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老封：平面几何热线

这里我再挂一道最近新编的平面几何题，适合于初二同学。供大家思考，到公开课时从正确解答者中抽奖。当然对奖品的期望可不能过高：） 一切还是以兴趣为重。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2010-3-10 13:35 编辑 [/i]].

已知：有两个直角三角形，其一两直角边长分别为a，b（a＞b）；另一两直角边长分别为a＋b，a－b。∠1和∠2分别是这两个直角三角形中较小的内角。
求证：∠1＋∠2 ＝ 45°。.

请有兴趣参加征解的初二同学（其它年级也可）将解答过程或解题思路写在自备纸上，公开课那天带来即可。.

tg(∠1+∠2)＝（tg∠1+tg∠2)/(1-tg∠1tg∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tg∠1=b/a

tg∠2=(a-b)/(a+b)

tg(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

[em14] [em16]

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-2 16:08 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-2 13:17 发表
tan(∠1+∠2)＝（tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1tan∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tan∠1=b/a

tan∠2=(a-b)/(a+b)

tan(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

  [/quote]
果然身手不凡！
你是动用了秘密武器，呵呵.

tan是什么?看不懂[em07].

回复 #5老封 的帖子

看到了吧,开始搞破坏了
炫炫爸 就是F4之一,厉害吧.

[quote]原帖由 [i]都都妈[/i] 于 2007-3-2 13:25 发表
看到了吧,开始搞破坏了
炫炫爸 就是F4之一,厉害吧 [/quote]
没关系的，
他的思路似乎还不会影响到初二同学的革命干劲。
加油干吧！会有绝顶精彩的方法。.

老封是要大家用几何方法，我这个只能算一题多解。[em16]

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-2 16:13 编辑 [/i]].

厉害.

这是几何，还是解三角。[em07]
都还给老师了.

回复 #6都都妈 的帖子

Excel告诉我: tan(number)是"返回给定角度的正切值".
我们在中学里学过这个吗?没印象..

这题会有简便方法的。
解答中尽量不要用到高级的工具和概念。.

[quote]原帖由 [i]都都妈[/i] 于 2007-3-2 13:23 发表
tan是什么?看不懂 [/quote]

tan是计算机语言里的写法，数学上是tg，我改了。[em16].

回复 #13老封 的帖子

老封，不要急，才半天，我担心你就挂出解题方法了。[em16].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-2 16:11 发表


tan是计算机语言里的写法，数学上是tg，我改了。 [/quote]
不用改，现在新的课本已统一为tan了。.

遵照老封的建议，将解法隐藏。

不过，老封你也应将“引用”隐藏啊！

[[i] 本帖最后由 春笋逢春雨 于 2007-3-2 16:33 编辑 [/i]].

恭喜了。建议您尽早将此帖暂且隐藏，天机不可泄漏！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-3-2 16:38 编辑 [/i]].

回复 #18老封 的帖子

解法已隐藏，引用也应隐藏啊。.

[quote]原帖由 [i]春笋逢春雨[/i] 于 2007-3-2 16:36 发表
解法已隐藏，引用也应隐藏啊。 [/quote]
呵呵.

回复 #14炫炫爸 的帖子

全还老师了[em07] 老封老师收大点老点的脑子已经不灵的学生吗?.

回复 #21都都妈 的帖子

不敢当。不过几何是所有人都可以去学的有趣学问，我们对美的追求应该都是共同的！.

回复 #22老封 的帖子

是的,还好记得黄金分割点,好象是0.618[em16].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-3-2 16:17 发表

不用改，现在新的课本已统一为tan了。 [/quote]

看来我是东西没有还给老师，只是没有及时了解最新行情。[em16].

[quote]原帖由 [i]都都妈[/i] 于 2007-3-2 16:50 发表
是的,还好记得黄金分割点,好象是0.618 [/quote]

那个都妈你是不会忘的，因为你当初选男朋友就是按上身和下身黄金分割选的。[em14] [em16].

回复 #1老封 的帖子

建议封老师将公布答案的时间设置为2天，[em01] ！.

回复 #25炫炫爸 的帖子

[em16] [em09] 这个你怎么知道的?还真是.你是苏联的KKB吧[em16].

报告封老师，我几何法也有了。

另外我还用坐标法做了。[em14] [em16].

回复 #27都都妈 的帖子

他自己有切身体会,所以特别理解都都爸[em16].

好久没做几何题了

延长AC至F点，使CF=BC=a-b
AF=(a+b)+(a-b)=2a
取AF中点D，则DC=b,AD=a
延长BC至G,使CG=CD=b,从D点作CG的平行线DE,并使DE=b，则DEGC为边长=b的正方形，连AE
在三角形ADE中，AD=a,DE=b，且角ADE是直角，则角DAE为图1中的角，且AE=a^2+b^2(开根）
连BE，在三角形BEG中，BG=(a-b)+b=a,EG=b，则BE=a^2+b^2(开根）
在三角形ABC中，AB^2=AC^2+BC^2=(a+b)^2+(a-b)^2,所以AB=2（a^2+b^2) (开根）

所以在三角形ABE中，由于AE^2+BE^2=AB^2,且AE=BE
所以可以得出角BAE=45
角BAE=角BAC+角EAC
也就得出两个角的和=45

炫炫爸的方法最好了，如果学过tan的公式，首选炫炫爸的方法。

[[i] 本帖最后由 daifangsandy 于 2007-3-2 18:05 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-3-2 12:16 发表
这里我再挂一道最近新编的平面几何题，适合于初二同学。供大家思考，到公开课时从正确解答者中抽奖。当然对奖品的期望可不能过高：） 一切还是以兴趣为重。 [/quote]
我倒，题目太难了，想破脑袋也想不出，强烈要求冯先生（啊，什么时候封先生成黑社会头目了，浪本浪流……）收我为徒弟，我学费加倍奉上。[em08].

夜饭漆好了，丁丁星星做题目，港老石咸画，题目并8奶的，8过妹有米道格。

进糟夜饭漆对下，高蛋白，到底游泳场，漆了6只对下，响彻来6中板法，铁上来2中， 娘冯先生过木，阿拉8大有文化的，错别子妹多格，8号一丝。

[[i] 本帖最后由 老姜 于 2007-3-2 20:12 编辑 [/i]].

回复 #2老封 的帖子

奖没了！.

[quote]原帖由 [i]上海的考拉[/i] 于 2007-3-2 19:24 发表
奖没了！ [/quote]
我用骗来的奖金交学费，哥哥姐姐叔叔阿姨大嘎苦里我，我一接动，又开水写错别子了。.

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-2 13:17 发表
tg(∠1+∠2)＝（tg∠1+tg∠2)/(1-tg∠1tg∠2)

=(b/a+(a-b)/(a+b))/(1-(b/a)*((a-b)/(a+b)))=1

tg∠1=b/a

tg∠2=(a-b)/(a+b)

tg(∠1+∠2）＝1

∠1＋∠2＝45°

  [/quote]
炫炫爸像黑社会的打手，打相打不讲规矩的，打法打法，眼看自己要吃亏了，就撒一把石灰，别人眼睛看8见了，炫炫爸一用力，就把敌人推到黄浦江里“氽馄饨”了。

初二学生8好用两角和的正切公式的，一定要用3角，74用余弦定理也4可以的。[em15].

初二参加高中全国数学竞赛的都有。[em16].

看得偶昏头六冲,七荤八素.[em17] [em17] 学习,学习,再学习!.

也出一题

平面上有11条直线互不平行，试说明，在所有的交角中，至少有一个角小于17度。.

上海滩结束了，再跑上来看看，奖金是不是开始发放了。生活中的封先生，比电视里的冯先生要可爱多了。

炫爸爸的题目好像满简单的，用反证法：

将所有直线平移到过同一点，就相当于得到22条射线，若每相邻两条射线所夹的角均>=17度，则周角>=17*22=374度，矛盾了。.

回复 #39老姜 的帖子

[em02] [em02] 要从头补起来了
以后孩子真要学起几何来，问我，我可是一问三不知啊。汗哒哒滴，哒哒滴，哒哒滴…….

偶电脑技术实在太差了，根号2愣是不会写，所有画图都是 word上拼的，最后还得图片形式上来
十多年没接触几何了.

虽然知道tan是什么意思，但是证明除两个角相加等于45度有意义吗？对大多数人来说还是没有意义的。[em17].

[quote]原帖由 [i]kecy[/i] 于 2007-3-3 10:29 发表
偶电脑技术实在太差了，根号2愣是不会写，所有画图都是 word上拼的，最后还得图片形式上来
十多年没接触几何了 [/quote]
方法不错。.

回复 #41kecy 的帖子

这个方法稀饭的.

再来一题

一张长方形ABCD的纸片，把C角顶点折到AD边上，包括A点和D点，问C点在AD边什么位置时，其折痕最短，在什么位置时，其折痕最长。

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-5 12:00 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-5 11:58 发表
一张长方形ABCD的纸片，把C角顶点折到AD边上，包括A点和D点，问C点在AD边什么位置时，其折痕最短，在什么位置时，其折痕最长。 [/quote]
为避免混淆，我们把线段AD上的C叫做C1，原来的C还是叫做C，又称折痕为线段EF（E，F分别在线段AB，CD上）。

显然，直线EF为线段CC1中垂线，则容易证明：EF=CC1（利用全等三角形）。当C1与A重合，CC1最长，EF也最长；当C1与D重合，CC1最短，EF也最短。.

接棍额.

回复 #46老姜 的帖子

折了一下，感觉不大对，AB>AD和AB<AD也一样吗？我试试。.

这两天有事没能上网，今天一看大出意料。
没想到我公布的这个题引起了大家热烈的讨论,而且真的涌现出不少漂亮的证法，真是高手如云啊！
不过我要补充一下，这题最早的正确解答是由 春笋逢春雨 于 2007-3-2 16:18 发表的：

将二个直角三角形画在一个  长为a+b  宽为a  的长方形内，然后添加辅助线，得到一个边长为b的直角等腰三角形，一个边长为a的正方形，一个直角边分别为根号2a、根号2b的直角三角形，这样就可证出角1加角2等于45度了。

我打算再编一个新题，来替代这个已被大家解秘的题，作为公开征解。不过还得过两天才发表，到了周日公开课时，我希望看到像这题一样的热烈的局面。

不过这个新题的难度该如何把握呢？应该也不能太难吧，因为要适合初二的小同学们。所以我正在绞尽脑汁呢。

让大家拭目以待吧！.

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-5 13:32 发表
折了一下，感觉不大对，AB>AD和AB<AD也一样吗？我试试。 [/quote]
hehe，中午看得匆忙，要吃饭了，看成正方形了。.

回复 #50老姜 的帖子

感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。.

[quote]原帖由 [i]炫炫爸[/i] 于 2007-3-5 14:41 发表
感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。 [/quote]
这个问题需要简单讨论一下，还是不难的。不含有A，D，折痕的取值范围就有可能是个开区间。.

刚刚我又新编了个几何题！奉献给大家思考。不过还不算是我说的那个征解题，这还要过两天才公布。
题目如下：

如图：ABE和CDF是夹在两条平行线之间的两个等腰直角三角形，而且线段EF也平行于这两条线。
求证：BD±AC=MN（即平行线之间的距离）。

注：其中+、－号根据图形不同而选取。

（刚才字母有点错，现已纠正）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-3-5 16:03 编辑 [/i]].

题目不难，但却很优雅，符合冯先生一贯的处世风格。.

看懂了。

[[i] 本帖最后由 春笋逢春雨 于 2007-3-5 17:03 编辑 [/i]].

顶，不要让温度下降，要想大跃进那样火热。[em14] [em16].

回复 #56炫炫爸 的帖子

是啊，而且要像大跃进那样——速度越快，功绩越大！[em16] [em14].

不好意思，新题还在改编中。不要期望过高，能够给大家带来快乐就好。
昨天与老姜在讨论这样一个题：

已知△ABC中，∠A＝120，在AB、AC两边上分别取点E、F，满足BE＝CF，设BF与CE相交于D点。再以BC为一边上下各作正三角形QBC、PBC。求证：AP∥QD。

虽是新鲜出炉的趣题，但恐怕用它作为征解题会太难一些。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-3-7 14:45 编辑 [/i]].

回复 #58老封 的帖子

昨晚在饭店里FB，冯先生坐在我的边上，眼睛定洋洋的，一直在考虑一道新出炉的平面几何问题，嘴里念念有词。

哎呀呀，冯先生对几何的痴迷，已到了废寝忘食的地步，赞一记！

补充一句：乘冯先生在几何王国里流连忘返、无法自拔之际，老姜张开血盆大口，风卷残云，把一个个菜盆吃成底朝天。.

不是冯先生买单，你当然要多吃一些，要不冯先生打包走了，你回家怎么跟LP报账[em14] [em16]

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-7 16:57 编辑 [/i]].

奖，奖，奖，我也想要奖！.

单墫教授的一个题：
（录自新著《我怎样解题》）
可参见：
[url]www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082[/url].

回复 #2老封 的帖子

如图：

AB=CD=a，BC=DE=b，∠ABC=∠CDE=90°
显然⊿ACE为等腰直角三角形（ 直角⊿ABC≌直角⊿CDE），即∠CAE=45°
∵⊿ABF∽⊿EDF  ∴DF/FB=DE/AB=b/a
∵DB=a-b         ∴FB=(a-b)a/(a+b)
∴FB/AB=(a-b)/(a+b)
即∠EAB=∠2 （∠1和∠2为原图所示）
∴∠1+∠2=∠BAC+∠EAB=∠CAE=45°
得证

[[i] 本帖最后由 秦博他爸秦革 于 2007-4-17 10:50 编辑 [/i]].

回复 #63秦博他爸秦革 的帖子

这和前面春笋逢春雨的解法基本一样，但图形更简洁了些

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-4-17 14:30 编辑 [/i]].

悬赏一道平面几何题

悬赏一道平面几何题（奖励最先给出有效证明者精美图书一套！）
[size=3][color=Red][font=黑体]“设D是△ABC内任一点，过动点P作AD、BD、CD的平行线，在△ABC相应两边所在直线之间截得三条线段，其长度分别记为x、y、z。求证：x/AD、y/BD、z/CD这三个比值中，一定有一个等于另外两个之和。”[/font][/color][/size].

老封，大家都忙小升初去了，那里打得火爆，看来你悬赏签名书会有效一些。[em16].

证明来也

下午监考，晚上阅卷，一个字：累。

看到冯先生有书奖励，思考半小时，终有良策，还是一个字：爽。.

补充一句：如果DE//AC，x2/y2=1，结论是显然的（图四）。如果E与A重合，那就更显然了，这些话俺就不罗嗦了。.

老封向老姜奖励科普名家谈祥柏先生所译的《稳操胜券》（上、下）一套！.

鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html[/url]
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品：[url]http://www.jw-edu.cn/[/url].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-4-29 10:33 发表
鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html[/url]
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品 ... [/quote]
邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。.

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-4-29 13:19 发表

邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。 [/quote]
那最好不过。其实我身边已经没有这本书了，上次的已全被抢购一空。.

请教老姜一个问题

老姜上次在另一帖子（[url]http://ww123.net/baby/thread-4419808-1-1.html[/url]）中提到：
“下图中，求证：EI=FJ。”
我也对同一图形作了探索，没想到获得了一个意外的结论：
同一图中还成立“BK平方+CL平方=2×EI平方！”
不知道其难度如何？你有兴趣想一想吗
看来老封又要继续设奖了：）.

更一般的关系也找到了！

.

有奖品，赶紧来。

说穿了，并不难。

首先要想清楚里面的两个正方形是怎么作出来的，很多解题者应该卡在这里，连图也画不出。
其实只要以M点为旋转中心，将底边BC旋转90度。交FG分别于L、P两点。这两点一定是里面两个正方形的上面的两个顶点。（假如这步都没有理解，那么赶紧向封老师学习几何作图。我水平不够，解释不清楚。）
一不小心B、C两点就转到了B‘和C’。于是有BJ＝B‘L，CN＝C'P。由于旋转所得，FQB’R和GTC‘S都是正方形。剩下就是计算了。
FL^2+PG^2=FQ^2+QL^2+GS^2+PS^2=B'L^2+QL^2+C'S^2+PS^2=B'L^2+2B'L*QL+QL^2+C'S^2-2C'S*PS+PS^2=(B'L+QL)^2+(C'S-SP)^2=B'L^2+C'P^2=BJ^2+CP^2
得证。

奖品到手咯。.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-4-29 16:44 发表
[/quote]

哇哇哇。梯形的刚解决，又来新的了。继续。.

不高兴重新画图了，借用原来的那张图。
前面的全部照旧，唯一的问题是由于不是梯形，所以画出来的两个不是正方形了。
容易证明△FQB’全等于△C‘SG。剩下的就是一样的计算了吧。.

严重同意：
发现一个问题远远比解决一个问题来的重要。

这种简单的题目，姜老师就让让我们小字辈的出出风头嘛。
等到出来一些需要本事才能解决的题目，自然就是你们出风头了。.

LS太谦虚了，84姜老头高姿态，24姜老头手脚慢，郁闷啊，书没了。

忽报老猫已伏虎，泪飞顿作倾盆雨。[em02]  

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。.

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-4-30 07:00 发表

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。 [/quote]

个人认为这个结论写成：(a^2+b^2)-(c^2+d^2)=e^-f^2是不是更好看。.

晚上不能上网，痛苦。
上午登录一看，惊喜！老猫真是高手啊，抽刀断水功夫非凡。老姜的新结论也让人欣喜。说明这个图形奥妙非凡，还有待发掘。
老猫指出了一条正确的思路：把一侧的图形旋转过去！只有这样，才能建立图形的内在联系。
不过说实话，老猫的证法我还没有完全消化，有些细节还未想通：在一般情形中，为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。.

昨晚我还考虑了一种推广：
当M不是中点，而是AB联线上的任意一点，结论也有效，只不过前面需要加权的系数。
具体说来，就是：两者平方差之比，与P点分线段AB的比的平方相等！
（这一情形还没给予证明呢。有待大家努力！）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:52 编辑 [/i]].

但是我试过另外两种推广思路，却失败了：
推广至正三角形不行；推广至普通的直角三角形也不行；只有等腰直角三角形才行。
说明其中肯定还有奥秘没被完全搞清楚。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:48 编辑 [/i]].

向老猫致意

为了奖励老猫昨晚出色的工作，现向你赠送最新出炉的新书——单教授刚修订出版的《解题研究》一册！
凡是对这题讨论有贡献者，还可继续获取老封提供的新奖励：）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:50 编辑 [/i]].

老姜的结论好像也不容易推广至加权的情形，我正在伤脑筋呢。
谁有锦囊妙计没有？.

我又发现了证明细节的一些新的线索：
图中EC′＝FD′＝AB/根号2，
两条垂线EP、FQ的长度分别为x＋y、x－y，其中x、y是图中所构造的水平和垂直距离（以CD方向为准）。
也就是说，老猫所构造的这对全等的直角三角形的三边长度，仅跟线段AB的长度和方向有关！
这些细节也许对证明有至关的作用，供大家参考。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 13:40 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-4-30 10:23 发表
为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。 [/quote]

忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？[em07].

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-4-30 17:04 发表


忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？ [/quote]
证明的确是有点过不去，我晚上也会再想想。.

老猫：昨晚想过了，你的证法好像是有问题。线段EC′和线段FD′的相等不成问题，我已给出了证明，而且还证明了这对全等的直角三角形：Rt△PEC′和Rt△QFD′的两条直角边确实分别为x＋y和x－y。
但接下去的论证却走不下去，不能得到平方和成立的有效结论，只能得到如下的关系：.

已彻底弄明白了！
老猫的证明是有效的。
而且用老猫所添的辅助线，还可以对梯形的情形得到额外的结论：
[color=Red][size=4][font=黑体]“BK+CL=AD。”[/font][/size][/color]
而这也并非是平凡的。.

推广终于找到了！

设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个正方形共有三组顶点各四点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

现在的问题是，不知正方形是否还能推广为其它的图形？.

又推广到了矩形！

（不过结论不如正方形强，只能写出一个等式。）
设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个形状相似的矩形共有三组顶点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

[url]http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html[/url].

[url]http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html[/url].

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似四边形，则一定成立如下关系：.

刚才犯了点错误，请见

[url]http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html[/url]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 16:22 编辑 [/i]].

终于克服了错误，找到了预期中的好结果！

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似的圆内接四边形，则一定成立如下关系：.

如果去掉圆内接的条件,结论就比较繁,这里就不写出来了.
如果两个四边形不相似,那我想什么关系也都没有了.谁能找出来,我服了他!:lol.

：）.

这是上回那题的证明吧?.

