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华杯赛往届难题回顾1

希望杯、华杯决赛马上就要举行，辅导中发现以前几届有的考题作为中学竞赛题也完全合格。第8届决赛[b]第二试第4题：4个不同的三位数，它们的百位数相同，并且其中有三个数能够整除这四个数的和，求这四个数。[/b].

由于这4个3位数的百位数字相同，所以这四个数最大的数小于最小的数的2倍。
设这四个数从小到大依次是a＜b＜c＜d，则有d/2＜a＜b＜c＜d＜2a。因此5d/2＜a+b+c+d＜7a。
这样，5/2＜(a+b+c+d)/d≤四个数的和/其中任何一个数≤(a+b+c+d)/a＜7，由已知四个数的和可以被其中三个数整除，所以整除后的商只能是3、4、5、6，而且三个商都不能相等。如果有一个商是3，则不可能有另外一个商是6，否则这两个数相除等于2，矛盾。因此三个商只能等于3、4、5或者4、5、6。
①如果三个商等于4、5、6，假设四个数的和=6n，则着三个数依次为6n/4、6n/5、n，另外一个数=6n-6n/4-6n/5-n＞2n，矛盾。
②如果三个商等于3、4、5，假设四个数的和=5n，则着三个数依次为5n/3、5n/4、n，另外一个数=5n-5n/3-5n/4-n=13n/12，所以4个数从小到大依次为n＜13n/12＜5n/4＜5n/3，其中任何两个数的差都要小于100，所以2/3n＜100，n＜150，也即这些3位数的百位数字是1，所以5n/3＜200，得100≤n＜120。由于n要是12的倍数，所以只能有n=108，这样四个数依次为108、117、135、180。.

请教一题

求所有同时满足以下条件的数：
1、在此数中1，2，...，9出现且只出现一次；
2、此数的前n（n=1，2，...9）位构成的数能被n整除。.

[url]http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=90&ID=6675&page=3[/url][em06].

回复 #3男孩爸爸 的帖子

设此数为abcdefghi，依次推理步骤如下：
1）最明显的是e=5，b,d,f,h为偶数；
2）推出gh=72；
3）d=6；
4）f=4，因此必有b=8；
5）最后利用前面7位是7的倍数，确定a=3，c=1，i=9。
所以这个数是381654729，太繁琐了：）不可能作为考试题。[em06].

转贴过来的，不是我自己做的。

[url]http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=90&ID=9337&page=1[/url]

从高位向低位的顺序看：第5位应该是5，第2，4，6，8位应该分别是2，4，6，8之一，第1，3，5，7，9位应该分别是1，3，5，7，9之一。

设这九个数字排好后的顺序为a1a2a3a4a5a6a7a8a9，则a5＝5，a1＋a2＋a3是3的倍数，a1a2a3a4a5a6是6的（也是3的）倍数，所以a4a5a6是3的倍数，同理a7a8a9也是3的倍数。由a1a2a3a4是4的倍数，所以a3a4是4的倍数，又a3是奇数，所以a4＝2或6。

因为a1a2a3a4a5a6a7a8是8的倍数，所以a6a7a8是8的倍数，且a6是偶数，a7是奇数，所以a7a8可能是16，32，56（5已被用了），72，96五者之一。

当a7a8＝16时，a9处放1，3，7，9中的哪个奇数都不能保证a7a8a9是3的倍数，所以舍去a7a8＝16。

当a7a8＝96时，这时只能a4＝2，a6＝8（这里不能放4，因为放4前三位就不是3的倍数了），a9＝3，

                            这时这个九位数是147258963或741258963，但前七位都不是7的倍数，所以舍去a7a8＝96。

当a7a8＝32时，这时只能a4＝6，a6＝4（这里不能放8，因为放8前三位就不是3的倍数了），a9＝1或7，

                     这时这个九位数是789654321或987654321或189654327或981654321，但前七位都不是7的倍数，所以舍去a7a8＝96。

当a7a8＝72时，这时只能a4＝6，a6＝4（这里不能放8，因为放8前三位就不是3的倍数了），a9＝3或9，

                      这时这个九位数是189654723或981654723或183654729或381654729，但前三个数的前七位都不是7的倍数，

只有第四个数381654729的前七位是7的倍数。

所以满足条件的数只有一个：381654729（前几位就是几的倍数）.

回复 #6老猫 的帖子

谢谢，你也得了发帖一分，我也给你信用＋1分。[em16].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-4-11 08:51 发表
谢谢，你也得了发帖一分，我也给你信用＋1分。 [/quote]

黑哨啊，转贴居然也能得到信用。.

回复 #2opposite469 的帖子

[[i] 本帖最后由 爱狗的妈妈 于 2007-4-11 19:49 编辑 [/i]].

华杯赛第八届总决赛

今天下午业余学校放学回来，让孩子试着做了一下第八届总决赛的第一试和第二试。测试结果如下：
第一试总共六题：第1题、第4题、第5题、第6题做出来了，第2题做错，第三题正确答案是8种染法，他只想出来6种，算错。
第二试总共六题：第1题至第5题都做出来了，第六题做错了。

包括吃晚饭20分钟在内，总共用了4个半小时。

看来我们离高手还有一段距离，需要继续努力。.

我所说的对，且指答案对了，有的题解题过程没有标准答案那样严密的。.

回复 #11男孩爸爸 的帖子

很强了！.

回复 #12wood 的帖子

谢谢鼓励！上海强小孩不少，我们自知是无实力进入总决赛的。您是否知道总决赛中第一试和第二试的考试时间分别是多少？有空时我们可以用规定的时间做一做历届的真题卷，过把票友瘾，呵呵。[em06].

第10届总决赛，两场各半小时。
[em07].