长的段。而长为n的段是由两端红色点组成的，红色的点先把木棍分为m个长为n的小段，但是后来其中有些段当中被黑点“污染”了，我们的条件实际上是说正好有100段没被污染。这样我们就不难把“最长的小棍有100根”转换为另外一个方程m-(n-1)+x=m-n+(m,n)=100；
把两个等式相加我们得到2m=270，因此m=135，再代回原方程我们得到n-(135,n)=35，由于(135,n)是n的因子，因此它也是等式左边的因子，所以(135,n)也是35的因子，这样只能有(135,n)=1或5，如果(135,n)=1，代入得n=36，但是此时(135,n)=9矛盾。所以只能有(135,n)=5，代入得到n=40。
不难检验m=135，n=40的确满足条件，是唯一的解。
[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-20 07:03 编辑 [/i]].

上面还有一点要向学生讲解的是，黑点和黑点之间的最小距离为m，由于m＞n，所以一个长为n的小段最多只能被一个黑点污染，所以(n-1)个黑点污染(n-1)段，这还要扣除黑、红重复的情况，所以100=m-(n-1)+x=m-n+(m,n)。
[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-21 06:25 编辑 [/i]].

可能还有小朋友不理解“为什么长为n的段是最长的段”，我们来解释一下：因为所有红点加上端点为0，n，2n，3n，。。。，mn。相邻红点之间的距离为n，它们均匀的分布在长棍上，因此长棍上任何一个长大于n的线段中必然有一个红点。不然的话，我们假设A、B分别是这一段左边最近的点和右边最近的点，这样AB包含这一个线段，而AB的长度为n，所以这一段的长度小于等于n。
另外一方面由于0和n之间不可能出现其他的红、黑点，所以的确存在长为n的小段。综上所述，长为n的段是最长的小段。.

做出来难，讲解清楚更难。
[em07].

小学题目也不简单

华杯、希望杯决赛又要临近了，再回顾一下往日难题。
有一道2008年的小学竞赛行程问题很值得一看
问题：A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有[u]　 　[/u]千米。.

走了8KM.

设队伍长度是L，队伍速度是V0，甲乙速度分别是V1/V2，甲追赶到队头是T1，回到队尾是T2，设甲到B后，乙走了X KM（画图便于理解了）
5*T1*V1-4T2*V1=16.8（甲向前走－回走距离）
7T1*V1-6T2*V1=22.4
得到：T1=2T2
T1=L/(V1-V0),T2=L/(V1+V0)
得到：T2=L/4V0，-------------3
又得：V1=3V0
(5T1+4T2)*V0=16.8-L----------1（队伍走的距离）
(7T1+6T2)*V0=22.4-L----------2
2式－1式得：2(T1+T2)*V0=5.6,
得T2=5.6/6V0--------------------4
3式和4式可得：L=11.2/3
(5T1+4T2)*V2=5.6（乙走的距离）
(7T1+6T2)*V2=X
5.6/X=(16.8-L)/(22.4-L)
解得：X=8

[[i] 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-3-28 11:22 编辑 [/i]].

回复 7#wood 的帖子

我想知道这样的题目是否要求用或不用方程解。。。.

回复 10#zhenai 的帖子

题目的形式是填空题，因为是小学，所以不能用过于复杂的方程。9楼已经做了解答，所以最后离A是14.4千米。

解：我们称自行车从队尾追上队头，再从队头到队尾为一个周期。则队伍行走最后的5.6千米用了两个周期，因此队伍一个周期行走5.6/2=2.8千米。
假设自行车第一次在C点追上队伍，则从此刻算起队伍走了6个周期到达目的地B点，因此AC=22.4-6×2.8=5.6。
设队伍长度为x，则当车从C点返回遇到队尾时，队尾正好走了一个周期2.8千米，此时自行车走了5.6×2-2.8千米，因此，队速/车速=(5.6-x)/5.6=2.8/(5.6×2-2.8)=1/3，因此x=2/3×5.6千米。
队伍从“乙出发时”到“与乙相遇”时，走了(22.4-5.6-x)千米。因此，队速/乙速=(22.4-5.6-x)/5.6=7/3
假设相遇后乙继续行走了y千米，队伍走了5.6千米，因此5.6/y=7/3，故y=2.4。
所以离A的距离为22.4-5.6-2.4=14.4千米。.

回复 11#wood 的帖子

我觉得很多应用题不设未知数是相当搞脑子的，用方程解则是用了牛刀，反而失去了乐趣，用超前教育的方法去解这些题并不能达到奥数的本来目的。

另外，您的组合题目很有趣，可惜没人响应啊。。。[em02] [em02].

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-3-28 12:56 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2668260&ptid=4428175][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
题目的形式是填空题，因为是小学，所以不能用过于复杂的方程。9楼已经做了解答，所以最后离A是14.4千米。

解：我们称自行车从队尾追上队头，再从队头到队尾为一个周期。则队伍行走最后的5.6千米用了两个周期，因此 ... [/quote]
刚才给孩子讲解此题，还是借用不用方程的方法，设追队头X公里，回到队尾Y公里（简单的方程）
5X-4Y=16.8
7X-6Y=22.4
解得X=5.6，Y=2.8
下面用甲乙走的距离比来求解在甲到B后乙走的距离为Z公里：
(5X+4Y)/(7X+6Y)=5.6/Z（理解为甲回走的时候走的距离，乙也在走）
Z=8，乙离A地：22.4-8=14.4。
（感觉这个解法最直接了，也好理解）.

简单方程＋比例关系。不用搅在速度里面了。.

这么难的题目,就被楼上这么简单做了啊!:victory: :victory: :victory:.

回复 3#wood 的帖子

你的解法太好了。

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-3-27 13:19 编辑 [/i]].

删

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-3-27 13:20 编辑 [/i]].