这种证明方法是我现在教的一个高中竞赛班的叫徐文浩的学生给出的。

你知道他花了多少时间想这个问题？1分钟！呵呵，像在做口答题。

这个小子初三得过全国初三竞赛一等奖，高二得了高三竞赛二等奖，确实蛮厉害的。

这次我们学校参加ti杯比赛，我在决定打团体赛的名单时在两个人之间犹豫不决，最终放弃了一个比他稳定的，选择了他，算是赌博吧。：）.

我认为这种方法应该算是最简单的一种了，你说呢？.

好样的！.

老姜，你昨天给我思考的这题晚上已找到了推广，改造成为一道证明题。
你看看：.

你昨晚的电话搅了我的清梦。不过，接这个电话还是有所收获的。希望能把这个问题的几何背景搞清楚，三角的面孔应该只是它的显像部分。.

这两天正忙于备课，没时间想下去了。.

据说解题高手唐传发老师还未正式登陆过，只是浏览了一下而已。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-31 13:59 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-5-10 10:07 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1631095&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
你昨晚的电话搅了我的清梦。不过，接这个电话还是有所收获的。希望能把这个问题的几何背景搞清楚，三角的面孔应该只是它的显像部分。 [/quote]
你注意到没有：这个图两个角地位还是不对称的。
要想几何上论证，首先得把结论改造得更对称些 ！
能不能把这个三角关系转化掉？.

刚收到老殿的邮件：
[color=Red]老封你好：我以前讨论过Malfatti问题，并给出了相应的解法，好像《小花》中就有。
近日阅读吴文俊老先生的一篇《数学机械化：回顾与展望》，参见：
[url]http://www.mmrc.iss.ac.cn/973/wu-pref.htm[/url]
其中有一段使我百思不解：
几何作图也是一类诱人的问题，在１９世纪中叶得到充分的关注。除了通常的规尺作图外，１９世纪的几何学家，还阐发了只用直尺或只用圆规之类的作图理论与作图方法。在古希腊时代，就有求作一圆与三圆相切的Appolonius问题以及所谓几何三大问题。１９世纪又出现了所谓求作三圆彼此相切且各与三角形的两边相切的Malfatti问题，更重要的是给出了可以规尺作图的充要条件。例如Appolonius问题可以用规尺作出，而Malfatti问题则否。Gauss更据以证明可以规尺作图的所有可能的正多边形，特别指出正 １７边形可以用规尺作出，这一出人意表的成果使年轻的Gauss决定献身数学。在近代，也有源自著名数学家Zassenhaus与Van der Waerden的一个问题。已知一个三角形的三条边，就可作出它的内外分角线来。反过来，知道三角形的内外分角线的三条，是否可以作出相应的三角形来，就很不简单，但运用上述判准，却可以得到完全的解决，即一般说来光用规尺是不可能的。
难道Malfatti问题真是尺规作图不能问题，还是下面作法有问题：先定出三线形a1a2a3内心I，再定出三角形A1A2I、A2A3I、A3A1I的内心I1、I2、I3，以I2I3、I3I1、I1I2为对称轴，分别将A1I、A2I、A3I反射变换得到共点的三条直线b1'、b2'、b3'，则四线形a1a2b1'b2'、a2a3b2'b3'、a3a1b3'b1'的内切圆即为所求圆。请你看看，若Malfatti问题真是已经证明了的尺规作图不能问题，以上作法又没有问题，那问题可就大了：代数证明的尺规作图不能问题是不可靠的！弟：殿林  07-05-08[/color]

老殿，我想吴老先生在这一细节上出了点小错。Malfatti问题并不是尺规不能问题，作法不仅《小花》中有，记得阿达玛《几何》一书附录中还有详细讨论。看来对名人的言论也不能迷信啊！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-14 10:15 编辑 [/i]].

最新成果与大家分享

昨晚在研究一个颇有意思的图形：

任意直线L关于△ABC三边的轴对称直线L1、L2、L3，它们围成一个三角形，记为△XYZ。我发现了两个有趣的结论——

[size=4][font=黑体]结论一[/font][/size]  △XYZ的内心I恰位于△ABC的外接圆上。.

[size=4][font=黑体]结论二[/font][/size]  △XYZ的外接圆直径D与△ABC的垂心H离开直线L的距离d之比，恰好等于△ABC与垂三角形△DEF的面积之比！.

还有，当直线L平移或绕定点旋转时，可观察到△XYZ的外心O′的轨迹分别是直线和圆，有意思的是，它们都经过△ABC外接圆上一个固定的点，它并不受直线L的方向或旋转中心的具体位置干扰。
那么这个固定的点有什么特点呢？
现在已经搞清楚了，该点的特点是——它对于△ABC的西摩松线恰好平行于△ABC的欧拉线！
后又发觉，当直线L平移或绕定点旋转时，△XYZ的垂心或其它特殊点的轨迹也都是直线或圆，而且也相应地经过定点。对这类定点的刻划是一件有意思的事。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-15 09:13 编辑 [/i]].

又如，当直线L绕某个定点旋转时，可观察到△XYZ的欧拉线也相应地在绕另一个定点旋转。能不能把这两个定点之间的联系刻划出来？.

这个问题就更为复杂了。
三角形XYZ（我记为A'1A'2A'3）的许多特殊点，当直线L平移时共点，该点就是它的内心I’（不动点）。在L绕定点旋转时，其欧拉线经过的定点是外心O‘、垂心H’轨迹圆的一个交点Q，另一个交点P在三角形A1A2A3的外接圆上（即三圆共点，也是XYZ的许多特殊点的轨迹——圆——的公共点）
[attach]54924[/attach]

[[i] 本帖最后由 老殿 于 2007-5-16 08:46 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老殿[/i] 于 2007-5-16 08:40 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1648419&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这个问题就更为复杂了。
三角形XYZ ... [/quote]

我的感觉与你不同，这个构形比作轴对称点的反而简单，而且意思更大。
从表面看，这题涉及的是作轴对称线，其实不然。从更深处看，它更多体现的是三相似图形的思想（而且还是一种特例）。其实一切都是在顺相似的范畴内做文章，所以结论更显和谐。下次有空我再对此作些解释。.

我昨天提到了外心、垂心等特殊点的轨迹，其实特殊点并不是问题的关键。只要一个点在三条对称线所围成的三角形（我也改称其为△D′E′F′）中的相对位置保持不变，那么其轨迹就是一个圆，而且不管平移方向为何，旋转中心为何，它总与△ABC的外接圆交于一个定点，这个定点的位置是由所取点在△D′E′F′中的相对位置决定的。对此，我已给出了一个完美的结论，使问题得以最终解决。
不过这个结论在外人看来或许有些费解，未必能看出其深刻之处。但想必也一定有人能感受到它的价值：.

[font=黑体][size=4]结论三[/size][/font]    设P′是△ABC外接圆上任一点，过垂心H作P点的西摩松线的平行线，并在这条平行线上取两点P和Q（在H点的两侧），满足：│PH│×│HQ│＝2Rr，其中，R是△ABC外接圆半径，r是△DEF内切圆的半径。再过Q作任意直线L，记L关于△ABC三边的轴对称直线所围成三角形为△D′E′F′。那么，结论是：D′、E′、F′、P′四点一定与D、E、F、P四点反向相似！.

补注：在结论三中，2Rr也等于AH×HD（或BH×HE及CH×HF）。

有了结论三，就把轨迹圆所经过的那个神秘的不动点刻划清楚了。是不是呢？

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-17 08:50 编辑 [/i]].

当P点取成△DEF的外心、垂心等特殊点时，就可分别得到已经讨论过的那两种特例。换句话说，不动点P′在外接圆上的位置取决于P相对于△DEF的位置，两者是通过西摩松线来沟通的。.

至于欧拉线所经过的定点，我也有了一个深入的结论：

[font=黑体][size=4]结论四[/size][/font]    △ABC的每边所在直线关于三边对称线（其中有一条不动）围成图中阴影的黄色三角形，共三个，其相应的欧拉线所围成的三角形记为△A′B′C′。任意直线L关于△ABC三边的对称直线所围成的三角形记为△D′E′F′。当L绕定点P旋转时，则△D′E′F′的欧拉线也必绕一个定点P′旋转，且P′、A′、B′、C′四点一定与P、A、B、C四点反向相似！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 10:11 编辑 [/i]].

我来揭示这个图形的意义
其实研究一条直线关于三边对称线这一课题是对西摩松线的斯坦纳定理之深化。
斯坦纳定理指出：“外接圆上任一点关于三边的轴对称点一定共线，所共直线还经过△ABC的垂心。”
斯坦纳定理的逆定理是：“一条直线关于△ABC的轴对称线共点的充要条件是它通过垂心H，而且所共点一定落在外接圆上！”（参见梁绍鸿《初等数学复习及研究》复习题三第39题）
上述结论二是对这一逆定理的加强，给出了不共线情况的定量描绘。也就是说，三条轴对称线围成的三角形的大小取决于垂心H离开直线L的距离。
注：三对称直线所围成的三角形总与△ABC的垂三角形反向相似。.

[em07] 原来如此。.

我正在写这题与三相似图形的内在联系，但刚刚来了客人，中断了。
网络又不好，忽断忽续，写了老半天，还没有整理成文呢.

但我上面为什么说这个图形和轴对称的关系不密切呢？

原因是，可以从另一角度来理解这个图形：设作△ABC每一个顶点关于对边的轴对称点A′、B′、C′，得到四个相似三角形——△A′BC∽△AB′C∽△ABC′∽△ABC，其实△ABC与前三个是否相似并非问题之关键，只要周围三个三角形按这样的方式相似，就可把它们理解成三张相似的“地图”，问题就变成三张图中的对应直线何时共点这一颇有意味的问题了。

所以说，本图中的△ABC的外接圆其实就是三相似图形的“布洛卡（Brocard）圆”，一旦三对应线共点，所共点就一定落在该圆上！.

关于一般的三相似图形

对于更一般的三相似图形，也就是说：将任意三张顺相似的“地图”重叠在同一平面上，这时可以提出一连串有意思的问题。例如：何时三对应点共线？何时三对应线共点？所共点形成的轨迹是什么？等等。这些都是带有一般意义的基本问题，值得讨论。而这正是《近代欧氏几何学》最后一章的研究范围。
只要三相似图形不退化，就一定能从中找到满足：△A′BC∽△AB′C∽△ABC′的六个点。其中，
A是地图Ⅱ和地图Ⅲ的相似不动点，A′是这个不动点在地图Ⅰ中的相应点；
B是地图Ⅲ和地图Ⅰ的相似不动点，B′是这个不动点在地图Ⅱ中的相应点；
C是地图Ⅰ和地图Ⅱ的相似不动点，C′是这个不动点在地图Ⅲ中的相应点。
这三个相似三角形的形状称为该三相似图形的“特征三角形”。
关于这种一般情形，其实有不少结论还是可以跟上面的特殊情形进行类比的。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 14:29 编辑 [/i]].

刚收到美国数学奥林匹克国家队教练冯祖鸣先生邮件，里面提到一个平面几何题：

[color=Red]Hi, any interested problem can be made from this:
Let $ABC$ be a triangle, with incenter $I$. Its incircle touching the sides $BC, CA, AB$ at $D, E, F$, respectively. Line $EF$ intersects lines $BI$ and $CI$ at $Q$ and $P$, respectively. Lines $BP$ and $CQ$ meet at $X$. Then $XI$ is perpendicular to $BC$.
Any new geo. problems?Best[/color]

其实，这道题恰好等价于我为江苏省第十届初中数学竞赛（1995年？）所供的平面几何题：
“已知三条线段AB，BC，CD都与圆O相切，且AB＝BC＝CD，联结AC，BD交于X点，T是BC上的切点。求证：XT⊥BC。”

有兴趣的同学不妨思考一下，并比较一下两者的异同。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 14:28 编辑 [/i]].

在一般的三相似图形中，可以保证AA′、BB′、CC′这三条联线一定共点，所共点P称为该三相似图形的“广义Fermat点”。
不难证明，三对应直线所围成的三角形a′b′c′的形状是固定的，它总是反向相似于P关于△ABC的垂足三角形abc。而且在△a′b′c′中找出P关于△abc的相似对应点，记其为P′。那么P′一定位于△ABC的外接圆——三相似图形的布洛卡圆上！
这就是命题一在三相似图形中的推广形式。在特殊情形中，H是垂三角形的内心，因此P′也就取内心了。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 15:20 编辑 [/i]].

在一般三相似图形中，命题二也有其推广形式：
广义Fermat点关于△ABC的等角共轭点称为“广义等力点”，记其为Q，则Q关于△ABC的垂足三角形一定反向相似于特征三角形。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 15:40 编辑 [/i]].

有意思的是：在特征三角形△A′BC、△AB′C、△ABC′中，与Q点对于其垂足三角形位置相应点Q1、Q2、Q3就是联线与AA′、BB′、CC′与布洛卡圆各自的交点！
与命题二相应的结论是：“三对应直线当且仅当各自经过Q1、Q2、Q3时共点，所共点也一定落在布洛卡圆上！”
而且，当三对应线并不共线时，它们所围成的三角形之大小，也与对应直线离开Q点的距离成正比。只是像命题二那样完美的定量结论对于一般的三相似图形目前还暂没有找到，有待高手们努力！.

又一个新结论

[size=4][font=黑体]结论五[/font][/size]    当直线L绕着定点T旋转时，三条对称线所围成的三角形D′E′F′中的固定点P′的轨迹是圆，其半径r′等于
                                                             [size=5]（PH×TQ）/2r，[/size]
其中P是垂三角形DEF中相应于P′的点，Q就是结论三中所构造的那个点，r是△DEF内切圆的半径。


结论三其实是结论五的特例，当r′退化为0时的情形。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-17 09:56 编辑 [/i]].

三相似图形研究延续

关于三相似图形研究，有两项小进展：
（1）当三相似直线（在各自的地图中）绕某定点旋转时，所围成的三角形a′b′c′中的定点D′之轨迹总是圆；而且，不管旋转中心怎么移动，轨迹圆总与布洛卡圆交于一个固定的点X，这个X在布洛卡圆上的位置由D′在三角形a′b′c′中的位置所决定。设D′点在广义Fermat点的垂足三角形中的相应位置为D，则固定点X可如下刻划——它关于△ABC的西摩松线恰平行于直线PD！
这使结论三有了延续，但定量方面的结论还未最终找到。然而线索已经发现：像结论五那样，轨迹圆的大小仍取决于旋转中心离开特征三角形中一个神秘点的距离，这个神秘点相当于结论三中费了九牛二虎之力构造出来的那个Q点。不过在一般三相似图形中如何刻划它？这是个绕有趣味的问题。
（2）当三相似直线绕各自特征三角形的外接圆上某定点旋转时，所围成的三角形a′b′c′的外接圆必经过布洛卡圆上的一个定点。这两个定点间的联系亦尚未刻划成功。.

出个题给大家思考：

“如图，设任意点关于△ABC三边的对称点分别为D、E、F。△ABC的外心和垂心分别为O、H。
求证： S△DEH∶S△DFH＝S△ABO：S△ACO。”.

不要小看这题，它在三相似图形中具有较深的涵义。.

谁能给出这题的好的证法？
老封又将送出一本书作为悬赏。.

我来提供一个新思路

这两天一直在思考这道涉及面积的命题，其实这个结论是我一个朋友于1999年前后就提出了，但我好像总没找到简单的证明。为了给出有效证明，近日我产生了一个推广斯坦纳（Steiner）定理的有趣思路：
当P点在△ABC的外接圆上时，由斯坦纳定理知：P关于AC、AB的对称点E、F与H三点共线。
当P点不在外接圆上时，发现△HEF的面积取决于P离开外心O的距离。我已推导了定量的表达式：.

有了这个公式，那么前面那道涉及面积比的题目就不难证了，大家不妨试试。
而且，还可将垂足三角形面积的欧拉公式作为其推论：.

斯坦纳，一位伟大的平面几何专家，他总是不倦地在思考一些问题。.

一个深刻的结论，悬赏求解

这个问题已由安徽唐传发老师给出巧妙的证法!
今天早上他打电话来告诉了我他的绝妙构思，这样做来本题就并不是很难了，现暂且将此题撤去。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-25 11:00 编辑 [/i]].

一位友好的美国数学家

前天晚上，数学奥林匹克今年国家队的副领队、广州大学计算机软件研究所所长朱华伟教授来电告诉说，他上周曾专赴加拿大，与台湾九章图书公司老板孙文先先生一起，代表中方接受了前美国数学会主席Klamkin先生遗赠给我国的2500余册数学原版书，并将这些图书运回到广州，整整摆放了两间房间！听说其中还包括不少珍贵的平面几何书呢。
Murray Seymour Klamkin，一位卓有成绩的数学家，1921年出生于纽约，2004年去世。他本人对几何十分专长，曾提出过著名的“Klamkin中线对偶原理”，揭示了由三角形的三条中线所围成的三角形与原三角形的一种内在联系，不仅它们的面积有一种明确的比例关系——3比4，而且，再取由第二个三角形的三条中线，所围成的三角形一定与原先的三角形相似，相似比也是3比4。这一原理可有效应用于几何不等式中。
这里留一个题给初中同学思考一下：
“已知一个三角形的三边之长与三条中线之长成比例，问这个三角形必须满足什么条件？”
除了正三角形这一平凡情形外，还有另外一种有趣情形。因为题中并未明确某条中线必需和哪一边成比例，于是出现了其它可能性。大家不妨一试。
注：本题取自毛鸿翔等《直线形》（江苏人民出版社，1980年版）一书的总复习题第35题。.

下面这篇是华裔数学家Andy Liu所写的纪念Klamkin教授一文：

[size=5][font=黑体]Memorial Celebration of the Life of Murray Seymour Klamkin[/font][/size]   by Andy Liu


Let me first make it clear that this is not a eulogy. By my definition, a eulogy is an attempt to make the life of the departed sound much better than it was. In the present case, it is not only unnecessary, it is actually impossible. Murray Seymour Klamkin had a most productive and fulfilling life, divided between industry and academia.

Of the early part of his life, I knew little except that he was born in 1921 in Brooklyn, New York, where his father owned a bakery. This apparently induced in him his life-long fondness for bread. I read in his curriculum vita that his undergraduate degree in Chemical Engineering was obtained in 1942 from Cooper Union’s School of Engineering. During the war, he was attached to a chemical warfare unit stationed in Maryland, as his younger sister Mrs. Judith Horn informed me.

In 1947, Murray obtained a Master of Science degree from the Polytechnic Institute of New York, and taught there until 1957 when he joined AVCO’s Research and Advanced Development Division.

In 1962, Murray returned briefly to academia as a professor at SUNY, Buffalo, and then became a visiting professor at the University of Minnesota. In 1965, he felt again the lure of industry and joined Ford Motor Company as the Principal Research Scientist, staying there until 1976.

During all this time, Murray had been extremely active in the field of mathematics problem solving. His main contribution was serving as the editor of the problem section of SIAM Review. He had a close working relation with the Mathematical Association of America, partly arising from his involvement with the William Lowell Putnam Mathematics Competition.

In 1972, the MAA started the USA Mathematical Olympiad, paving the way for the country’s entry into the International Mathematical Olympiad in 1974, hosted by what was still East Germany.

Murray was unable to obtain from Ford release time to coach the team. Disappointed, he began to look elsewhere for an alternative career. This was what brought him to Canada, at first as a Professor of Applied Mathematics at the University of Waterloo.

However, it was not until the offer came from the University of Alberta that made up his mind to leave Ford. I did not know if Murray had been to Banff before, but he must have visited this tourist spot during the negotiation period, fell in love with the place and closed the deal.

As Chair, Murray brought with him a management style from the private sector. Apparently not everyone was happy with that, but he did light some fires under several pairs of pants, and rekindled the research programs of the wearers.

Murray had always been interested in Euclidean Geometry. He often told me about his high school years when he and a friend would challenge each other to perform various Euclidean constructions. Although the Chair had no teaching duties at the time, Murray took on a geometry class himself.

At the same time, Murray began editing the Olympiad Corner in Crux Mathematicorum, a magazine then published privately by Professor Leo Sauve of Ottawa. It is now an official journal of the Canadian Mathematical Society. Murray also introduced the Freshmen and Undergraduate Mathematics Competitions in the Department.

Geometry, mathematics competitions and Crux Mathematicorum were what brought me to Murray’s attention. At the time, I was a post-doctoral fellow seeking employment, having just graduated from his Department. Thus I was ready to do anything, and it happened that my interests coincided with those of Murray. I was holding office hours for his geometry class, helping to run the Department’s competitions and assisting him in his editorial duty.

