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华杯赛往届难题回顾3

2004年第九届华杯赛决赛第二试第6题：[b]正方形跑道ABCD，甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，速度分别为每秒5米、4米、3米。若干时间后，甲首次看到乙、丙都在自己前方，也即都在正方形的一条边上，从此刻起21秒以后，三人都在跑道同一位置，并且这是出发后三人首次在一个点上。请计算正方形的周长是多少？[/b].

提示：1.由于甲跟乙的距离差等于乙跟丙的距离差等于，因此出发后三人首次在一个点上，也是甲、乙出发后首次在一个点上
2.出发后三人首次在一个点上，这个点就是A
3.5*21=105是边长的倍数，
4.由于甲首次看到乙、丙都在自己前方，此时甲与丙相距42米，因此边长>=42
所以 边长=52.5 或者105
周长 210或者420.

上面的解答小朋友不太容易理解，另外第4条不是很严格，因为这个时候甲和乙的距离不一定是21米，严格地说此时两人的距离等于21除以正方形周长的余数。下面我们给一个较为详细的解法，以便给小朋友讲解：
解：假设正方形的边长为a，则周长为4a。另外，我们称甲首次看到乙、丙在自己前方为时刻1，三人首次在一个点上为时刻2。
甲第一次追上乙要花去的时间为4a/(5-4)=4a，乙第一次追上丙的时间为4a/(4-3)也等于4a，因此，时刻2=4a。又因为时刻2=时刻1+21，所以4a大于21，也就是说正方形的周长大于21；注意到甲每秒追上乙1米，时刻1=时刻2-21，所以在时刻1时，甲正好落后乙21米，当然此时，乙也正好落后丙21米，由于此时三人在一条边上，所以正方形边长a大于42。
我们来分析一下时刻1，这个时候是甲第一次同时看到乙、丙，所以此时甲应该位于某个顶点上，否则在时刻1的0.0001秒以前，甲也应该能同时看到乙、丙，与时刻1是甲首次看到乙、丙矛盾。
注意到时刻1=4a-21，此时甲走了5(4a-21)米，现在要求这一点在某个顶点上，因此5(4a-21)/a要是整数，也就是说105/a要是整数，由于我们已经知道a大于42，所以只能有105/a=1或2，对应的a=105或52.5，因此正方形的周长为420米或210米。[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-5-20 08:22 编辑 [/i]].

*** 该贴被屏蔽 ***

数学或者说奥数训练的一个主要目的是提高学生的思维的严谨和灵活性，数学可以算作是一种“思维体操训练”。家长们都学过数学，但是对于大多数人来说一多半的公式肯定都忘在九霄云外了，但是这个并不能说以前学数学没有用，因为学习过程中我们的思维能力提高了，这个是终身受益的，比能记住的“知识”更加重要。
所以我们主张尽量训练学生用仅有的知识走得更远，而不提倡过早的在知识上超前。力争让学生能用"鸡刀"杀牛，尽量避免过早引导他们去用牛刀杀鸡。[em06].

教师两个字有个大师的师字，没有思想深度的人是不能被称作教师的，只能称为教书匠。教师自己会是没有作用的，他的第一目的是教会学生自己做题、做事。
到了一定的境界，学生能做到的，教师不一定能做到，比如数学上到了IMO层面，很多时候学生解题能力会强于老师了，老师的作用只是传授思想了。再比如体育上，刘翔的教练肯定跑不过刘翔，游泳教练甚至不一定会游泳。.

另外一个经常听到家长反映的，就是小孩失误、粗心的问题，这个通常也反映了平时训练的缺失。训练水平高的话，出现低级错误的概率就大大减少了，如果你训练到了100分的水平，失误一下也就是90分。任何小朋友考试的时候都不会去故意粗心，这个也算做“系统风险”，难以避免，平时训练的另外一个目的就是降低低级错误出现的概率，训练聪明和训练严谨，是数学教育不能缺少两个方面。
在为小孩惋惜的同时，也要教育他们：刘翔即使出现失误，也总能通过预赛、复赛，姚明投篮失误，也不至于投不到篮筐。
[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-14 07:26 编辑 [/i]].

回复 #7wood 的帖子

你是数学老师吧？请问在哪里教奥数啊？.