I remember being called into his office one day. He had just received a problem proposal for Crux Mathematicorum. “Here is a nice problem,” he said, “but the proposer’s solution is crappy. Come up with a nice solution, and I need it by Friday afternoon!”

As much as I liked problem-solving, I was not sure that I could produce results by an industrial schedule. Nevertheless, I found that I did respond to challenges, and although I was not able to satisfy him every time, I managed to do much better than if I was left on my own, especially after I had got over the initial culture shock.

The late seventies were hard times for academics, with few openings in post-secondary institutions. I was short-listed for every position offered by the Department, but always came just short. Eventually, I went elsewhere for a year as sabbatical replacement. Murray came over to interview me for a new position, pushed my appointment through the Hiring Committee and brought me back in 1980.

Murray had been the Deputy Leader for the USA National Team in the IMO since 1975. In 1981, USA became the host of the event, held outside Europe for the first time. Sam Greitzer, the usual Leader, became the chief organizer. Murray took over as the Leader, and secured my appointment as his Deputy Leader.

I stayed in that position for four year, and in 1982, made my first trip to Europe because the IMO was in Budapest. This was followed by IMO 1983 in Paris, and IMO 1984 in Prague. I was overawed by the international assembly, but found that they in turn were overawed by Murray’s presence. He was arguably the most well-known mathematics problem-solver in the whole world.

We both retired from the IMO after 1984, even though I would later return to it. His term as Chair also expired in 1981. Thus our relationship became collegial and personal. He and his wife Irene had no children, but they were very fond of company. I found myself a guest at their place at regular interval, and they visited my humble abode a few times.

It was during this period that I saw a different side of Murray. Before, I found him very businesslike, his immense talent shining through his incisive insight and clinical efficiency.

Now I found him a warm person with many diverse interest, including classical music, ballroom dancing, adventure novels, kung-fu movies and sports, in particular basketball.

Although Murray had been highly successful in everything he attempted, he will probably be remembered the most for his involvement in mathematics problem-solving and competitions. He had authored or edited four problem books, and had left his mark in every major journal which had a problem section. He had received an Honorary Doctorate from the University of Waterloo and was a Fellow of the Royal Society of Belgium. He had won numerous prizes, and had some named after him.

Murray had enjoyed remarkably good health during his long life. It began to deteriorate in September 2000 when he underwent a by-pass operation. After his release from the hospital, he continued to exert himself, walking up to his office on the sixth floor, and skating in the West Edmonton Mall.

His heart valve gave in November, fortunately while he was already in the hospital for physiotherapy. He was in coma for some time. One day, when I visited him, he was bleeding profusely from his aorta. The doctor indicated to me that he did not expect Murray to last through the day.

Somehow, the inner strength of Murray came through, and on my next visit, he was fully conscious. He told me to make arrangement for his eightieth birthday party, stating simply that he would be out of the hospital by that time. It was a good thing that I took his words seriously, for he was out of the hospital by that time, ready to celebrate.

One of the last mathematical commitment he made was to edit the problem section in the MAA’s new journal Math Horizons. During this difficult time, he asked me to serve with him as joint-editors. Later, he passed the column onto me, but his finger-prints were still all over the pages.

Now I have to try to fill in his shoes without the benefit of his wisdom. His passing marks the end of an era in the world of mathematics competition and problem-solving. He will be deeply missed..

这里改换一题替代原先的悬赏题：

“如图，A、B、C是平面上任意三点。在两圆⊙O1、⊙O2上分别有四个点A1、A2、A3、A4；B1、B2、B3、B4，满足四边形A1A2A3A4与B1B2B3B4顺相似。然后作△C1AB∽△CA1B1，△C2AB∽△CA2B2，△C3AB∽△CA3B3，△C4AB∽△CA4B4。求证：C1、C2、C3、C4四点共圆！”

注：这也是我在1999年时与一位朋友合作的一项研究成果，可惜那位似乎已对数学不感兴趣了。.

老封的问题都比较深刻，这段时间忙于它务，也没有时间思考，看来只有等待暑假了。
我这里有个学生问题，已有证明，但我没看出它的出题背景，请老封和各位大虾赐教：.

回复 #143 老殿 的帖子

这个题目我思考过，有一定心得。下次慢慢细谈.

最有意思的是，我用《几何专家》证明这个问题时出现一个问题：用GDD方法证明，超时；用面积方法证明结论是命题错误！用吴法证明结论是命题正确，用向量方法证明结论又是命题错误！[em17] 你说怪不怪？看来机器定理证明的完善还有很长的道路要走。.

回复 #145 老殿 的帖子

呵呵，电脑在作怪啊。有时电脑还不如人脑好使呢.

回复 #143 老殿 的帖子

我记得这道题的原型是BF为∠ABC的外交平分线吧，这一样的，前一段时间好像刚刚做过.

回复 #147 Schumi 的帖子

这道题的原型是BF为∠ABC的外角平分线，上面的是几何专家里的作图法，为了照顾证明（尽量使图形简单，另一个原因是几何专家中竟然没有角平分线作图！——我认为这也是限制几何专家推广的一个重要原因：为了照顾证明，不能自由绘图探索几何性质）修改而得的。.

回复 #146 老封 的帖子

应该不是电脑的毛病，还应该是软件设计不够完善所致。.

我来点评老殿提到的题

这是一道较常见的几何习题，例如较早时就见于《数学题解》（吉林人民出版社1980年3月版，孙诲正 王得福 于永泉编）一书的（下册）第338页第1题。
如运用初三的知识，可直接证D、E、B、F四点共圆，极为方便；如只运用初二全等三角形的知识，则需如图添一条辅助线EG，然后证△DGE≌△EBF。.

还有一个类似的题，如见于《初中几何妙题巧解》（上海科技教育出版社1989年10月版，蒋声编）第50页：
“在正三角形ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。”.

证法也类似，有共圆及全等两种手法，所以蒋声先生为这节所取的标题是“初三容易初二难”。

这两题的共同背景是：
设O是定直线L1外一个定点。在L1上任取动点P，作形状固定的三角形OPQ，则Q点的轨迹是图中所示的直线L2（相当于以O为中心的相似变换，将L1变换为L2）。.

反过来，由其逆过程就可得到一个命题：


“[size=5][b]命题[/b][/size]  设直线L1与L2相交于A，O是平面上一个定点，作∠OPQ＝∠OAQ交L2于Q，则比值OP∶PQ必是定值。”


注：线段OP与OQ的长度之比即为O点至直线L1和L2的距离之比，故定值可在△OPQ中推算而得。
特别是，当∠1＝∠2时，比值恰是1，即此时始终有OP＝PQ的结论。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-5-31 11:31 编辑 [/i]].

我曾将此命题改编为2003年的均瑶杯的决赛题：.

与王均瑶兄就这一面之缘，可惜他英年早逝了！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-6-1 11:12 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-5-31 11:13 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1697725&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这是一道较常见的几何习题，例如较早时就见于《数学题解》（吉林人民出版社1980年3月版，孙诲正 王得福 于永泉编）一书的（下册）第338页第1题。
如运用初三的知识，可直接证D、E、B、F四点共圆，极为方便；如 ... [/quote]

果然是初三容易初二难，难就难在辅助线的作法不容易想到。.

我请我大学同学常文武博士将纪念Klamkin一文译成了中文，请大家欣赏。

从文中我们可以得知Klamkin主席既是一位解题大师，然而却对欧氏几何情有独衷。

真正大师级的人物都不会轻视几何的价值。

有人甚至说过这样一段话：

“[color=Red][size=5][font=黑体]谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡！”[/font][/size][/color]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-6-7 15:04 编辑 [/i]].

追忆

[font=黑体][size=5]追忆Murray Seymour Klamkin先生[/size][/font]   [加拿大籍华裔]刘江枫

    首先声明此文并非歌功颂德的悼辞。我定义那是一种企图让亡者的一生听起来比实际好些的粉饰之词。而当下，这不但是无此必要，还实际上并不可能。Murray Seymour Klamkin先生一生著述颇丰，经历丰富，他的一生可分为工业和学术两部分。
关于其早年生活，我仅知道他生于1921纽约的Brooklyn，那儿他的父亲开着一家面包房，这是他一生喜好吃面包的明显原因。我从他的求学简历得知他的化工学士是1942年从Cooper Union工程学院拿的。他的妹妹Judith Horn女士告诉我，二战期间他曾在马里兰化学武器部队服役。
1947年，Murray获得纽约多技术大学科学硕士学位并在那儿任教至1957年。此后加入了AVCO的研究与高级开发部。
1962年，Murray短暂回归学术界，在SUNY，Buffalo当教授，后又成为Minnesota大学的客座教授。1965年，他挡不住工业界的诱惑参加福特汽车公司充当首席科学家直至1976年。
在所有这些经历中，Murray渐渐成为数学问题解决的活跃分子。他的主要贡献是为SIAM（工业与应用数学学会）评论充当问题部分的编辑。因其介入了William Lowell Putnam数学竞赛，故工作上与美国数学联合会关系密切。
1972年MAA为组建参加1974年的国际数学奥林匹克参赛队做准备举办了美国数学奥林匹克竞赛，那届赛事东道主是当时的东德。
Murray无暇从福特公司获得空闲时间来训练队员，因此失望之余他另谋转换门庭。结果他来到加拿大，先是任滑铁卢大学应用数学系的教授。但是不等Alberta大学的聘书寄到，他已决意离开。我不清楚Murray是否来过Banff，但想必他在谈判期间参观过这个旅游景点，爱上这个地方因此结束了谈判。
作为主席，Murray从私人工作环境中带来一种管理风格。显然并非每个人都愉快地接受它。但是他的确点燃了几把火，让一些人开始了研究的计划。
Murray始终对欧几里得几何感兴趣。他常向我提起他的高中时代，那时他和朋友常常互相挑战几何尺规作图的各种问题。虽然当主席并没有教学职责，但Murray亲自上一个班的几何课。
在此同时，Murray开始在Crux Mathematicorum上编辑奥林匹克角，这本杂志那时是由Ottawa大学的Leo Sauve私人出版。它现在成了加拿大数学会的官方杂志了。Murray还引入了本系的新生与大学生数学比赛。
几何，数学竞赛和Crux Mathematicorum是引起我注意Murray的直接原因。当时我是刚从他的系毕业的博士后，等着雇主的聘书。我肯干任何事情，而且凑巧我的兴趣和Murray一致。我参加他的几何班，帮助他做些组织系内竞赛的杂事和编辑工作。
我记得有一天我被叫进他的办公室。他刚接到一个作者为Crux Mathematicorum写的问题。“这儿有个好问题，”他说，“但是创编者的解答一点都不好。你来给一个好的解答吧，我周五下午就需要它！”
虽然我喜欢解决问题，可我不确信我能通过勤奋和用功找到答案。不管怎样，我发觉自己总是回应了挑战，我不能每次都让他满意，我努力做得比过去更好些，特别是当我已经过了初期的文化震荡。
70年代后期是学术的艰难时期少有为博士后的职位开放。有的职位列出来了但是供短期聘用，最终，我去别处待了一年作为带薪休假。Murray来为我的一个新职位面试我，促使我的任命通过了人力聘用委员会在1980回到他身边工作。
Murray一直是美国IMO1975年以来的副领队。1981，美国成为这项赛事的主办者，第一次在欧洲以外的地区召开。通常的领导人Sam Greitzer，成为了主要组织者。Murray接替了这个领导职位，并且将我任命为他的副手。
我在那个岗位上待了四年，1982年我第一次去了欧洲，因为那年的IMO在布达佩斯举行。后来的一届1983后在巴黎，1984届在布拉格。我因参加这一个个的盛会而深感受宠若惊，也发现与会者因Murray的出席也深感荣幸。他是一个全世界有争议的最知名的数学问题解决家。
1984以后，我和他都退休下来，当然后来我又重返了这个职位。他的主席的头衔也在1981年到期。这样我们的关系成为纯学术和私人的。他和他的妻子Irene没有孩子，他们很好客。我成了定期造访他们住所的客人，而他们也来过我的简陋蜗居几次。
也正是这个时期，我看到了Murray的不同侧面。以前，我觉得他是个商业气息很浓的人，他的天赋闪耀在他真知灼见的观点和手到擒开的高效上。现在我更发现他是一个有多方面的兴趣的人，包括古典音乐，跳舞，传奇故事，功夫电影和运动，特别是篮球。
尽管Murray在每样他尝试做过的事情上都成功了，但他最终可能会被记住的最重要的事是他参与了数学问题解决和竞赛。他创作或主编了四本问题书，在每一个有问题求解的核心的数学刊物是留下了印记。他接受过滑铁卢大学的荣誉博士学位又是瑞士皇家学会的会员。他荣膺无数的奖，某些奖的名称也以他的名字命名。
Murray的漫长的一生健康状况良好。直到2000年才有了些不太妙的情况，那年九月，他接受一次搭桥的手术。当他出院后他继续努力步行上班，登六楼台阶到办公室。还在西Edmonton购物中心滑冰。
他的心脏病在十一月间发作，所幸当时他在医院接受肌肉僵硬治疗。他重度昏迷了些时候。有一天，当我访问他时，他心脏主动脉大出血。医生暗示我他不期待Murray能捱过那一天。
就这样，Murray的内在动力在驱使着他，当我再一次看望他时，他完全清醒了。他要我为他安排八十大寿晚会，说他届时一定会出院。我认真对待了他的话真是做对了，因为他在那时真的出院了，准备好了庆祝。
他的最后一项工作之一是编辑MAA的新杂志数学地平线的问题部分。在如此困难的时候，他请我与他一同工作联合编辑这一期。后来他把这一专栏交给我的时候，他的手写的印记还遍布每一页面。
现在我在试图以不及他的智慧走他未走完的道路。他的逝世也许会是数学竞赛和问题解决的时代的结束的标志，人们会深深怀念他。.

记一位几何小神童

[url]http://ww123.net/baby/thread-4419802-9-1.html[/url].

不久前我曾悄悄地隐藏起一个题目，原因是唐传发先生给出了一种绝妙证法！我们两人商量后，打算择日联手将此题提供给某数学竞赛用。但没想到好景不长，没隔几天，突然见到老姜和他的高足们在帖子中给出了新的证法：[url]http://ww123.net/baby/thread-4419775-19-2.html[/url]

呜呼把这藏为竞赛题的梦想泡汤了:Q ，只得另外再想办法了:'(


现将原题连同唐老师的证法一同公布，与老姜们的证法以兹对照；孰优孰劣，也不敢妄下论断，我想也许是各有千秋，平分秋色的吧。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:46 编辑 [/i]].

原题（1999年）：

“如图，A、B、C是平面上任意三点。过两圆⊙O1、⊙O2的交点P任作三条割线A1B1、A2B2、A3B3，然后作△C1AB∽△CA1B1，△C2AB∽△CA2B2，△C3AB∽△CA3B3。求证：C1、C2、C3共线。”.

安徽唐传发老师的证法（2007年5月25日）：

如图，设两圆的另一交点为Q，联结QC、QA1、QA2、QA3、QB1、QB2、QB3。易知△QA1B1∽△QA2B2∽△QA3C3。作△Q′AB∽△QAiBi，并联结Q′C1、Q′C2、Q′C3。
为了证明三点C1、C2、C3共线，只要证明如下面积关系成立即可：
S△Q′C1C2＋S△Q′C2C3＝S△Q′C1C3。
由于四边形C1AQ′B、C2AQ′B分别相似于CA1QB1、CA2QB2，易证明∠C1Q′C2＝∠A1QA2（记其为α），∠C2Q′C3＝∠A2QA3（记其为β）。且QC1/AB＝QC/A1B1，即
Q′C1＝（QC·AB）/A1B1，①
同理：                          Q′C2＝（QC·AB）/A2B2，②
Q′C3＝（QC·AB）/A3B3。③
在⊙O1中，由P’tolemy定理得 A2Q sin（α＋β）＝A1Q sinβ＋A3Q sinα。④
又由A2Q/A2B2＝A1Q/A1B1＝A3Q/A3B3，代入④，得
A2B2 sin（α＋β）＝A1B1 sinβ＋A3B3 sinα。⑤
然后把①②③代入⑤，可得到
Q′C1·Q′C3 sin（α＋β）＝Q′C2·Q′C3 sinβ＋Q′C1·Q′C2 sinα，
而这正是我们所需要的面积关系！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 11:27 编辑 [/i]].

为了嘉奖老姜的两位高足徐文浩，罗涛同学，特向他们奖励图书各一册！上面还盖有著名篆刻家李大元先生所刻的一枚精美印章！！！

同样，为了表彰唐传发先生的杰出工作，也向他奖励精美图书一套——《稳操胜券》（上、下册），对于老封来说，这可是所能拿出的最大的奖了。.

老封的苦衷

不久前，收到春笋逢春雨的一封短信：

[color=Red]老封老师:
    你好,我是春笋逢春雨的女儿,现初二.上次解出了一道有奖题,给你发了短消息,但没回音,好失望哦.  

今天看到154楼的题目,证法如下:

先证明三角形ABO相似三角形DOC,得到角ABD=角ACD.

由D点向AB和AC做垂直线,垂足分别为E和F.DE=DF.

证明RT三角形DEB全等RT三角形DFC,那么DB=DC.

请老师指教,这次有奖品吗? [/color]



可恨老封非大款，又自恨不像炫爸那般浑身绑满仙贝:$ ，一到关键时刻就显得捉襟见肘了。[em07]
真希望有哪位大企业家、大富豪、大慈善家突然慈心发现，能为几何爱好者们提供滚滚奖品，大庇天下爱好者俱欢颜……呜呼，吾庐独破受冻死亦足！
不过这样的好心人暂时还没有出现，看来雨后春笋们已没有等待的耐心了。没办法啊，老封只得自己兑现承诺：也向笋逢春雨女儿授以精美图书《奇妙而有趣的几何学》一册——这书可是由名师余应龙先生（特级教师）亲自翻译的，内容真很不错啊！

（以上获奖者请到长久大厦15楼领取奖品。）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:48 编辑 [/i]].

回复 #164 老封 的帖子

你老不要压力太小，心事太重，我建议你，买上N张明信片，签上你老的大名，当做礼品就可以了。

爱好者爱好的不是礼品[em16].

1，许、罗两人让我代为转告他们的谢意。

2，答应孩子的事情一定要兑现。春笋逢春雨女儿的书如果不给的话，我以后不叫你老封，而叫你老赖了。.

不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了[em07]

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！;P.

余老师的译著，也是珍贵礼品啊！

这书只剩最后这几本了，一下子都给我买了。现在用作奖品，更显得可贵啊[em04]

[font=黑体][size=5]余应龙老师[/size][/font]


毕业于上海师范学院数学系，中学高级教师。长期担任上海市杨浦区教育学院数学教研员，现任杨浦区中小学学科竞赛指导学校校长。1990年被评为数学特级教师。
余应龙老师热爱数学教育事业，对初等数学和中学数学的教材和教法有深入的研究，教学能力强。既能胜任对各类学生的教学，也善于做好对教师的培训工作。在教学中十分注意发挥学员的积极性，培养学员的逻辑思维能力和创造能力，深受学员的欢迎，教学效果显著。
　　在担任数学教研员期间，余应龙老师努力贯彻上海市教育局提出的"加强基础，发展智力，培养能力"的十二字方针，积极组织各项教研活动，开展数学教学改革，培训了一大批教师，使该区的数学教学质量有明显的提高。
在组织和培养数学尖子学生方面，他从教学内容，数学思想方法的培养和调动学生积极思维方面做了大量的工作，近20年来，他所教的学生在各级各类数学竞赛中频频得奖，在上海市有较大的影响，为上海市的数学竞赛工作作出了贡献。
　　余应龙老师在"数学通报"、"数学教学"、"初等数学论文选"、"初等数学前沿"等书刊上发表了多篇有一定质量的论文。此外，他还参加了上海市新教材，中学教师继续教育丛书及多本数学竞赛培训教材的编写工作。
　　余应龙老师于1989年被授于中国数学奥林匹克高级教练员，1990年被评为上海市特级教师。1990年和1993年两次被评为杨浦区专业技术拔尖人才，1994年获第二届苏步青数学教育奖。.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-6-14 23:38 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1745135&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了[em07]

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！;P [/quote]
不是老僵，是老讲，你怕别人老讲，就要一直检点自己的行为

老僵是百年以后的事情，无人可以幸免的。:).

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-6-14 23:38 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1745135&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了[em07]

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！;P [/quote]

我证明，老封是老忘。：）.

一个奢华的梦想

我拥有一间半属于自己的书房，其中半间是将卫生间改装所成的；并拥有两墙壁联体书架，上下总共有十排，前后可重叠三层。书架还将不断扩张，到客厅，到走廊……
书房中已积有数以万计的自己所喜爱的书籍，其中包括超过一千册各式评论和探讨鲁迅及周作人的专著，有近千本各种《红楼梦》的研究著作，各种旧小说的汇评本、辑较本，有古典诗词、文学评论、外国小说，还有整套影印的《小说月报》，大量外文原版书……
当然也有自己专业上的珍宝：欧几里得《原本》的英文版，出版于一百年前的好几部近世几何原著，各种版本的老式教材，如《霍尔-奈特大代数》、《龙氏解几》之类的原版，此外，还有搜集了很多年的数学竞赛资料。
这在与我同龄的人中间大概算是值得羡慕的了。但对于我自己而言并没有感到自得，反而夹杂着些许遗憾和惆怅。
每个星期，随着逛街归来，一大摞一大摞新的品种又会增添到这一行列中来，总数以惊人的速度在增长，它们已开始堆放到墙根，到窗台，到床底……
这一切都是为了实现我童年时曾经有过的一个梦想。
我是上个世纪×十年代出生的人，从很小的时候起，我就在做美梦了。那时候，我有一颗好奇的心。一到晚上，端个小板凳，坐到凉台上，听舅舅和邻居海阔天空地谈一些稀奇古怪的事情，独自观察天上的星星，在那静悄悄的晚上，我幼小的心仿佛有一种飞似的感觉，世间竟然有那么多新奇而值得神往的东西。每当父辈朋友来作客，议论一些当世的趣闻，我则总是在一旁不作声地听着；有时杂志上登出一二个智力游戏，他们总是兴致勃勃地试图寻找解答，偶尔他们冲着我问道：“这你会不会解啊？”每逢这样的时候我总感到尤其的兴奋，虽说一时我并不会解，但我总想长大后也要像他们一样的有趣。
那时候，可说真像一只刚出世的小鸟，第一次看见这新鲜的一切，禁不住会叫起来：“噢，世界真大！”（安徒生童话《丑小鸭》中语）  对于我来说外面的世界何其神秘，而我则对什么都感到好奇，周围每一件事物都同样地吸引着我，脑袋里满是问号，现在想起来，倒真算得是一个活泼天真的小孩子哩。那时的我对于未来有着美丽的向往，既想当一个科学家，又想当一个探险家，大侦探，甚至像拿破仑那样的英雄，或者做一个巴尔扎克似的小说家，用笔尖来征服整个世界！
有一年，小学快毕业时，学校里大扫除，要我们这些高年级的学生去出点力。一扇贴着封条的门被打开了，露出了几只尘封的书架，以及上面整捆整捆纸质泛黄的文学书籍。要知道，那是主席刚刚去世的年代，像我这样年龄的人除了能看到政治书外，还很少有机会见到其它的书。第一次瞥见这许多新鲜的书名，一下子被那些陌生的封面震慑住了，我的心顿觉有一股荡气回肠的骚动。忘记了当时确切的心情是如何的，只记得那时候已顾不得扑鼻而来的霉味，而是一屁股坐到了满是积灰的书捆上；没顾上听老师要我们打扫房间的调遣，而是见到一本就拿起一本，恣意地翻阅了起来，久久而不愿离去……当时，真想一下子将这整个空间拥为己有！
从此我便省吃俭用，把零花钱积攥起来，开始学着逛旧书店，逐渐营筑起了自己的书窝。
记得第一次掏钱买书是在1977年的1月，是一本关于周恩来的书。当时交钱时还有些紧张，毕竟这笔钱对我来说已不是小数目。但一旦跨出了第一步，就会让人变得义无反顾。整个中学阶段，我就常利用放学途中步行的间隙，逛入福州路上的那家上海书店，买到了许多课外读物和科学家传记。
直到工作以后，狂爱买书的陋习一直没有改变过，反倒愈演愈烈，几乎将大半的收入都融入其中了。但是，那时我家不可能有书房，连书架也仅只有有限的五个，那是结婚时母亲特地为我订做的，虽说算得上顶天立地，但总量远远不够。家中渐渐演变成一个小杂铺，到处都堆起五花八门而又分门别类的品种，还贴上了各式的标记，不许家人随便挪动。此时家中连正常的起居都变得相当困难了，真可谓是“书满为患”。幸好我太太很少埋怨我。
直到2000年以后，在市郊购买了一套住房，才圆了我的书房梦。将书一捆捆包扎整齐后，从旧居分批搬送到新居，逐捆解开，慢慢撕去变得破旧的包书纸，然后按类别上架……在这一段难忘的日子里，我可谓沉浸于无比的幸福和喜悦中。
我现在常常看着我的藏书。成天能与鲁迅、安徒生、奥斯丁这些高尚的“友人”谈心，觉得自己心灵变得更为充实。但又在想，我什么时候才能读完这些书呢？曾经有过发奋阅读的一系列计划，曾经有过通宵达旦的旺盛冲动——但那好像已是十多年前的状态了。随着工作的日益繁忙，坐定看书的好日月变得越来越珍稀。一鼓作气读完一部小说对我而言也已算是久违的壮举了。而书越积越多，逐渐堆成一座座“小山丘”，已顾不上按类别让它们安居了。目前，只有铁打的初衷仍没改变：真渴望在有生之年读尽这么多的好书！
工作越变越繁杂，头绪越来越众多，步入中年的我开始处在一种穷于应付的感觉中。头上始添几茎白发，身体也不如从前般壮实，稍稍一多运动，就会流一身的虚汗……
而今我的心态已经平了很多。当拖着疲惫的倦体，步入这一方属于自己的小天地，摩挲起那些从旧书店一本本淘来的心爱宝贝时，心中已觉得相当地满足了。壮志豪情离我渐行渐远，我变得实际了。
但与此同时，又发现了一个令人伤心的事实：记忆力在无情地减退。尽管有一本记录本，密密麻麻记上许多书名，但仍不时会发觉买回了重复的书。以往这是绝对不会发生的，我曾相当自信拥有过好的记性，哪本书放在哪个特定的部位，这在以前是一目了然之事，而现在我就不敢这么自夸了。
在《我要去桂林》那首歌的歌词中包含有这样的意思：当我想拥有的时候没有这个实力，现在稍有一些实力了，精力却又开始不济。真是好无奈的现实呵。
如今，新的遗憾接踵而来，连再多做几个书架这一并不过高的奢想，也因抽不出完整的时间而一搁再搁。不知又要拖到猴年马月，才能实现这下一步的目标。到那时，头上又会多出几许白发，记忆力又会变得何其糟糕……我不敢多想下去了。
真想大声怒吼一声：“安得书房千万间，让天下尚未白发的读书人早些厕身其间！”
我现在最希望的事是：让我的儿子，或者其他一些年轻的朋友，也能像我过去那样地喜欢书。我真诚地愿意把自己这多年的积聚与他们一起分享。
愿天下更多的人能意识到书中所存在的快乐，而不要像我那样再等到明天。.

补：这是几年前写的。现在的头发已是一大半白的了！.

回复 #172 老封 的帖子

看看那时多有激情啊，现在就想抓m[em16]

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-6-15 11:35 编辑 [/i]].

回复 #168 老封 的帖子

哈哈，看到小帅锅了[em16].

一项新发现

今天随着对一个题目的深入研究，得到一系列有趣的进展。
我先来叙述其中第一个有意思的结果：

[color=Black][size=5][font=黑体]命题[/font][/size][/color]  设⊙O1和⊙O2相切于P点。一条任意的直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心一定四点共圆！
所共圆还经过一个定点Q，在连心线上，满足PQ^2＝PO1×PO2。.

第二项进展是把这个结论推广到任意四边形中了，结论越加漂亮了。不过由于涉及到等角共轭点，知音也许更加寥寥，所以暂时不公布了:lol.

曲高者和寡，收藏了，慢慢看。:) :lol.

只公布共线时的一种特例：

[size=5][font=黑体]命题[/font][/size]  设A、B、C、D是共线四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心共圆的充要条件是：∠APB＝∠CPD！

这时所共圆的圆心O之轨迹是如图所示的两条优美曲线。.

[quote]原帖由 [i]echooooo[/i] 于 2007-6-21 16:59 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1768792&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
曲高者和寡，收藏了，慢慢看。:) :lol [/quote]

老殿来邮件说最近很忙。
否则他会和我讨论的。.

一项发现的真实过程

经常，我们会欣赏到一个个优美的数学命题；其实，通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的，在这些智慧结晶品的背后，都蕴藏着一段真实的故事；虽说有没那么完美，但相对说来却比最终的成品更为激动人心！

让我们就来看一看昨天那些新结论背后的故事。它其实正是我和几位好友互相切磋的结果。

这就是我和田君的MSN交流的全程记录，爱好者也许能借此一窥草创的艰辛，不过同样也能分享到其中的一分欣喜：


【07-06-21】
老封 说:
我编了个新题:
老封 说:
设两圆内切于P点
老封 说:
一直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
然后呢？
老封 说:
求证：三角形PAB和PCD的外接圆半径乘积是定值。
老封 说:
能否推广？
老封 说:
我试了一下，不能推广到极限点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
好象可以
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
用几何画板
老封 说:
你见过这种题型么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
没有，有点调和点的味道
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外切为何不可
老封 说:
外切的情况是类似的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您要朝何方向推广？
老封 说:
任意两圆的情形
老封 说:
还发现一个有趣现象：
老封 说:
四个三角形PAB、PAC、PBD、PCD的外心共圆。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您先发过来，我跑开几分钟
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
很漂亮
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
原来的题目意思就是PA、PD之积与PB、PC之积的比是常数吧
老封 说:
第二个结论的推广方向是什么？
老封 说:
有意思的是，所共圆还经过一个定点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
反过来任给A、B、C、D在一直线上，P的轨迹是？
老封 说:
满足什么性质的轨迹？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是保持乘积之比是常数，或四个外心共圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这个题没意思，解析几何告诉我们，一定是四次曲线
老封 说:
那个定点有什么性质？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比是常数，就与四外心共圆等价？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比还有好几种，是不是都对应于不同的外心共圆？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
比如PAD的外心
老封 说:
我想要两个圆搭配
老封 说:
A、D集中的同一圆上是不允许的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我是把圆去除后问的
老封 说:
四个外心共圆可推广到极限点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
看来还有点复杂
老封 说:
但刚才检验过，乘积相等却不能推广到极限点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
到底等价吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还是添加条件？
老封 说:
我不明白你的意思
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对对，我搞错了。我主要是问，如果有A、B、C、D，那么P有何限制，有没有比四外心共圆更简洁的判定
老封 说:
上述现象，表明这两个结论不等价
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
前面我乱说的，刚才有人跟我说其他事情，干扰了一下。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P的轨迹也未必是四次曲线，因为我这里圆的大小在改变
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是二次曲线就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
求出来了，当A、B、C、D固定时，P在一圆上，看来这个圆很重要
老封 说:
你指的是共圆？
老封 说:
还是比值？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
也许是
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不是比值
老封 说:
能把问题说得更具体点么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是当A、B、C、D依次在一条直线上，求P轨迹，使PAD的外接圆和PBC的外接圆内切
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
PAD的外接圆大
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太好了，对于每一组A、B、C、D，都有这样的一个圆存在
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实是一很平凡的结论，但是几何就是一堆平凡结论拼出不平凡
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您看看这个圆与您的四外心所共之圆有何关系？
老封 说:
那是Apollinius圆
老封 说:
相切与角相等是明显等价的
老封 说:
与外心所共的圆好象没关系
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不过四个点决定了这个圆的圆心和大小。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
应该有点关系吧。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您说得也在理。我说的圆是固定的，外心圆则是变化的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外心圆的圆心轨迹是？
老封 发送:

传输“1.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您到到什么结论吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
G 的轨迹是什么？
老封 说:
是不是这个意思？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
标错了，G应是O
老封 说:
看样子是高次的
老封 说:
不是二次的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
O的轨迹是？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
但这两个圆真地毫无关系吗？还有一开始的两个圆
老封 说:
你能否把问题整理一下，我已经不明白互相间的意思了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我没多少想法，我只是觉得阿氏圆和外心圆以及A、B、C、D之间或多或少会有点关系
老封 说:
我最关心的还是一开始外接圆半径乘积是定值的推广
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您的意思是：两个不处在特殊位置的圆，一条直线截出四个点，这些条件还是要的
老封 说:
这是原问题的出发点，如能打破这个限制当然更好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
根轴与连心线的交点没用？
老封 说:
我的思路已经彻底乱了
老封 说:
发现一个新现象：两圆的极限点为P，直线顺次交四点于ABCD，则PAB与PCD的外接圆半径积，恰好等于PAC与PBD的外接圆半径积！
老封 说:
这与你说的比值是否有联系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我觉得有点意思。不过与我的比值可能没关系吧。
老封 说:
这些结论能否整理出一条线索？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我得来您这里看看您的演示，比较好
老封 说:
我的立足点是定圆，你和魏磊的立足点是共线四点，观察角度有点不同
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
蛮好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实还是得来看您的演示，效果好
老封 说:
你装一下几何画板就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我要装的
老封 说:
重大突破！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
:o
老封 说:
任意两圆，P是任意点
老封 说:
则外接圆半径乘积总是相等的！！！
老封 说:
好象太夸张了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
奇怪
老封 说:
但已经验证了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还需要圆吗？
老封 说:
你想想吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不错
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我记下
老封 说:
这本质究竟是什么？
老封 说:
肯定不需要圆了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我还是不完全清楚您的结果
老封 说:
可能是平凡的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是PAB、PCD外接圆半径之积等于PAC、PBD外接圆半径之积，那就是正弦定理加乘法交换律。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这大概是陈题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
至于角APB与角CPD相等，能否推出四外心共圆，是不是新的发现，难度大不大？
老封 说:
我不知道
老封 说:
结论肯定正确的，刚才那幅图就是验证这个的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
一道好的竞赛题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
相信不会太难
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
难的是发现
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
已经解决，一句话
老封 说:
怎么一句话解决？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
连几条线，分别与PA、PB、PC、PD垂直，立即得到一些角相等
老封 说:
你的意思是：四外心共圆和两角相等的充要关系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
确实是充要的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我在想圆心有什么性质
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这可能难一点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
尽管其轨迹是高次曲线
老封 说:
还有，四点不共线情况呢？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对，不共线不影响，只要有角相等
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
强的
老封 说:
那就和等角共轭是等价的？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
四点不需要附加条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不需要
老封 说:
我以前只知道等角共轭和四个垂足共圆是等价的，现在难道又多了一个充要条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
什么垂足？
老封 说:
太漂亮了！
老封 说:
我在几何画板中已经验证
老封 说:
P在四边形ABCD四边上的垂足共圆，与PAB、PBC、PCD、PDA的外心共圆互相充要！
老封 说:
直接证难不难？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这么说，与等角共轭三个条件等价？
老封 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不会难做的
老封 说:
你试试
老封 说:
绕过角
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对的，我已经想明白了。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P在外是角相等，在内就变成互补了
老封 说:
可以做竞赛题么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不能
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
简单了一些
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
除非是一个复杂结论要用到的中间步骤
老封 说:
放在完全四边形的背景中，应该是更多外心共圆吧？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我一下子没图，倒不好说
老封 说:
因为垂足总有四个
老封 说:
对节却有六对，十二个！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那也不一定在一个圆上
老封 说:
是的，是三个圆，好象形成共轴圆系！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那真是很好的
老封 说:
太妙了！而且P点就是极限点之一
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
算是今天一大发现？
老封 说:
另一个极限点好象就是密克点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太棒了
老封 说:
下一步打算调查根轴，看看它是否经过定点？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
美丽的东西上帝也无法隐蔽掉
老封 说:
我有办法在几何画板中画出连续变化，不过需要一点时间
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
:)
老封 说:
已经精确验证了！
老封 说:
刚才两个结论完全正确
老封 说:
但根轴并不经过定点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
真地很好，您能否画个图，再加上说明文字呢？
老封 说:
这个图难度太大了，只有我还能看得清
老封 说:
旁人肯定看不清楚了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还有件事，冯志刚建议我们这套书叫“数学竞赛研究系列丛书”，他表示要花力气好好写，您的书一定也很精彩，他说可能出英文版。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果出版社认为值得的话
老封 发送:

传输“2.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不说还真看不明白
老封 说:
P是具有等角共轭的点，红圆是垂足圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
M是密克点，三个绿圆是外心所共之圆
老封 说:
还有一条是根轴
老封 说:
曲线是P的轨迹
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
:)
老封 说:
轨迹经过六个顶点和密克点。轨迹上的另一点就是P的等角共轭点
老封 说:
你看还有什么思路可以发掘？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我马上要去一个人家里，晚上再论吧.

田君的自白

田君,一位愤世嫉俗的数学高人,没想到却有如此古怪的内心独白:


××兄：
您好！
书寄上。最近我也不太顺。
今天早上我没赶上一辆车。我们那里误一班车，就得等15~20分钟。于是我想偶尔坐一次出租车，只开很短一段路，再到另一辆公共汽车的起点站转乘。结果道路奇堵，我不得提早下了出租车。后来迟到45分钟。就在这时间内，我有了感受，写了一段乱七八糟的话。
祝
好！
田廷彦
2002．4．10


[size=5][font=黑体]无题[/font][/size][color=Red][/color]


[color=Magenta]我崇尚数学，
曾经大悲与大喜。
别人劝我俗一点，
这话或许有道理，
可我无法抛弃自己的经历。

那些曾被我不屑一顾的人，
现在个个发了财，出了名。
我想，没关系。
他们拥有物质，
我拥有精神，
同样能为社会尽一份力。

于是，我不在乎工资的高低，
不在乎出国的机会。
对此，同事不理解，
亲戚不理解，
父母也不满意。

我一心只想，
当数学家，
做社会批评家，
这样活着，
不是更有意义！

可是，我错了。
物质是何等的重要，
有了物质，才有精神，
哪怕是下流无耻，不学无术，
也能被修饰成天使，巨匠。
而我一个穷光蛋，
连发言权也没有，
如何去为社会尽力？

回顾过去的岁月，
我只能哑然失笑。
在为题目苦思冥想时，
别人在背单词，
发展人际关系。
或者玩电子游戏！
背单词的，
现在出了国；
搞人际关系的，
现在升官发了财。
玩电子游戏的，
总比我这一无所获强！

我痛恨，我不解，
一种低劣的价值观，
凭什么压制另一种价值观？
很快，我发现自己又错了。
持另一种价值观的人，
其实也不怎么的。

如果说自己想发财，
谁会不相信？
如果说自己是追星族，
谁会怀疑你？
物欲的可爱就在于，
到处都能找到认同和兴趣。

可是，即便你真的懂
雨果、肖邦、威尔第。
同行还是认为你胡说一气。
知识分子从来就是这样，
特别是文人，
非到地球灭亡那天，
关不上那张臭嘴皮。

现在我该怎么办？
把过去全部放弃，
向被我不屑一顾的人卑躬屈膝？
生活原本是不可逆，
正如天真烂漫可以变得老奸巨滑，
反过来却不可能一样。
我已经领略数学的天高地厚，
又如何忘记？

突然，我有了领悟：
其实，我什么也没得到，
什么也没失去。
精神，不过是内心的独白。
社会即使再丑陋，
也没有问题。
真正有问题的，
是自己与上帝。[/color].

回复 #181 老封 的帖子

突然发现数学高人都挺有性格的![em16].

谈今年中考题

据说今年中考数学的最后一题有一定难度。我看了题目后觉得这题意思并不很大。相比而言，第（1）小题稍有意趣；后面两小题却体现不出什么想法，所以这里就不讨论了。
说穿了，第（1）小题的背景是相似变换中直线的轨迹，不过是以特例的形式表现出来的。
如下图，当动点P在直线AN上运动时，形状保持不变的三角形BPO绕B点在作相似旋转，其顶点O的轨迹是一条直线；这条轨迹直线经过A点的充要条件是∠BOP与∠A互补；进一步，这条轨迹直线是∠A的平分线的条件是：△BPO是顶角与∠A互补的等腰三角形。.

我上回曾在进华中学的一次会议上总结了两句话，引起大家的哄堂大笑：

[size=5]“竞赛数学不是好的数学；但目前不是竞赛的数学往往是更加不好的数学。”[/size]

说实在，数学追求的应是深入而完美的对象。之所以我们目前较少能见到好的数学，是因为功利的心态、近视的目光及短期的行为束缚住了大家的手脚。
其实只要不停留在表层，多思考一些涉及本质的问题，就能接近“好的数学”之境界。
几何中，这类问题的更一般模式涉及密克（Miquel）定理（见《近代欧氏几何学》第7章）。
一般说来，对任给的△D′E′F′而言，总能在给定的△ABC“内”（或其三边延长线上）作出其内接的相似形，这样的相似形有无穷多个，可以绕密克点M作相似旋转（如下图）。.