假如百米短跑选拔赛是这样的：不比谁跑的快，只要求在15秒内完成，看谁的跑步动作漂亮，刘翔还能有百分之百的把握进决赛吗？
假如篮球选拔赛是这样的：划条三米线，然后让大家在无人拦截的情况每人投100球，看谁的命中率高，姚明还能脱颖而出吗？
再比如跳水比赛，难度系数规定最高只能是2.8，拿金牌的还能保证是最优秀的吗？

基础肯定是要的。如果只有基础，而难度不够，竞赛也就失去了竞赛的本来意义。.

竞赛题目的难度一直是很难把握的，太难大家都不会，太容易大家都会，这两种极端都会使得考试没有意义，良好的“区分度”是命题者追求的目标。2006年高中数学竞赛，也有不少学生认为考试题目接近高考，难以体现自己的高水准，这种说法当然难以被认同，虽然我们首先还是要对这样的同学表示一下同情。
可能这里有些家长是1984年参加高考的，那一年全国高考题就比全国高中竞赛还难，北大数学系当年招到的数学最高分只有90多分（总分120）。
命题、比赛规则不是我们能考虑，能决定的事情，我们能做的就是踏踏实实的学习、训练。
[em06]

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-14 09:07 编辑 [/i]].

竞赛题目最好是每题之间难度呈阶梯上升，这样相对容易赛出真实的水平来。呵呵，我也是在说些题外话，主要是看到这次有的能力很强的同学连决赛也没进，才有感而发。.

回复 #11男孩爸爸 的帖子

不知道你说的那些小朋友是不是初中的？我有一个好友给宁波初二数学竞赛决赛出了考题，后来参赛选手平均40分，但是也有100多分的，所以他认为很满意：）我也认为这份竞赛卷比较经典。
有兴趣的话，我发给你看看。请看附件

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-14 09:32 编辑 [/i]].

我说的是今年预初希望杯和华杯赛初赛，特别是华杯赛的初赛卷，一个小时的考试时间，很多人半个小时就全部做出来，每个考点都有不少满分。：）

如果竞赛命题象您好友出的宁波初二数学竞赛决赛那样，参赛者即使没考出好成绩，也会心服口服的，呵呵。竞赛本来就是非常规的活动项目，如果没有一定的难度，真正的高手是很难脱颖而出的。

谢谢楼主不嫌麻烦跟我聊了这么多，相信您带出的学生会有出色表现的！.

回复 #13男孩爸爸 的帖子

其实我感到人人得满分是好事，毕竟可以让更多人参与，使这类竞赛活动变成真正意义上的数学活动。[em14] [em16].

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2007-4-14 09:22 发表
不知道你说的那些小朋友是不是初中的？我有一个好友给宁波初二数学竞赛决赛出了考题，后来参赛选手平均40分，但是也有100多分的，所以他认为很满意：）我也认为这份竞赛卷比较经典。
有兴趣的话，我发给你看看 ... [/quote]

这套题目不错，最后一题难度比较大。
没有做过的学生如果能凭空想出这道题目，能力狠不错了。

但是平均40分？宁波的水平也太差了吧。
第二试，意味着经过选拔的。.

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-4-14 10:06 发表
其实我感到人人得满分是好事，毕竟可以让更多人参与，使这类竞赛活动变成真正意义上的数学活动。  [/quote]

二期课改的代言人又来了。[em06].

回复 #15老猫 的帖子

实际成绩的确如此，这些学生质量不差，经过了选拔，好像是共50、60人，来自宁波大市范围，包括了市区、余姚、慈溪等。
后来从中也产生了20多年来宁波、浙江省第一个IMO国手（今年再次入选），第一块IMO金牌；2006年全国高中联赛满分的那位苏同学好像也参加了这次比赛。.

回复 #16老猫 的帖子

本届政府任期到明年结束，下届将会推出三期课改，为三期课改大家努力。[em16].

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-4-14 10:11 发表


这套题目不错，最后一题难度比较大。
没有做过的学生如果能凭空想出这道题目，能力狠不错了。

但是平均40分？宁波的水平也太差了吧。
第二试，意味着经过选拔的。 [/quote]

假如竞赛题目都做过，那是算题目出的好，还算是泄题了。[em14] [em16].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-4-14 12:32 发表


假如竞赛题目都做过，那是算题目出的好，还算是泄题了。  [/quote]

我指的是类似的题目，现在市一级的竞赛很少见到真正的新题目。.

这张卷子是Chenji编的，以前也是上海人，他不轻易出手，出手必然不凡。
这份卷子是10月底考的，也就是说初二上学期，有能力的初一、初二牛孩可以自我测试一下。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-4-17 11:54 编辑 [/i]].