换一角度看，如果在BC边上先固定了D点，根据相似变换作图法，一般说来，在△ABC另外两边所在直线上总能找到唯一确定的E点和F点，使得△DEF相似于△D′E′F′。.

但例外的情形发生于∠D′与∠A互补时。此时，对绝大多数D点而言，这个问题是无解的；而对某一个特定的D点而言，问题却又有无穷多解（这一特殊的D点所满足的条件是：它到AB、AC两边的距离之比，等于线段D′F′与D′E′的长度之比）。.

中国科技大学有位资深老教授曾肯成先生（已去世），在文革前的一次讲座中提醒大家，存在如下出乎意料的情况：
在同一平面内，如果两个相似的三角形BCD和B′C′D′的对应顶点联线通过同一点A，此时△BCD和△B′C′D′的三边方向却并不一定是平行的！
两个三角形的对应顶点联线如果通过同一点，就称为“透视”。两个相似三角形满足透视条件，应该说是一种很高的要求，在绝大多数情况下的确能保证两者对应边方向一致（称为“位似”）。
但的确有例外！例如下图所示的情形便是。
其实，这种情况正好发生在当∠D（或∠D′）与∠A互补时，跟前面叙述到的现象是同一机理。.

封老分析透彻，顶！.

好久不见,大家好.老封终于从外地回来了!.

老封一回来，就有好题目可以看了。.

有个不错的好题目，可惜不是老封自创的：
“如图，正六边形ABCDEF中，E′F′∥EF，且∠E′C F′＝60°。
求证： S六边形ABCDE′F′＝2×S△C E′F′。”.

额。。老封老师(这样叫很奇怪啊) 。上次你给我们推荐了这个网站，还有一道回家作业你说在这里有详细过程解答，可是我没有找到。不知道在哪里啊。。.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-6-22 10:59 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1770835&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
田君,一位愤世嫉俗的数学高人,没想到却有如此古怪的内心独白:


××兄：
您好！
书寄上。最近我也不太顺。
今天早上我没赶上一辆车。我们那里误一班车，就得等15~20分钟。于是我想偶尔坐一次出租车，只开 ... [/quote]

看不出田老师心里有那么多的怨恨。其实我们学生都很喜欢他的。田老师确实是一个很有个性也很好玩的老师，在几何上也很有造诣，给我们上课的时候很有意思。其实没有名利又如何呢？何必对他人的名利眼红呢？.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-5-16 14:09 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1650281&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
Let $ABC$ be a triangle, with incenter $I$. Its incircle touching the sides $BC, CA, AB$ at $D, E, F$, respectively. Line $EF$ intersects lines $BI$ and $CI$ at $Q$ and $P$, respectively. Lines $BP$ and $CQ$ meet at $X$. Then $XI$ is perpendicular to $BC$.[/quote]
[img]http://upload.cnool.net/files2006/20070801/2007080100385376711.gif[/img]
这题的[url=http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3397634&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1]解法[/url],加上如下命题:
[img]http://upload.cnool.net/files2006/20070803/2007080320113843910.jpg[/img]
可证..

我在东方热线上发表了两条平面几何的猜想：
[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3491004&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]
[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3508804&thesisid=494&flag=file1[/url]

大家不妨去瞧瞧！.

[quote]原帖由 [i]小疼718[/i] 于 2007-7-31 07:37 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1878233&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


看不出田老师心里有那么多的怨恨。其实我们学生都很喜欢他的。田老师确实是一个很有个性也很好玩的老师，在几何上也很有造诣，给我们上课的时候很有意思。其实没有名利又如何呢？何必对他人的名利眼红呢？ [/quote]

呵呵，你们能看到老师在上课时候的表现。

究竟有多少人看到上完课以后的老师的艰辛。.

现代生活的诱惑是多方面的，大千世界确是有其精彩纷呈的一面。并不是说，所有人都要千篇一律地把读书做数学当成第一乐趣——这是一种过分的要求，也是万万不可能办到的——萝卜青菜各有所好是应该的。不过在我看来，与书的世界相比而言，物质世界和放浪生活所能带来的乐趣远比想象中的有限，尤其是当你经历过之后。所以说，这个世界里谁该羡慕谁永远是件说不清的事，就像究竟先有鸡，还是先有蛋一样。那些认为书生是可怜虫的人，也许自己更是个可怜虫，也说不准呢。.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-6-21 17:03 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1768816&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


老殿来邮件说最近很忙。
否则他会和我讨论的。 [/quote]
确实太忙了，妻病重，杂事又多。
老封：近日抽空重读你给我复印的资料中有关完美六边形的知识，认识到完美六边形的复合（顺）相似变换的本质，联想到你信中所说的“研究复合（仿射、射影）变换内容还是一个空白”，就挤时间思考一下，觉得复合（仿射、射影）变换还是相当复杂的，主要是因为仿射、射影变换的种类、变换自由度太多，还有待继续研究。
即使是相似变换，还有复合逆相似问题。当然，复合逆相似得到的是一个顺相似，我得到的一个关系如下图：边的关系和完美六边形一致，角的关系不同：顺相似的相似角为逆相似轴（两对之一）的夹角2倍。其中P1到P2是以O1为中心的逆相似，O1Q为一条相似轴，P2到P3是以O2为中心的逆相似，O2Q为一条相似轴，P1到P3是以O3为中心的顺相似。之后忽然想到是不是与你讨论的“两顺一反相似三角形”（抱歉，对你的此项研究我还没有完全掌握）内容有关？

[[i] 本帖最后由 老殿 于 2007-9-3 07:10 编辑 [/i]].

[em17].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-6-22 09:45 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=1770430&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
经常，我们会欣赏到一个个优美的数学命题；其实，通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的，在这些智慧结晶品的背后，都蕴藏着一段真实的故事；虽说有没那么完美，但相对说来却比最终的成品更为激动人心！

让 ... [/quote]
经过艰苦探索得出的结论带来的成功的快乐是推动深入研究的强大动力!.

李不凡的几何题

“在四边形ABCD中，E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC边的中点，联结AN、BM交于P点，联结DN、CM交于Q点。求证：PQ∥MN。”

这是一道寓意深刻的平面几何题。.

我在东方热线的论坛上发表了对李不凡一题的评论:

[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3532122&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]

大家可以参考一下.

(字母有些错，更正一下: 应该是PQ∥EF.).

2007年中国国家队平面几何培训资料

这是今年7月ＩＭＯ中国国家队平面几何培训资料：

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-9-10 13:32 编辑 [/i]].

好贴，先收藏了.

老封的读书人生

爱因斯坦说得好，真正有意义的事情不是被逼迫着做的，反倒都是私下里做的，有时甚至是偷偷摸摸做的。我体会他的话，意思是：只有自觉自愿去做一件事，才最能体现出一个人的本性。
我喜欢书，就是这样一种自觉自愿的事情。
我的藏书大多购自旧书店和旧书摊，市面上流行的书籍反而较少购买，一是嫌它价贵，二是嫌它不合胃口。
有些朋友嫌弃我的这些旧书，认为放在家中不卫生。诚然，我也承认，说穿了“书香”其实就是一股淡淡的霉味，很多人不会喜欢；但对我而言，这股气味不但不令人讨厌，反而让人感到是种享受！
我很自信于自己的挑书眼光，相信所拥有的这些书，尽管外表很不起眼，却有其自身的品位。我的藏书门类相当杂，既有专业类的科技图书，也有文史哲学术著作，天文地理，科普读物，文学著作，文艺评论，甚至还有科幻小说，儿童读物……在书的海洋中，我得到了莫大的满足。
现代生活的诱惑是多方面的，大千世界确是有其精彩纷呈的一面。并不是说，所有人都要千篇一律地把书当成第一乐趣——这是一种过分的要求，也是万万不可能办到的——萝卜青菜各有所好是应该的。不过在我看来，与书的世界相比而言，物质世界和放浪生活所能带来的乐趣远比想象中的有限，尤其是当你经历过之后。所以说，这个世界里谁该羡慕谁永远是件说不清的事，就像究竟先有鸡，还是先有蛋一样。那些认为书生是可怜虫的人，也许自己更是个可怜虫，也说不准呢。
一次在电视里听到金庸大侠这样说道：如果要让他做个选择：一是关在监狱里然而可以看书，二是鬼混在花花世界里但却不允许看书，他会最终选择前者。
这说明了什么？说明大侠已领悟到书的世界与花花世界足堪匹敌。谁谓书中不风流！
不过，在现实当中，疏远书──这样一位益友的却大有人在。钱钟书先生在《写在人生边上》一书中表达过这样一个意思。他说读书（其实可引申为一切与做学问有关的事）是件雅事，很少会有人以为自己不喜欢，但其实却是苦事，所以很多人口中称喜欢，但真能有“跳出火炕”的机会，他总不会放弃。所以，一旦没有其它外在的推动力，就很少有人会再去留连于之。而所留下的，聊聊的，在没有任何压迫之下仍然爱读书的人，真可谓是少有的“情痴情种”了。
钱先生的这番意思，并不玄奥，但那涵义其实却是沉重的。它揭示了这样一个道理：目前的读书大抵是功利型的，尤其是在当今日趋竞争的世道里，兴趣越来越少有它的地位了。
其实对于我来说，喜欢书是件非常朴素的事情，因为它能给我带来乐趣。每当夜深人静，书便成了我最好的伴侣。不怕见笑，在我所喜欢的诸多书籍当中，尤其包括了安徒生的童话。我特别体会到了在他的笔下，有着一种人生的崇高追求。
是的，在我的理解中，人生是非常有意思的，尤其是当你找到了志趣相投的伙伴，晚上的时光，一起读些共同感兴趣的书，探讨各种学问，那真是很令人神往的。
但另一方面，人生却又是孤寂的，它会被一种无休止的生存的搏击所吞没，在灰暗中找到各自漫长而又缺乏梦幻的归宿。上述所谓的那种令人神往的境界很难在现实生活中实现。这真可谓是人生无情的一面。
我复旦时的一位同学一次来信说：“真的，我有时常想到人生的痛苦，佛说苦海无边，回头是岸，这个岸也许无非是精神的升华吧？尼采的还是叔本华的似乎都没有什么用处。我看现在的小说也很少有触及人类灵魂的思考，这也许不是这一代中国作家胜任的了。”
在这封信中渗透着一种无耐的、苦味的、现代人的孤独感。
然而书，却是一位永恒的朋友，它可以默默地，无条件地陪伴你度过终生，而且它对于任何人都同样敞开着自己温暖而又博大的怀抱，让你从中获得灵魂的滋润和慰藉。
我觉得，长期的读书，使人的世界观更为丰富，不被眼前的现象所局限。尽管日常生活非常繁琐，也能保持精神世界之富有，使得人生中常有一种崇高的动力驱使自己进步，不作一个苟存于人世的势利之徒。
曾经读到过一篇王小波的文章。他认为中国目前正处在黄金世道，人与人之间互相管不了，虽说有时会感受到一种无边的压力，会感觉到空气凝固到窒息，但这恰恰意味着中国社会的进步。以前是“早请示，晚汇报”，属于“计划经济”模式，所有人能喝到现成的“奶”，而现在则要靠自己去生存。人只有在这样的氛围中才能呼吸到新鲜空气。
这一观点我觉得有相当的道理。最为厌恶中国人的瞎折腾，所以宁可不要一张别人画好的现成的蓝图。
也许庄子早就料到了这一点：“相呴以湿，相濡以沫，不如相忘于江湖。”最好各管各，别互相干扰！
诚然在绝对自由的氛围中人最容易感受到孤独——这也说明了自由比想象中的更为残酷——但热爱自由的人往往是不怕残酷的！人要有“躲进小楼成一统，管他冬夏与春秋”的气概，不要太去在乎环境和评价，那么就能享受到真的自由。
不要太孤立自己，也不要太融入，这是一种值得推崇的原则。一方面，有些人甘做体制内的虫；另一方面，有些人学会了体制内求生存，体制外谋发展的真功夫。我们应该像后者那样，发扬 “冬虫夏草”精神，即使在不利的环境内也要学会自己生长。
读书多了，腰杆子硬了，做人就能更挺拔。不过腐草也许并不甘心自己的衰败，它们缠人的功夫一般人是学不会的。世道之险有时也会出乎人的意料，所以我们还得抽出一部分的精力去应付。有时也会像鲁迅那样，感觉到自己是个“横站的士兵”。谁谓书的世界不险峻！
但我想，这样的话，人生的意义顿减，纷繁的世态，也更为之变得难以预测。如果人人都像“乌眼鸡”似的，那么活着的乐趣就会降低到零点。这种旋律只是现代都市冷酷的那一面吧！
但是善良的人们，却执着地在追求一种更为高尚的人生。安徒生在“海的女儿”这篇童话的末尾写道：
“我们飞向炎热的国度里去，那儿散布着疫病的空气在伤害着人民，我们可以吹起清凉的风，可以把花香在空气中传播，我们可以散布健康和愉快的精神。”
让我们大家都爱书吧；让文化在我们的大地上生根、发芽，结出更为丰硕的果实。.

老封的读书人生

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田廷彦的几何题

I是△ABC的内心，AI、BI、CI的中垂线交各边于D、E、F、G、H、J。
求证：DG、EH、FJ共点于I。

（参见：[url]http://forum.cnool.net/thesis.jsp?thesisid=494[/url]）.

老封老师、田老师的几何功力令人叹为观止。几何问题命题难度，要远远大于证明的难度。所以几何命题更加能够体现功力。
207楼这道题证明：由于CJIH和BFIG都是菱形，所以FI∥BC且IJ∥BC，因此F、I、J三点共线，FJ过I点；同理可得其他两条线也过I点。.

谢谢Wood的点评。的确，这题不太难。我想这只是田兄抛砖引玉的第一步吧。

果然，这题是可以发展的，当取△ABC的垂心H时，也有类似的结论。这时，三条联线共点于原三角形ABC的九点圆心。

昨天我与几位初中同学讨论了这一新构形，大家的思路非常活跃，一点都没有被“九点圆心”这一陌生的概念所吓倒。他们意识到，只要证明一个相应的等价命题就可以了，而这比原题简单得多。各位有兴趣的都试试吧
（提示一下：图中有线索表明，这三条联线都被九点圆心所平分！）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-9-26 09:53 编辑 [/i]].

冯志刚的几何题

设O是△ABC的外心。O1、O2、O3分别是△OBC、△OCA、△OAB的外心。
求证：AO1、BO2、CO3共点。.

旧书店中的签名本

旧书店是我的乐园。那里汇集着各种来源的书，有图书馆报废处理的，有新书店积压转来的，有读者自己淘汰的，也有文化老人过世后由家人清理出来的。长年来，我保持着常逛旧书店的习惯，在鱼龙混杂的旧书中淘到过不少梦寐以求的好书。最近一整理，发觉其中竟有相当一些带有作者或其他人的签名，这又给我带来了一种意外的乐趣。
《文学遗产增刊》（一）～（十三），每本的扉页上都有“复旦大学图书馆藏书之章”（已注销）、刘大杰本人印章及“刘大杰教授赠”这三枚印章。在第八辑上还有刘先生的签名，其它好几册上也都有刘先生所作的一些标记。1955年版的［苏联］阿·邦金《我的学校》里面夹有这样一张条子：“沈同志的译本已找到。但藏书同志不舍得作为发排本；最好复印后发印刷厂排版。…… 祝好！陈伯吹，1985年5月24日。”表明它原系儿童文学家陈伯吹先生所藏。中华书局出版的《杜甫研究论文集》（三辑）及《李白研究论文集》皆系黄裳先生旧藏，如其中《杜甫研究论文集》第二辑扉页上写着：“黄裳，1963年12月27日，毛主席七十生日后一日”，书中“杜诗版本目录”一文旁，有黄裳先生的批语共十九条，另外还有他所加的不少记号；而人民文学出版社内部发行的《西方现代派文学问题论争集（上）》前，也有黄裳先生的签名：“黄裳，1985年10月26日”。《从荆河到沂河》（苗得雨，阎一强著，新文艺出版社1957年版）一书，原系出版社保留的作者修改本，从中可看出该书的一些修改情况。Verse & Worse是一本英文原版书，1902年由上海的东方印书馆（Oriental Press）印制，内容涉及当时上海的风情，作者以散文及诗歌的形式描绘了其见闻，还配有59幅精采插图。难得的是，扉页带有作者的题赠：“To His Excellency Jang Shao-Ji with the author’s kind regards——J.O.P.Bland，Peking，1907”。《中学英文名著选》（葛传椝编注，上海竞文书局，中华民国38年3月再版）内写有：“To Mr. Victor Dum(邓承明)——Hertz.C.K.Kê（葛传椝）”，封面上有邓承明的签名：“Victor”；书中还夹有一封俞亢泳于病塌上写给“邓兄” 的信，说及欲同去拜望葛师。James Boswell 的The Life of Samuel Johnson一书扉页写有：“俞亢泳一九四六购于沪上”。
同样带有签名的还有：“王刚，茜娜贤伉俪惠存。辛笛，86年3月24日”（《辛笛诗稿》）；“赠秀清。之琳，1982年4月17日于北京”（《西窗集》，卞之琳编译）； “大杰先生教正。后学马茂元谨赠，61年于上海”（《唐诗选》［上、下］）；“大杰同志教正。伍蠡甫，1963年9月”（《西方文论选》［上、下］）；“大杰先生赐正。仲联呈”（《李贺诗选注》）；“敬请大杰先生教正。吴文治，65年9月，北京”（《古典文学研究资料汇编——柳宗元卷》［第一、二册］）；“刘大杰同志指教。  艾德林敬赠，1964年5月31日”  （《Тао  Юань—мин  ЛИРИКА》）；“1959年11月6日收到。大杰”（《中国文学史讨论集》）；“已校正。苏步青，1965年7月30日”（《高等几何讲义》）；“朱雯同志指正。方平，1982年5月23日”（《文学评论》82年第3期）；“谨赠荒芜兄赏阅。大风，丙寅初夏”（《兼于阁诗话》，陈声聪著）；“元化同志教正。张少康敬赠，97年6月”（《先秦两汉文论选》）；“洪林，振珉同志指正。金近，1986年2月21日”（《爱听童话的仙鹤》）；“刘小蕙同志正译。任溶溶，1983年1月30日”（《假话国历险记》）；“邓珂云，曹雷同志惠存。景唐，言昭，1981年9月”（《诗人殷夫的生平及其作品——纪念烈士牺牲50周年》）；“一纲同志指正。张毕来，1978年11月7日”（《漫说红楼》）；“士明兄正。何满子，93年3月”（《古代小说艺术漫话》）；“榕立同志指正。蒋星煜敬赠，1982年冬”（《中国戏曲史钩沉》）；“海珊同志指正。世金”（《文学艺术民族特色试探》，牟世金著）；“一智兄指正。倪墨炎，85年3月”（《鲁迅后期思想研究》）； “屠基诒同志指正。卢润祥，1981年5月5日”（《元人小令选》）；“上海作协收。卢润祥”（《神秘的侦探世界——程小青孙了红小说艺术谈》）；“华庭同志惠存。郁云赠，82年1月”（《闲书》，郁达夫著）； “洪斌同志闲阅。编者（韦顺），1987年11月北京”（《韦素园选集》）；“李龙牧同志指正。董问樵谨赠，81年7月”（《文艺论丛》之十三）；“浚吉同志指正。钧陶敬赠，1981年9月20日”（《鲁迅诗歌选译》）；“文伊同志指正。钧陶敬赠，1986年1月9日”（《杜甫诗英译一百五十首》）；“谨志对陈正炎同志的深切怀念，恭请徐雪筠同志教正。林其锬敬赠，1986年8月20日”（《中国古代大同思想研究》，陈正炎，林其锬著）；“志显同志指正。陈美林敬赠，84年11月”（《吴敬梓研究》）；“秋祥先生郢政。曹旭敬呈，1995年3月”（《诗品集注》）；“赠上海社会科学院。曹青芷，99年3月”（《诗品通释》［唐］司空图，曹冷泉注释）；“陆灏同志指正。钱鸿嘉，88年春”（ 《温亭娜》［德］富凯著，钱鸿嘉译）；“敬爱的姜老教正。朱逸森，1984年10月”（《短篇小说家契诃夫》）；“温处长斧正。方晓光，86年3月北京”（《狄更斯传》［英］赫·皮尔逊著，谢天振，方晓光等译）；“杨承紘同志指正。周林东，87年5月”（《创造力和直觉——一个物理学家对于东西方的考察》［日］汤川秀树著）；“国平同志教正。吴添汗，陈茂兹赠，91年9月”（《方以智》）；“志华同志指正。王永生，82年3月10日”（《鲁迅文艺思想初探》）；“庐龙（？）兄指正。荣正一，1986年3月10日”（《论鲁迅精神》）；“永俣老师指正。周永祥敬赠，83年11月”（《瞿秋白年谱》）；“谢稚柳先生指正。瞿秋白纪念馆赠阅，1992年2月”（《瞿秋白研究（4）》）；“徐阳同志指正。姜丕之，1988年12月”（《黑格尔迷宫的路标》）； “陈和同志雅正。尚丁，1999年1月”（《鸦雀有声》）；“姚隽先学教我。刘静生，93年9月”（《李商隐抒情诗艺术透视》）；“士明兄斧正。弟少华敬赠，93年5月”（《上古神话系列小说》）；“姜平同志指正。刘毓璜，1985年3月26日”（《先秦诸子初探》）；“华庭同志惠存。品貘赠”（《续西游记》［清］贞复居士评点，路工，田牧校勘）；“文宝，鲁娜同志惠存。朴之，6月19日”（《平凡的故事》［俄］冈察洛夫著，周朴之译）；“秋祥吾兄指正。能船敬赠，丁卯年春节初三”（《说苑选（注译本）》）；“秋祥先生阅正。曹旭敬呈，1991年12月”（《黄遵宪诗选》）；“小松兄存念。刘衍文，1994年10月”（《袁枚续诗品详注》）；“若愚方家先生斧政。杨春霖敬贻，83年11月”（《西北大学学报1982年第2期》）；“欣秋女士正之。张锦池， 98年1月”（《西游记考论》）； “少华同志指正。中孚，85年8月9日”（《晚唐诗人杜牧》）；“徐中玉先生教正。后学陈洪谨奉，97年3月”（《金圣叹传论》）；“林秀清教授指正。陈挺敬赠，88年12月”（《比较文学简编》）； “郦国义先生指正。阎晶明，2001年8月”（《鲁迅的文化视野》）；“克新同志指正。曹正文，84年9月”（《咏鸟诗话》）；“夏翀兄雅正。曹正文，96年2月”（《武侠世界的怪才》）；“胡士明先生指教。萧文苑，1994年秋”（《唐诗情韵》）；“魏同贤同志指正。徐元，1986年10月”（《历代讽谕诗选》）；“魏同贤同志指正。范光森，85年9月”（《明清故事》）；“同贤同志教正。周天，87年3月”（《论〈创业史〉的艺术构思》）；“绍愚同志指正。王恩保，89年3月5日”（《鲁迅著作古代人物词典》）；“竺少华同志指正。方正耀，87年元月”（《明清人情小说研究》）；“89年旧作敬呈咸淳先生批判纠谬”（《清代小说》，李汉秋，胡益民著）；“秋祥同志指正。梅祥于82年”（《诗圣杜甫》）； “士明兄正之。勋初，86年正月”（《韩非》）； “胡士明先生惠正。钱鸿瑛，92年冬”（《周邦彦词赏析》）；“士明兄雅正。作者敬赠，92年10月”（《唐宋文精华》，蒋凡选注）； “姚隽兄指正。孙玮，92年1月3日”（《人》［立陶宛］梅热拉伊蒂斯抒情诗集）；“徐建同志指正。宋永毅，88年9月”（《老舍与中国文化观念》）；“何泽福老师教正。宋兴华敬赠，82年3月8日”（《邹容传》）；“敬请汪耀南教授指正。学生佘大平，94年秋”（《马致远杂剧研究》）；“咸淳兄指正。孙琴安，91年？月”（《现代诗四十家风格论》）；“咸淳兄指正。苏浙生，89年6月3日”（《决胜千里——张良的故事》）；“夏咸淳先生指正。苏浙生，91年6月11日”（《书之恋》）；“李纪恩女士惠正。万树玉，李岫赠，1996年7月”（《茅盾和我》）；“传端、史军学长指正。大箴，83年3月”（《现代派美术浅议》）；“罗汉田同志指正。凌波，1989年1月6日南宁”（《南方的风》）；“德之战友指正。邱宣煌，1981年10月”（《神医华佗》）；“新春同志指正。德春敬赠， 84年6月沪”（《修辞学探索》）；“沙××指正。安忆， 84年1月22日”（《王安忆中短篇小说集》）；“叶新兄教正。马瑞芳敬赠，93年7月”（《聊斋志异创作论》）；“邓叔野老师：请提意见。王正文，1989年3月4日”（《英语常见同义词辨异》）；“陈燊同志自北京寄赠。逸森，1980年1月”（《外国文学研究集刊》第1辑）； “逸森同志惠存。凤麟，1983年10月”（《叶赛宁评介及诗选》）；  “朱逸森同志指正。赵灏， 82年7月24日”（《六十支蜡烛》［苏］弗·田德里亚科夫）；“逸森同志指正。廖鸿钧， 81年10月28日”（《阿勃拉莫夫中篇小说选》）；“逸森同志教正。叶文， 93年8月”（《王后复仇记——尼伯龙根之歌》）；“逸森、文樾同志指正。沈受君，1982年8月19日”（《世界旅游概览》）；“逸森同志指正。邓蜀平敬赠， 1982年6月”（《苏联当代短篇小说》［上］）；“逸森、文樾同志指正。蜀平敬赠， 84年4月”（《苏联当代短篇小说》［下］）；“汝衡吾师教正。学生国梁， 1986年4月”（《明清小说探幽》），陈汝衡教授将书中提到他名字的几处一一用红笔划出，并在目录和正文中作了个别批注。《鲁迅论美术》（张望编，人民美术出版社1956年版）的扉页上写着：“袁良骏，1960年”。新文艺出版社1957年出版的《费尔丁》（爱利斯特拉托娃著，李从弼译）一书上有已故翻译家项星耀的签名。在《新文学的先驱——〈新青年〉、〈新潮〉及其他作品选》一书中，夹有陈子善先生的一封信。《明清案狱故事选》的扉页则写着：“洪丕谟，1984年3月26日”并盖有印章。《爱的破裂》一书扉页上有一段较长的赠言：“金雯小姐见笑了！玩得畅快，工作得勤笃，——我这般生活着，无论过去，抑或将来！这本书就是在玩中，于呕心沥血的工作中，飘到了读者的手中。这是我出版的第三本文学作品集。很怪，是的，我并不关心读者所热衷的题材，——社会，人生乃为我的敏感与醉心的视角！作为作家写出个故事当然是易如反掌的，但不同凡响的是，于故事中，能犁出理性的，思辩的火花！——我努力着！夏仲荪，1989年8月7日”
估计每本这样的书背后都蕴藏着一个生动的小故事。然而，奇怪的是这些可谓“踏破铁鞋无觅处”的宝贝怎么会一本一本都跑进旧书店，最后又怎么会都聚集到我一人之手的？天下竟有这等巧合事，连我自己也觉得难以解释，也许只能归结于“缘份”两个字了。
    书与某些东西恰好相反，往往是愈老愈见情趣。旧书店，它常给人带来惊喜，又使人能以相对较低的价格买到自己珍爱的品种，所以，我喜爱旧书店。.

谈谈今年全国联赛中的平几题

今年全国联赛中的平几题为：
“在锐角△ABC中，AB＜AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为Ｆ。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。”.

这题似乎一点不难。充分性是显然的，因为所共圆就是九点圆。

靠些简单的角度计算，就能说明必要性等价于∠PBA＝∠PCA；而再加上一次反射就能轻松解决问题。

2006年国家队培训题中曾经有过一题，两者图形有些联系：
“在△ABC中，AD，BE，CF是高， H是垂心，O是△HBC的外心，O1，O1是BH，CH的中点。求证：AO，FO1，EO2三线共点。”

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-10-15 14:48 编辑 [/i]].

另外，今天我还探索到这样一个结论：
“P是△ABC中一点，过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为Ｆ。O1、O2分别是PB、PC的中点。求证：AP、FO1、EO2三线共点的充要条件是：P点落在直线AO上，其中O是△ABC的外心。”

好象还不算平凡。有兴趣的不妨试试！.

今年高中联赛几何题题是不是也应该算陈题？
显然o1、o2分别是BP、CP的中点，所以∠o1o2E=∠o1o2P+∠Po2E=∠PCD+2∠PCA；
∠o1FE=∠o1FP+∠PFE=(90-∠PBA)+∠PAC=180-(∠PBA+∠ACB)；
所以o1、o2、E、F共圆等价于∠o1FE+∠o1o2E=180等价于∠PBA+∠ACB=∠PCD+2∠PCA等价于∠PBA=∠PCA。
充分性：P是垂心则∠PBA=∠PCA是显然的。
必要性：属于单老师《几何中的小花》第27题。也就是上面老封老师说起的反射一下可以证明。
做B关于AD的对称点G，延长BP与AC交于H。∠AGP=∠PBA=∠PCA，所以A、C、G、P四点共圆，因此∠HBC=∠PGD=∠PAC，
因此A、B、D、H也四点共圆。所以∠BEA=90，因此P为三角形垂心。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-10-16 13:26 编辑 [/i]].

一个精彩的证明

2007年中国国家队平面几何培训中的第5题为：.

复旦附中 马浩君同学给出了上述第5题的一种绝妙的证明（由于未赶上时间，来不及收入到《走向IMO》一书中去了）。
证法如下：

自E、I、J、F作直线CD的垂线，垂足分别为E′、I′、J′、F′。设直线EF、CD的夹角为θ。
则E′I′＝EI cosθ，F′J′＝FJ cosθ。
由四点共圆易知∠AE′C＝∠MI′J′＝∠MJ′I′＝∠BF′L＝45°，
因此AE′∥MI′，MJ′∥BF′。
记∠AMI′＝α，∠BMJ′＝β。（注意：α＋β＝90°）
分别在梯形MAE′I′和MBF′J′中应用正弦定理，得
E′I′∶AM ＝ sinα∶sin45°，
F′J′∶BM ＝ sinβ∶sin45°，
∴  E′I′^2＋F′J′^2 ＝ 2AM^2（sin^2 α＋sin^2 β）＝ 2AM^2，
即        EI^2＋FJ^2＝ 2AM^2/ cos^2 θ。  
同理可得 CK^2＋DL^2＝ 2AM^2/ cos^2 θ。
∴  EI^2＋FJ^2＝CK^2＋DL^2。命题得证。.

嗯，这个证明马浩君暑假里面对我说过一次。的确很精彩。.

小时候很喜欢几何的，看见这个帖子真高兴，其实已经根本不会做了，down了给儿子，不知道兴趣会不会遗传.

数学文化之我见

在“东方论坛”上读了老殿的一篇“现身说法”式的剖白，真是心生感慨！（[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3756556&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]）

这两天，几件事情凑到了一块儿：刚约请老殿介绍Kimberling的特殊点大全式的网站，就收到友人的邮件，要我核查一个三点共线的性质；又在网上看到了一些奇奇怪怪的文章。

一方面，惊叹于老外做事的细致周到。

通过一个特定边长的三角形（边长为6、9、13），把三千多个特殊点逐一排序，其规范三线性坐标竞无一重复，让人立即便能核实所得的某个特殊点是否已包含其中。真是想绝了！

Kimberling先生这样做，图个什么？
还不是替人着想，避免重复性劳动。



另一方面，我又为国内杂志草率发布“最新成果”而感到汗颜。

网上一搜，“一条新发现的定理”、“又一个三点共线的性质”、“界心定理再推广”之类层出不穷，让人眼花缭乱。

但细细一辨，问题来了。所说的“界心”，其实不就是众所熟知的Nagel点！提到的新发现，也就是梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》一书中的几条习题（习题十五第24题，总复习题第44～46题）。
这样的教研和学术的氛围，热闹固然热闹，究竟让人是喜是忧？
真有让人说不出的味道。

记起了单教授十年前所写的一篇书评（《数学通讯》1997年第4期）。文中指出：

“作者自豪地说：‘八十年代……我们在三角形研究领域冲到了前沿’。但如果冷静、客观地检查一下就会发现，‘许多重大成果’其实都是重复了过去已有的研究。”

例如，当书中提到艾-莫不等式的推广，“直到1986年，中国科学技术大学单墫才一举证明它对n≥3成立”时，单教授毅然推辞了这一并不实际的“荣誉”，指出国外60年代已经有人解决。并说：

“当时在证明艾-莫不等式推广时，我并不知道已有人在60年代做过，这样的经验不少同志都有。其原因是长期闭关自守，很难接触国外的文献。”

“当然，独立的发现在数学史上是很常见的，对于科学的普及总是有益的。但我们必须尊重事实。”



愈加感觉到，其实文化传播是很细致入微的事，并不像人们通常以为的，只要写些通俗文章就可以了。

我们需要窃取火种，弘扬文化精神；我们需要站在数学文化的高度，为师生们提供更多合适的精神养料，借此提高全民的科学素养。

什么是文化？文化其实就是在前人基础上，把事件越做越圆满的一种高的追求；
文化更应该理解为一种态度，凡事应该追根究根，不达目的不罢休的那种执着！有了这种执着，一个国家或民族的素质得以全面提升就可无疑了。

华老、张院士、单教授，这样的大师风范，尚且勇于否定过去。这岂不正是求真务实态度最好的注释！

固然，初等数学并不总以创新发现为主要目的，传播数学思想和数学文化乃是其更主要的特征。

创新固不能勉强,但这并不意味低级重复可以大行其道，求真务实的态度是不当轻易抛却的。

网上看到这样一则报道：

[b][size=6]鄂州教师找到三角形“等和点”
荣获全国青年初等数学研究奖[/size][/b]
[color=Red]本月中旬召开的全国初等数学研究学术交流会上，鄂州市二中教师，37岁的黄华松凭借一篇《“等和点”初探》的论文，荣获第二届全国青年初等数学研究奖。
100多年前，人们在研究物理学中点电荷的平衡时，发现了三角形的等力点（也叫等积点），该点到三角形的各个顶点与相应顶点所对边边长之积相等。2003年的一天，黄华松突发奇想：如果将上述定义中的“之积”该成“之和”，那么这个点在三角形中是否存在？经过两年的努力求证，2005年暑假的一天深夜，他终于找到了这个点，并探索出了该点的9条优美特质。
专家对黄华松“等和点”给予了很高评价。著名数学家杨世民教授激动地说：“这是第一个由中国人定义的三角形的特殊点，是我国初数研究领域的一个突破！”
据了解，三角形还有其他的特殊点，如“布洛卡点”，“费马点”，“密克点”等，都由外国人发现并命名。（来自楚天都市报2006.8.20）
交流会上，黄华松读完《“等和点”初探》一文，当即获得了来自全国各地的专家们一致认同。大家认为，“等和点”的找出，确实是我国初数研究领域的一项突破性进展。《中学数学研究》杂志社还当场约稿，准备将这篇有8000多字符的论文分两期推出。[/color]

那么被专家们一致认同的新发现究竟是怎么回事呢？翻开单墫《平面几何小花》（上海教育出版社2002年）第66节“孙斌勇同学的问题”中记录了某年，当时在理科试验班读书的一位同学提出的问题：“P，Q在△ABC中，并且PA＋BC＝PB＋CA＝PC＋AB，QA－BC＝QB－CA＝QC－AB。求证：P，Q与内心I共线。”
这一问题中的两个点之一，其实就是上文提到的所谓“等和点”。
《小花》同一节中还介绍了：在国外，Q，P两点分别被称作内、外索迪点。索迪（Rrederick Soddy，1877-1956）是英国化学家，因发现同位素而获得1921年诺贝尔化学奖（与爱因斯坦同一年获奖）。.

深入的研究表明，不但内心I落在P，Q联线上，而且△ABC的Gergonne点也位于这条直线上，且这四点恰好构成调和点列。

   关于P，Q两点还有不少进一步的研究结果。上世纪60～90年代，有多篇文献涉及其性质的讨论。例如P点具有如下奇妙的特性：过P点的三条Ceva线刚好可把△ABC分割成三个圆外切四边形；而其他所有点都不具备这一性质。.

无视上世纪60～90年代这些众多成果，对那些诸多研究者是否属于尊重？
如果这样的“新成果”流传到了国外，那些作者看到后又会作何感想呢？
这样一想，我们也就更会为自己的行事保留一份慎重了。

一些杂志在发稿前最好请专家把一下关，慎用一些草率的辞汇。而作者在发表前，也最好能核查一些基本的工具书。例如在发表几何新成果之前，不能忘记去核实一下梁绍鸿先生《初等数学复习及研究（平面几何）》，这书以前是高校院校的教学参考用书，图书馆中并不难找；《近代欧氏几何学》这类的经典，也该成为手头的常备。

如果有人以初等数学不需要原创性为借口，这固有其不同的出发点和不同的视角，不能谓其没有理由；但作为杂志的审稿层，始终抱有这样的观念，在客观效果上，也就相当于是为学术浮躁的风气大开其绿灯，而把严谨的数学视同儿戏了。

更有甚者，请看：

[b][size=5]鞍山岫岩教师侯明辉发现数学新定理[/size][/b]
[color=Red]鞍山日报消息 （金生辉 记者 宋桂昌） 教师节前夕，从岫岩教师进修学校传来喜讯，去年本报曾报道的数学教师侯明辉公布了自己发现的数学新定理——“三角形二外角定理”。这是他继“三弦定理”、“四边形外角定理”、“三弦共点定理”之后，发现的第四个数学定理。
去年教师节期间，侯明辉发现“三弦共点定理”的消息在本报发表后，引起市委、市政府的高度重视。为了表彰侯明辉的成绩，岫岩县政府授予侯明辉“科技文明奖”，并做出向侯明辉学习的决定。去年10月，他从龙潭中学被调入县教师进修学校工作，这极大地鼓舞了侯明辉苦心钻研，继续探索。
在多年的初中数学教学中，侯明辉感到一些三角形难题的论证过程十分繁琐，做起来费工费力费时，他决定探索一条捷径，简化论证程序。为了早日钻研出定论，侯明辉整天埋头在科研工作中，日以继夜，废寝忘食。他做了大量的三角形难题，注意从中寻求带有规律性的问题。研究中，他做过的难题数不胜数，扔掉的废纸更是无以计数。
一次，他在用多种方法论证一道奥林匹克数学题时，隐约感到三角形两个外角与它们不相邻的内角之间存在着一种规律性关系，这种规律很可能成为一种定理。于是，他进一步研究并多次应用于解题实践。经过反复论证，侯明辉认定，这是一个定理，并把这一定理命名为“三角形二外角定理”。即：“三角形两个外角之和等于和它们不相邻的内角与一个平角的和。”用这一定理做题，简捷、明快，大大简化了一些三角形难题的计算、论证程序。
侯明辉把这一定理写成论文，在河南省《中学生学习报》发表后，受到有关专家的充分肯定。今年4月，侯明辉还被省教育厅推荐为全国苏步青数学奖候选人。（NEWS.SOHU.COM　　2003年09月10日09:12　千华网－鞍山日报）[/color]
[b][size=5]侯明辉发现数学三割线定理[/size][/b]
[color=Red]鞍山日报消息（吴庚秀 实习生崔宇 记者朱玉龙）16日，岫岩著名教师侯明辉收到了世界科学教育出版社和中国国际教育学会共同主办的2005年第二卷《中国育人》杂志。该杂志全文刊登了侯明辉的最新数学论文《三割线定理的证明及应用》。新论文在这本权威杂志上的发表标志着侯明辉新发现的“三割线定理”已经被认可。
该杂志的评价是：“由以上几例可知，应用三割线定理解证数学难题确实有独到之处，它可以使问题化繁为简、化难为易，从而收到事半功倍的效果，因此三割线定理值得重视。”近期出刊的由天津师范大学、天津市数学学会、中国数学会普及工作委员会创办的《中国数学》杂志，则将侯明辉的数学“三割线定理”纳入“数学奥林匹克命题”加以阐释。与此同时，连日来侯明辉本人收到国内各大专院校及数学教研机构发来的贺信达千余封，纷纷称赞他发现的“三割线定理”是数学界的一件喜事。
42岁的侯明辉几年来因相继发现了“三弦定理”、“三弦共点定理”、“四边形外角定理”、“三角形二外角定理”等众多数学新定理而在国内数学界引起一连串的震动。几年来他先后发表学术论文200多篇，先后在上海师范大学《上海中等数学》、河南教育出版社《中等数理化》等学术杂志发表。
取得了众多成绩与荣誉的侯明辉并没有就此满足，为了探索一条更为巧妙简捷的求解数学难题的新途径，自去年7月初起他潜心攻坚，“三割线定理”是他受“三弦定理”的启发研究出来的。“三弦定理”是“过圆上一点引该圆任意三条弦，则中间弦与最大角正弦积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积之和。”而这三条弦局限在圆内，侯明辉就想到如果将这三条弦延伸到圆外变成三条割线会是什么效果？经过半年多的不懈努力，侯明辉终于论证出“三割线定理”。
侯明辉说，“三割线定理”特别复杂，论证过程十分艰难，而且主要用公式和图形去论证，所以很难用文字对这个定理进行描述。但论证出来后，这个定理在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用。依靠这个定理解题的步骤可以节省2／3甚至更多。 [/color]
[b][size=5]“三弦定理”之父成为“国务院特殊津贴专家”[/size][/b]
[color=Red]千山晚报消息 （陈宏宇 记者朱玉龙） 21日，记者从岫岩人事局获悉，曾先后发现了著名的“三弦定理”、“三割线定理”等多项新成果的岫岩教师进修学校教师侯明辉喜获国务院特殊津贴专家称号，是岫岩获得国务院特殊津贴专家称号第一人。
侯明辉虽然是一个中学的数学教师，但他的研究成果却早已引起国内外数学界的关注，从1985年至今，他先后发现了“三弦定理”、“三弦共点定理”、“四边形外角定理”、“三角形两外角定理”、“三割线定理”等。他最早发现也是最著名的“三弦定理”，得到了国内众多知名专家的肯定和赞誉，该定理填补了国内数学领域的空白，是一项重要的科研成果。表述这个定理的论文还荣获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。 [/color]
[b][size=5]岫岩教师侯明辉发现数学新定理[/size][/b]zz - 未名空间(mitbbs.com)
[color=Red]侯明辉同志的 “三角形二外角定理”意义重大, 总所周知,欧是几何的第五平行公理至今未或证明。 而利用侯明辉同志的 “三角形二外角定理”及其他四个欧是几何公理, 可以推导出平面几何所有一知其他定理。 建议授予侯明辉同志国家科学进步……[/color]

[b][size=5]侯明辉三弦定理[/size][/b]-东陆论坛.

[color=Red]侯明辉三弦定理的发现离托勒密的时代已经2000多年了，所以，人类在某个问题上，哪怕是仅仅前进了一步，也是很不容易的。
侯明辉先生的三弦定理与古稀老翁张光禄先生发现的三割线定理都是潜心钻研的结果，是的，一些大虾们动不动就说“两三句话就能证明”。luyunhong先生给出的三割线定理证明很精彩，但不是“两三句话就能证明”的。
李明波大虾是在2001年与侯明辉的通话中，得知他三弦定理的内容的。当时感触很深：在被人研究了几千年的平面几何领域，竟然还能发现新颖的定理？！
侯明辉在很大的程度上改变了李明波对几何的看法，使李明波在研究工程、数论的同时，把研究几何也当成了大事，并得出了许多成果，尽管李明波在1990年就曾发表过几何论文。
现在已经问世了“三圆定理”，见—— 李明波三圆定理。
其实，李明波大虾还有三中线定理：
三角形三条中线的平方和，等于三条边平方和的3/4。
参 考 文 献
李明波与四边形 之一[/color]
[b][size=5]侯明辉现在比较忙[/size][/b]

[color=Red]有些人天生就是搞研究的，侯明辉就是。在岫岩龙潭中学当教师的他发现三弦定理等成果后，2002年10月8日，被调到岫岩教师进修学校，专门搞研究。
虽然不直接接触教学，但他总想着自己的研究成果能够对学生们的学习有更大的帮助。在进修学校的5年里，他写出了300多篇学术论文。去年，他写的一篇名为《关于二次函数的总结性文章》的辅导性论文发表在了一家全国发行的数学刊物上。
夜晚是侯明辉最好的研究时间。去年春天的一个晚上，侯明辉白天在看完世界名题——蝴蝶定理后，躺在床上睡不着，十点半钟的时候，朦胧中他脑袋里的那只蝴蝶好像飞了起来，他马上从床上爬起来开始研究，不知道过了多久，他终于发现：“圆内5条线相交成蝴蝶形，其中4条弦上的4条线段存在比例关系”，他将这个定理命名为“蝴蝶比例定理”。 （记者 朱玉龙 杨东 摄影报道）[/color].

有网民评论得好：“如果这位真的凭这种‘定理’拿了全国苏步青数学奖的话，我建议这个奖就没有必要再办下去了；而苏老泉下有知，也必自叹弗如，惭愧得紧。”呵呵

还是老殿说得生动：看过这样的报道，唯一的愿望就是：“真希望别给老外看到……”

笑过之后，我们也就会觉得问题的严肃之处了。

看来数学文化之路，真是任重而道远啊！

无视前人业已取得的所有成果，甘做井蛙，采取“不闻不问”“我不怕谁”的阿Q式姿态，那就只能说我国目前的文化气氛还太落后了些。

先了解别人的工作，再做自己的研究，就可以避免不少的尴尬。

固然国内资料条件比较缺乏，但这不能作为借口；而只能把填补缺口当作己任，发扬愚公式的精神。
文化靠的是传承，学术靠的是执着。

我们所需要做的事情还太多太多。大处着眼，还须从小处入手。

一些细致入微的事情总必须有人来做。

病中的单教授，居然还花费数年之力，从大量外文资料中筛选出近百篇文献，翻译成了《三角形的几何学》一稿（待出版）。一些出版社，竟只顾眼前的效益，阻碍这种学术图书的推出。

其实，在我看来，读者是真正有眼光的，那些更多带有文化特征、真具价值的书籍最终才真拥有生命力，能长久地流传下去，也更能为出版社带来真正的效益！

《近代欧氏几何学》的作者R·A·Johnson(1890—1954)并非属于知名数学家，只是《美国数学月刊》问题栏的编辑。不过，他不赶时髦（当时已有人提了“打倒欧几里得”），甘坐冷板凳，及时梳理了19世纪后半叶所兴起的这门有趣学问，总结了当时业已取得的众多成果，融入了作者个人的心得（如“有向角”之类），整理成蔚为大观的一份综述文献，为后来的学习者和研究者提供了极大方便；即使是普通爱好者，也能借此一窥数学文化所具之魅力。连M·克莱因在《古今数学思想》（第四卷）中也曾指出：“这些成果，或许重要性不大，然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无穷无尽的丰富多彩。”

这样的事情虽说琐碎，但只要切实运作起来，还是具有可操作性。文化就是靠逐渐累积而长期所形成的。

在国外，科普大师马丁·加德纳在大众科学杂志《科学美国人》（Scientific American）月刊上主持了一个“数学游戏”专栏，从上个世纪50年代至80年代，在长达二十多年的时间里，对现代数学的一些最新成果作了通俗介绍，在改善数学的可接受性方面迈出了巨大的步伐。在广大公众中，有能力理解并欣赏数学美的人极难真正有机会满足他们的愿望，而由于马丁·加德纳的忘我工作与生花妙笔，已经把一门历来人们认为枯燥乏味的学科，变成了生动活泼有血有肉的“艺术”，吸引了大批青少年投身于数学之门，从而实质上起到了“招兵买马”的作用，为数学立下了汗马功劳。他同读者之间的广泛通信联系使他远不仅是个报道者或普及工作者，而成了一位名副其实的“数学园丁”。

而《数学信使》（Mathematical Intelligencer）更是一本从文化的角度来传播数学的高档次的季刊，其内容包括了不同的种类：有的深入浅出介绍当代数学的重大成就与应用；有的循循善诱启迪数学思维与发现技巧；有的富于哲理阐释数学与自然或其它科学的联系；……试图为人们提供全新的观察视角，以窥探现代数学的发展概貌，领略数学文化的丰富多彩。

除了上述两类数学传播杂志之外，还曾有过专门的《数学娱乐月刊》（Journal of Recreational Mathematics）及《数学娱乐杂志》（Recreational Mathematics Magazine），在更为广泛的层面上为数学爱好者提供了娱乐园地，在智力游戏及智力玩具等诸多领域，即使是业余爱好者，也有机会发挥他们一技之所长；《数学教师》（Mathematical Teacher）杂志上也经常有大量通俗数学、娱乐数学的题材。而在深层次探讨数学问题、发掘数学背景方面，则有《Scripta Mathematica》，《American Mathematical Monthly》，《Mathematics Magazine》，《Mathematical Gazette》，《Eureka》，《Crux》等众多阵地，并相应形成了一支多层次的数学文化梯队。

其实在我们国内，也曾有过一些优秀的数学栏目，例如中科院的《数学译林》，在高层次数学普及方面立下了首功；《科学画报》上的“动脑筋”、《自然杂志》上的“数林撷英”、《科学》上的“奥林匹克角”、《数学通讯》上的“问题征解”也都给人留下了深刻的印象。

由台湾科学院数学所主办的《数学传播》，更是保持了二十年良好的传统，成为一份高雅的数学大餐。

这样类似的工作，还需要更多地被传承下去。

我们期待有更多的热心人来关心、支持，并投身到这类富有意义的事业中去。

只有这样，陈省身大师身前的嘱托：“[font=楷体_GB2312][size=6][b]开创新世纪的数学文化[/b][/size][/font]”才变得更加切实而有指望！.

一道小学几何题

第8届华杯赛小学组决赛第二试:“四边形ABCD，∠A=∠C=45度，AB=CD=15厘米，∠ABC=105度，求ABCD面积。”

这题有一种采取拼接的不错做法：

把△BCD剪下来，然后翻一下，拼在△EAB的位置，四边形ABCD的面积就转化为四边形AEBD的面积；

这时AB成了直角DAE的平分线，作BM⊥AD，BN⊥AE，由角平分线定理得BM＝BN；又全等三角形对应边相等，得BD＝BE。因此由斜边-直角边定理，得Rt△BMD≌Rt△BNE。

最后，把Rt△BNE剪下来，拼在Rt△BMD的位置，这样整个四边形面积就转化为对角线长为15的正方形面积。

答案是：112.5。.

解法“初等”，精彩！[em01].

回复 222#老封 的帖子

“国务院特殊津贴专家”是真的吗?
"获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。"这是个什么奖呀?地区奖?[em17].

[quote]原帖由 [i]shuaishuaimm[/i] 于 2007-11-2 10:48 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2184075&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
“国务院特殊津贴专家”是真的吗?
"获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。"这是个什么奖呀?地区奖?[em17] [/quote]

“假作真来真亦假，无为有时有还无。” 呵呵.

:L 这，是，小学的几何？我强调“小学”2个字。:L.

[quote]原帖由 [i]EmmaMum[/i] 于 2007-11-2 12:15 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2184555&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
:L 这，是，小学的几何？我强调“小学”2个字。:L [/quote]

呵呵，这个标题可不是我取的：

[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3741164&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url].

回复 228#老封 的帖子

;P 啥叫强人哦,强人啥时候都有..

呵呵,现在小学题目也真难啊[em16].

呵呵，这就是中国的奥数，看来确实成了“杂技”。:D.

数学发现之旅

有人问，在几何中哪些课题才有价值呢？

来谈一些自己的看法。我认为数学中尤其平面几何中处处有胜景，只要善于捕捉。

其实探索数学相当于去解读上帝的乐谱——它是由奇妙的和谐音符所谱成的。欣赏它的前提是真正地靠近它，即把握住问题的实质。

好的问题往往能导致好的结局。有时，一个新奇的念头便会把人带入意料之外的胜境，给我们带来意想不到的果实。

而我认为好的问题其实是无处不在的；用朴素的眼光更容易捕获到它。

我觉得斯坦纳（Jakob Steiner，1796～1863）就是一位境界颇高的几何专家，他善于解读问题，善于从关键处把握问题。.

例如，Simson线，一般人们只是单独地将它作为一条线，他却棋高一着，改从总体上看待，得到：Simson线整个的包络形成一条三尖形的曲线，它的“内切圆”（最大内含圆）恰是△ABC的九点圆，而其“外接圆”（过三个尖点的圆）大小刚好是九点圆的三倍——它相当于一个与九点圆相等的动圆在三倍于它的大圆内部滚动所形成的“三叶内摆线”，因此这是一条均匀的曲线，其三个尖点构成正三角形。.

不过这三尖点却是不可能用尺规作出的，因为这将导致三等分任意角。

随着这条曲线的揭示，“平面上任意点共有几条Simson线经过？”这个问题就同时解决了：
（1）当一点位于曲线内部时，Simson线共有三条；
（2）当一点位于曲线边界上时，Simson线恰有两条；
（3）当一点位于曲线外部时，Simson线仅有一条。

我想Steiner最初可能是这样想的：究竟怎样的直线才有资格作为Simson线？并不是所有的，而是其中特定的一些直线。那么究竟是哪些呢……

一个朴素的逆问题就导致了对Simson线整体的把握，这便是思考问题的制高点！

Steiner也许还会接着这样想：既然Simson线跳了一出精彩的“舞蹈”，那么外接圆上任意点P关于△ABC三边的对称点所共的直线（按理：它是Simson线关于P点所作的一次1∶2的位似）情形又该怎样呢？

不试不知道，一试就又有所发现：

这些线居然形成一个“线束”！

线束的中心是什么？原来就是△ABC的垂心！.

这样一条有意思的定理就诞生了：

“[b][font=黑体][size=4]斯坦纳定理[/size][/font][/b]：三角形的外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。”
（证明见于:
[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3798418&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]）

说穿了，倘若把这一切还原到历史的真实，那就会显得十分的自然。天才并非总是来自天上，他往往靠的是一双朴素的眼睛和追溯问题本质的那一种勤劳。

在我看来，做一个善于捕捉问题的人并不难：只需要具备两种素质：

一是“嗅觉灵”，从纷乱的现象中看出关键，须有快刀斩乱麻的利索。要简化问题，而不是反其道行之。有些人提的问题过于笼统，有的却又钻到牛角尖里了，这都不是正道。现在的有些数学竞赛题也存在偏离问题根本的迹象。也许是命题人想把题编得更曲折些，总不愿意把话说直白，有时又故意凑上一些附加的要求，以增加“难度”，但这离开问题的本质也就更远了。

二是“心念杂”，所谓“心比比干多一窍”，即要有比较开阔的思路。其实只要像鲁迅说的那样，乐于做个“好事之徒”，后一点倒并不难做到。

2002年８月我在几何画板中利用“垂极线”办法作出了Steiner三叶摆线的轨迹形式（而不是包络形式）。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-11-7 09:50 编辑 [/i]].

当时还产生了一个有趣的想法：

外接圆上什么样的点P，所对应的Simson线恰经过Steiner三叶摆线的那三个尖点？

由于Simson线的旋转均匀地依赖于操纵点P，因此可以想象，外接圆上所对应的三个点P1、P2、P3应构成正三角形。

经过具体的计算，结果出乎意料地证明了一件极有意思的事：

[font=黑体][color=Red][size=4]“这个对应于尖点的正三角形P1P2P3其三边必对应地平行于Morley三角形——由△ABC内角的三等分线所交成的正三角形！”[/size][/color][/font].

这几天，我又重操旧绪，使相关的旅程得以延续。Steiner图形看来也真算是一个丰富的矿藏啊

情况是这样的：这两天又得到了一个新念头——当Simson线由“垂线足”共线改为“斜线足”共线（此乃所谓Carnot定理；以下我们把这条所共直线称作Carnot线），而且倾斜角固定不变的话，那它将包络出什么图形？.

另外，如果进一步以P点为位似中心，将Carnot线缩放一个确定的比例，所得直线的包络又是什么呢？尤其是，能不能通过适当调整比例系数，使得包络退化成线束？这时所共点不会再是垂心了吧……

如果最后这个设想能够成功，那就相当于在很大程度上推广了Steiner定理。真是一个很诱惑人的想法！

赶紧行动起来……。结果既让人满意，又略微有些失望。

几何画板显示：原来一切这样的包络竟全都一律是三叶内摆线！形状没有变化，只有大小和位置的变化。
（注：图中虚线是Simson线，细线是Carnot线，粗线是Carnot线经过缩放后所得；而图中所显示的正是粗线的包络。
图的右上方控件是控制倾斜角的，右下方控件用来控制比例系数。）.

但是，想通过调整比例系数的办法以使得包络退化成线束是行不通的！除非是Simson线，而且放大比例只能刚好为1∶2。

这就表明，像原先那样优美简洁的Steiner定理是不能加以推广的。

接下去我又找到事干了：

刻划这变化后的三叶摆线之位置！

功夫不负有心人。经过一番努力，前一半的任务完成了：

在尚未实施缩放前，我搞清楚了这条三叶内摆线的大致结构——随着倾斜角的不断变化，其中心沿着一条经过九点圆心的直线运动，方向垂直于Euler线。而且该三叶摆线的“内切圆”大小是可以刻划的——它相当于九点圆绕着外心O，按照Rt△XUV（图中控件）的形状，作一次相似变换而得。
（如果不借助这一发现，该三叶摆线的“内切圆”是很难在几何画板中作出的。）.

由此，还能得到：当倾斜角调整为90°（即Simson线时），三叶摆线才变得最小。

新问题又出现了：

“内切圆”遵循的是上述相似变换，不算复杂；不过三叶摆线并不是按照同一游戏规则简单地在旋转——它除了“公转”，还有“自转”，其变化规律复杂着呢！尤其是，Carnot线相对于那个圆的位置并不等同于Simson线对于九点圆的位置——当Carnot线达到尖点时，Simson线并未达到——两者有时间差！

艰辛的探索又开始了：

结果发现，当P点绕着外心O旋转过倾斜角之余角的三分之四倍（多么夸张的一个倍数！）时，所对应的Carnot线和Simson线的地位就保持一致了。.

让我说得更具体一些吧，给爱好做难题的朋友们一次思考的机会。

现已将其简化为如下的形式：
“如下图，设O和N分别是△ABC的外心和九点圆心。Rt△ONN′中，∠N′ON＝θ。
又P、Q是△ABC外接圆上两点，弧PQ的度数为4θ/ 3。过P作左右两边的垂线PE、PF；过Q作这两边的斜线PE′、PF′，倾斜角∠QE′C＝∠QF′B＝90°－θ。
求证：N到直线EF的距离与N′到直线E′F′的距离之比等于cosθ。”.

不过说实在，倘若不叙述清上述背景，大概不会有人相信这是一个有意思的好题目。原因是我还没有把它化简到更为优美的地步。

至少有一点我是相信的，这题不至于太平凡，因为它有这么多的背景在支撑。难度往往与深度是成正比的。

更艰辛的事还在后面：

当Carnot线按比例缩放后，所得三叶摆线更难刻划。目前仅获得如下现象：当倾斜角固定不变而让比例系数改变时，对应的三叶摆线大小在某一时刻会取得极小（但一般不至于退化，除非Simson线时），这时的比例系数与倾斜角当有内在联系！例如当取Simson线时，倾斜角为直角，这时比例系数就须取1∶2，对应于Steiner定理。
其它情况下还找不到线索，连那个“内切圆”也无法画；因此亦不知当比例系数连续变化时，三叶摆线的中心轨迹是什么？

已深夜了，愉快而艰辛的旅程可暂告一个段落了！

最后补充说一点。最好不要用功利的态度对待这种所谓的“临时发现”。小花小草很难说有什么惊天动地的意义，应该怀着平和的心态。

数学本就是上帝之杰作，作为人类我们只有欣赏它的份。

故而，更应当把这样的过程看待为一次私下而又奇妙的旅行，带来了快乐就行！当然，与朋友们分享一下也未尝不可。呵呵

还是以陈省身大师的格言结束这篇帖子吧：

[color=Red][font=微软雅黑][size=6][b]数学好玩！[/b][/size][/font][/color].

大师.

儿子的期中考试作文

这是我儿子今年期中考试的作文，带回家给我签字，趁机将其录了下来：

[color=Red][size=4]寻梦——初二（4）班 19号[/size]

梦想，每个人都有，我当然也不例外。在小时候，我并不知道自己的梦想是什么。只是过一天算一天。但是，在一节评卷课上，我知道了自己的梦想。
那是五年级时的一次语文考试，作文是“我的梦”，我就是写了我在某年某日做的梦。结果只得了个十分差的分。老师在讲评的过程中说：“好好想一想自己的梦想是什么？你最喜欢的是什么？你以后想当什么？把它们合起来，那就是你的梦想。”我闭上眼开始思考，我的脑中出现了一幕幕的画面，像放电影一样：我看见了爸爸在送我去幼儿园的路上教我数“树”，教我看车牌号做二十四点；我看见了我因专心做数学而误把钱当成了草稿纸；我还看见了自己向奶奶说自己长大以后要当一个数学家……啊，我的梦想是数学，我为什么已经把它给忘了呢？是什么把我的头脑给冲晕了呢？我不知道，但是我想知道，然后，我一定要克服它。从那次考试以后，我更加努力的抓我的数学，虽然我的数学成绩已经在班中名列前茅。我让爸爸教我更加高深的数学，虽然那些在我知识范围外的解法十分的枯燥，但是我还是把它们收入腹中。我为成为一个数学家而努力着。进初中以来，我的数学成绩略有下降，可是我不会因为这一点点的挫折而放弃。现在，学习数学对我来说已经是一种享受，我享受着学习数学的快乐。虽然我现在并没有像爸爸一样钻在数学之中，可是我会努力，努力，再努力。
小时候，我为寻找梦想而努力；现在，我为完成梦想而努力；相信在不远的未来，我的梦想就可以实现！ [/color]

说实在，这篇文章作得并不够好，不够丰满，还有点程式化。比我以前可还是差了一些~~

找出了一篇我同龄时（也是初二！）所写的，不妨两相比较一下：

[color=Red][size=4]八十年代最可爱的人[/size]

在“四害”横行的日子里，极左思想认为交白卷的，无文化的，反潮流的流氓、社会渣滓是时代的英雄。然而邪理终究会被真理所替代，当人们进入以实现四化为目标的八十年代时，总会想起为培养后代而时刻辛劳着的园丁——我们的教师，他们象伯乐一样，为国家选拔，培养人材，可谓是八十年代最可爱的人。
在我的脑子里，没有再比我们的班主任翁老师更可“爱”的人了，他为了我们呕心沥血，把他的知识毫无保留地传授给我们。
翁老师由于患了不育症，至今还无子女，因此对我们格外爱护、喜欢，在发脾气时，至多也只打我们的头，拎几下耳朵，叫我们罚抄几百遍书罢了，因此我们都十分热爱他，尊敬他，亲昵地叫着他的名字“翁××”，偶尔才在其后加上“坏”字，这也实在难免，人总有短处嘛。
他患了讨厌的高血压症，时而会晕过去，但他毫不在乎，与疾病作着顽强的斗争，一次终因病情恶化才不得不去休息去了。
他十分虚心，开口闭口总讲他太主观，不愿听别人意见，这确是事实，但他的虚心作风也值得发扬，但最好加以实践。他吸烟的本领极大，人们多次对他说过戒烟的事，他从不回避，笑着向大家解释：年纪大了，不容易改，加上他不怕死，即使患了肺癌也不要紧。但他欠考虑了一点，就是污染了别人。
他不仅是生活的模范，也是体育的模范，他家住在延安西路的瑞金电影院斜对面，每天总是踏自行车上班，有时从上面摔下来，但为了锻炼至今也如此。他中午叼几只馒头就匆匆去下棋，上课铃响了，也不发觉（也许不理它），继续下棋。
他是有着极强的自尊性，虽然也听别人的意见，但终不爱听坏话。对于人来说，自尊心十分重要，他就是依靠它才维持了他的声望，不致于跌下来。
对于如此一个可爱者，人们终想了解他的历史，我就以我所知的一点资料作为结尾吧：他生于一九四○年，曾在上海第四机床厂做文攻武卫，由于欺人太甚才调来我校，他那美丽的妻子现在某所中（小）学当语文教师。

附记：校长的垂爱
每一位做校长先生的，总是对他的学生格外地关怀，这点，我是近来才渐渐深刻地体味出其滋味来的。
事情是这样的，那次我犯了一个可怕的错误，写了一篇题为《八十年代最可爱的人》的作文，为此不知停了多少堂课，挨了多少顿训，写了多少份检查，掉了多少点泪珠（当然也夹杂了不少故意装上去的水珠），这深重大孽而今思来犹教我心寒。本来，这也是老师让我们作的孽，课堂上作文题目一下来，便咬着枝笔，苦苦冥思，轰作一团的脑子于是炸开了，尽管绞尽脑汁，也比较不出个“最可爱”的名堂来，忽然间灵机一动，遂妙笔生花了。等到作文一上交，便痛悔莫及，只好乖乖地等候着上帝的吩咐了。事隔两天，形势果然便开始不妙了，课堂上冲入了怒气冲冲的班主任来，一把抓起我头上的发毛，便揪了出去，接着便是众所周知的可耻下场……当然这有关到挽回班主任的声望，我哪怕鼻尖朝下，挨点苦头，也总归是情愿的啰。
但校长的态度无疑却缓和得多。经过家长不泄的争取和我本人不泄的悔改，原先态度坚决的终于也改变了面孔。而今知道我终于已无须开除了。阿弥陀佛，阿门，保佑。于是校长温和地把我“请入”办公室去，亲切地会谈起来。校长整了整喉，放慢声音，露出微笑，而后轻声地问道：“你那篇作文可不算是好东西喔噢，呵，呵，…这且不必去说了，不过，我倒想问一问了，你…怎么会知道‘不育症’这个词的？不是么，你就是这样写的。你知道它究竟是怎样回事嘛？嗯，唔。是听大人说的么？还是别的怎么地？你…莫非暗自翻看过医学书了。你究竟看过些什么书了？啊哈，小朋友，这你能不能悄悄地告诉我呀？”
天哪，这分明是在诱发我漏出马脚来呀。见鬼，不育症，这玩意我早已记不得是猴年马月就听说过了的，固然，医学书也是偷看过几本的，可不育症也不至于到这时候才学到的。我暗笑着，我想你心里的东西我都了如指掌，还稀罕你“不育症”这个词汇么，不过，其中的苦心我是颇能领悟些的，当然，我也不致于会愚蠢得说出实话吧，于是，我便巧妙地推脱道：这是从生理卫生课上知道的。于是校长点着头，才满意地问到下一个问题去了。 [/color]

呵呵，这只是一篇游戏之作，一直保留到现在，一转眼二十多年过去了。

不过当时也事出有因：那年我们班级集体春游，一位叶姓同学将脏水灌入水壶给人喝，因为名字比较接近，这位糊涂班主任却把这件事写到我的期末评语中了，令我枉受过，事后也没敢道歉一声，只是装糊涂了之。作文上交后，据说在老师间还广为传阅，我也因此“名闻遐迩”。这件事当时还有闹大的趋势，校长、书记真的都找我谈话了……记不清为此写过几份检讨。

据说这老师当时真的气坏了，不过事后还是挺喜欢我们这帮调皮鬼。
尤其是前年，分别廿余年后，由几位同学召集，在国际饭店搞了一次师生的大团聚。席间，他笑呵呵地指着我们两个叶姓说：“两叶最调皮了，不过老师都还蛮欢喜。”且说所有人中最不让人忘记的就是我们两人。
老人家现在非常好客，那天已过八点了，还提议所有人弄辆车子到他浦东家里去玩。不过他的家实在太远了，在外高桥那儿，结果没有人跟着去。

其实,话又说回来，虽说当时调皮，其实我们还是相当懂得尊师之道的，对师长们总是保持一段距离，又可谓是敬而远之了~~。

现在自己也算是个业余老师了,对于调皮捣蛋的小孩子心里还是有些偏爱的。并不希望他们一脸严肃地来“尊重”我，呵呵。大家像朋友似地讨论些问题，这是最好的气氛了。

我觉得现在的儿童教育有些成问题：所谓“尊师爱教”的素质教育让孩子的自主性越来越少，过于听老师的话，丝毫也不许他们存有反抗；像小猫猫似的，真的太可怜。我们那时读书的时候还很自在的，同学间、师生间的友谊都很纯粹（尽管男女间不太说话），有时总想着和老师作对，但总也没做出对不起老师的坏事来——其实，现在想想，那也是尊敬老师的一种方式嘛。你想：老是鞠躬、说赞美话，会觉得好受么？.

老封小时候的作文,太可爱了.
佩服佩服.
比数学更令我佩服.:D.

[em16],20年前的作文啊，保存的真好。

[[i] 本帖最后由 dudu19668 于 2007-11-17 11:07 编辑 [/i]].

错。是27年前的作文了！.

老封不老啊，刚刚不惑:P.

数学是一种文化！

“数学归根到底是一种文化。”五十多年的数学人生，李大潜对这一点有自己的深悟。作为数学家，他清楚地意识到，在专业研究的空间之外，他有为数学长远发展贡献思路的职责。他说：数学要为实际生活的改变而存在。

基础和应用是两个同心圆
文汇报：作为一个和数学打了50多年交道的数学家，您眼中的数学是什么样子的？
李大潜：数学是一种文化，是人类文明的象征，不是应试的工具，它也不能停留在公式里。举个例子吧，“十进制”，如今是习以为常了，但是对人类文明的贡献不得了，十个数通过进位，可以表达任何一个数。如果没有进位的思想，之后的金融等等都无从谈起。这是中国人发明的，如今所有的人都享受到了数学文明的果实。
数学可以作为一种关键技术在相应学科中发挥作用，一旦有所突破，对这一学科而言，就不是无病呻吟，也不是小打小闹，而是雪中送炭。数学是一个能完美其他学科的学科。如果一个学科是粗犷的，数学的加入，将从理论框架上使得这个学科趋向完美。
文汇报：您怎么想到把研究兴趣从纯理论转移到应用数学上了？似乎学界对应用数学的轻视一直存在。
李大潜：我一直强调，整个数学学科的分布，应该像两个同心圆，纯粹数学作为整个数学的核心和基础，占据着小圆的内部。大圆的外面，是数学外部的广大世界，包括各种其他学科及各种应用领域和高新技术。而在大小圆之间则是应用数学活动的大地盘。其中有些靠近小圆，属于应用数学基础研究的部分，靠近大圆的部分，则是数学与其他学科的交叉领域，在这两者之间，同心圆环上，则分布着各种层次、各种风格的应用数学工作。
文汇报：大小圆之间的关系怎么处理呢？
李大潜：数学学科发展的根本原动力，不是来自它的内部，而是来自他的外部，来自客观实际的需要。但是一旦形成了基本的概念和方法，不再需要实际需求的刺激，单凭解决数学内部矛盾这一需求的推动，单凭抽象的数学思维，数学就可以大踏步前进，而且所得到的结论还可以成功地指导实践，显示出数学的威力。因此，外部需求的驱动和内部矛盾的驱动对数学发展来说应该是比翼齐飞的双翼，是相互联系和促进的，都是必不可少的。对一个国家来说，对整个数学学科来说，应该坚持两条腿走路，应有一个合理的布局，以求数学学科全面、协调和健康的发展。
文汇报：如今的应用数学研究是否已经形成了您所渴望的和谐局面？
李大潜：现代应用数学取得飞速发展，不仅数学应用已深入到各行各业，可以说无所不在，而且它的内容、方法也早已今非昔比。这在我们面前展开了一个精彩纷呈的世界。在这新一轮的问题驱动面前，新的数学概念、思想和方法，甚至新的应用数学分支将可能应运而生，富有活力的原始创新也将可能由此发源。只有面对这样的挑战，抓住这样的机遇，我们才能抓住现代应用数学发展的主流和脉搏，才能在这些新颖而丰富的客观需求的推动下，迎来我国应用数学的一次跨越式的重大发展。

文献驱动成为瓶颈，问题驱动别开生面
文汇报：您曾经说，习惯并满足于文献到文献的研究模式，已成为我国应用数学发展的一个重要瓶颈。从文献到文献的研究模式对于应用数学到底有多大危害？
李大潜：由于在考核及评估体系中不恰当地强调论文发表的量化指标，相当一大部分应用数学家向这方向靠拢，他们虽然打的是应用数学的旗号，但不少和应用数学基本不搭界，对问题的模型和来龙去脉也不甚了解，对新兴而丰富多彩的应用需求熟视无睹，主要还是靠文献驱动来从事一些第二手的研究，做了不少只能是二流三流甚至是不入流的工作。整个应用数学的阵地明显向内收缩，整个数学的布局实际上已失衡。其结果必然会割断数学与实际生活以及外部世界的生动活泼的血肉联系，大大限制了数学对科技发展、经济建设和社会进步所能发挥的重要作用，大大抑制了原创性数学概念、方法和理论产生的源头，已成为我国应用数学发展的一个重要瓶颈。
文汇报：那么纯粹数学还是需要强调独立的理论思考？
李大潜：对，我说的文献驱动是指应用数学领域。真正有意义的艰深的理论还是需要人去搞，这是数学的另外一条腿，但搞应用数学的人，不能只存一些文章在那里，你要和实际接触，这种接触大有可为。这需要一个磨合过程，不是一上手就可以的。
文汇报：您认为应该如何解决整个数学布局的这种失衡？
李大潜：现在需要大力提倡和推动问题驱动的应用数学研究，要鼓励、支持一大批优秀的应用数学工作者、一大批优秀的青年学生，转移或逐步转移到数学与外部世界相互作用的第一线上，转向或逐步转向问题驱动的现代应用数学研究的轨道上来，这无论对国家、对个人都是大有可为的选择。
近两年来，在国家自然科学基金委员会组织和指导下，正在大力提倡和推动问题驱动的应用数学研究。这一建议不是一个心血来潮的产物，而是从数学学科发展全局着眼的一个通盘考虑和明确导向。数学如果真正做得好的话，可以在实际领域中起到显著的作用，不是一般性的蜻蜓点水。问题驱动可以提示你关在房间里面想不到的问题。关在房间里想出的问题，不像实际提出的问题那么别开生面。你用新的方法去解决，才能做出别开生面的研究工作。
文汇报：这样的问题驱动，对数学学科基础理论研究也会有所帮助吧？
李大潜：为了真正解决一些重要的生产实际问题，对数学本身也会提出要求，可以推动应用数学学科中概念、方法及理论等方面的进一步发展，对数学学科的发展可以推出新问题，带来推动力，甚至是别开生面的推动力。

社会对数学的认识理性了
文汇报：从大的方面讲，很多学科，比如经济学、金融学，越来越重视数学的推动作用，从小的方面讲，复旦大学数学系近几年录取分数线在全校专业中都是数一数二的，数学这些年似乎越来越热了。
李大潜：社会对数学的认识更理性了。很多学科的发展，都要得益于数学的进步。由数学转到其他学科相对容易，而从其他学科转到数学就困难多了。先把数学基础打好，再转向经济、金融、管理等学科就如鱼得水。
所以我现在越来越强调要接受数学文化的熏陶。这涉及到教和学两方面，要看我们教师能不能留出足够的空间，在教学中启发学生透过那些繁琐的表象的操作，看到数学定理背后的思想实质。
文汇报：您一直反对在数学教学中过分强调定理和公式，为什么？
李大潜：如果将数学教学仅仅看成是一般数学知识的传授，特别是那种照本宣科式的传授，那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。
文汇报：数学大国的梦想一直是数学界人士甚至普通老百姓关心的话题，我们离数学大国的目标更近了吗？
李大潜：其实在数学研究的人数上，我们已经是超级大国。从质量上讲，也在不断提高。中国数学在国际上的影响力在加大，势头在上升。各种报告、获奖，包括国际杂志编委、国际组织成员都有中国人的身影。中国学数学的人才还是有的，数学是一个大有希望的学科，也是中国人擅长的学科。
我觉得数学发展的根本问题不在于钱，现在有经费、有硬件设施，要怎么才能服务好基础科学的发展？关键是能不能把整个环境搞好，把研究氛围搞好，把科研布局这些宏观层面的调控搞好，这是最重要的。.

……趁便我再来作些借题发挥，谈谈探索数学的动机所在。 （转自东方论坛：forum.cnool.net)

其实我从不把自己的所谓“探索发现”看作了不起的成就。数学是棵“庞然大树”，发展到今天，取得任何一项真正的成就都要付出极其艰辛的努力，而且都要在继承现有成果的前题下，不走专业的道路几乎是不可想象的。怀尔斯解决费马大定理，引用的文献达数百篇之多，就很能说明问题了；而有限单群的分类，同样靠了一百多位顶尖数学家的合作，历时四十年！

不要说平面几何，任意初等门类，包括数论、组合在内，都不可能有真正意义上的所谓成就。现代数学关注的是那些对学科发展起到关键影响的重大问题，例如，“千僖年七大难题”，其中包括了重要的黎曼猜想、庞加莱猜想（已解决）等；还有像朗兰兹纲领之类，能够把多个分支统一起来，建立内在联系的深刻课题。这方面，大家可参阅《数学：新的黄金时代》等书。

不过我也要说明，数学发展如果单一地走入一条专业的道路，面对各种深奥的数学理论和复杂的数学方法，门外汉只好望而却步，那它便会使自身越来越拉开与普通人的距离。

问题在于，普通人也是需要接受数学思想方法的，光靠学校中所学其实远还不够，倒不在乎内容的多少，而在于传承一种数学的精神，那是一种从古希腊就已开始的人类对未知事物求知探索的欲望！

我们提倡一种“鲜活的”数学，那就是一种从文化层次上去把握数学并身临其境地去感受数学的真实历程。

数学有其独特性，它严密而优雅，需要基本功，但也不仅仅是少部分人的专利。

我的意思是：数学不仅要朝科研的方向发展，还要朝文化的方向发展；让数学为更多的人接受，让这种“鲜活的”思想更多的传承下去。

昨天，《文汇报》有一整版篇幅访谈了复旦大学李大潜教授。最后，李院士语重心长地归结出：“数学是一种文化！”这是专业数学家发自内心深处的感悟。

阿蒂亚说得好：“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力地把它们加以简化和统一。”

文化，强调的是：既要继承，不能脱节；又要简化，要后来居上。在人类文明的进程中，这种传承的工作我们要更多费心思，用认真负责的态度来对待它，一点都马虎不得。

之所以我乐于选择几何，仅在于它形象直观而富于启示，它和一切数学分支一样，有一种追求自身完美的企图。故可以将它作为一个范例，希望更多人能够在文化之旅中享受到数学的快乐！

数学作为一种美学，作为一种头脑的体操，其实任何门类都是有其共性的！

我们不能过于计较所谓自己的成果是否被承认。在文化的层次，数学是无私的。文化是靠传播，而不是占为己有，在数学文化的旅程中并不应过于强调个人的作用。在浩瀚、丰富的数学海洋面前，人们最终也会发现：个人真的是非常渺小的！

我赞赏qjchen的态度，他是一位建筑结构专业的IT人士，已经和纯几何关系不大了，只是业余做几道几何作图娱乐自己，其态度潇洒而自在。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”

像这样的把思考作为乐趣的健康心态，是数学文化赖以生存的基石。这样的人多起来了，相信数学文化也就传播开来了。

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以下是老殿的补充：

[color=Red]我非常赞同老封的“数学文化观”，尤其是要求我们以平常心对待自己的“研究”，不要功利心太重，“乐之”才是最高境界。数学作为一种文化，是一个民族的文化，一种民族对“数学”的执着追求、勇于探索、严谨而公允的态度，它也反映了一种民族精神。

当然，民族竞争是不可避免的，这自然也会引起文化竞争，在全球的数学文化竞争中，我们必须承认我们落后了，但不能因此而丧失民族自信心，更不能妄自尊大、自吹自擂。

就是民族内部也会有竞争，记得几年前刚到“求思得”论坛时，见到一个帖子（可惜现在找不到了），大致是说一个台湾代表团到大陆来访问，竟然问欢迎者大陆有没有《几何画板》，我们的欢迎者竟然不知何以答之。

是啊，台湾对《几何画板》等数学软件的应用研究是比较领先的，成绩也比较卓著，从台大论坛中就可窥见一斑，尽管当时我也觉得台湾代表团过分，但从另一方面也足以看出台湾从官方到民间对数学文化的重视。

我们应该知耻而后勇，承担起世代赋予我们的数学文化建设重任，为我们的“数学文化复兴”作出自己应有的贡献。

对我们个人来说，这既是挑战也是机遇，我们应该积极传播和继承人类现有的成果，并在此基础上发扬光大，而不能不顾前人成果而闭门造车，拿前人已有的成果作为自己的成绩（尽管许多人都是独立得到的），这是数学文化的惯例也是数学道德的必然要求。

我人微言轻，但我痛惜我们的人才与资金浪费：多少人占据高位而无所作为，又有多少人倾一生精力与幸福苦思冥想“解决”已被证明了“不可能”的问题，企盼着一鸣惊人！中华民族的希望能够寄托在他们身上吗？

个人的力量终究是有限的，只有大家团结起来共同奋斗，我们才会有希望。 [/color]
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从一道题目谈开去——兼论数学题的好与坏

去年，一位未曾谋面的陌生人发来一封邮件，提到前段时间玩几何画板时，偶然发现一个问题：

[b][size=4]“[font=楷体_GB2312]圆内接四边形ABCD的对角线的夹角不是60°，记对角线的交点为P，则四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的欧拉（Euler）线交于一点（图1）。
若任一四边形的对角线夹角为60°，则不难证明这四个三角形的欧拉线一定平行。”[/font][/size] [/b]

[color=Red]图1[/color]

打电话与湖南岳阳萧振纲先生交流，他说前半题曾是俄罗斯的一道竞赛题。但我以前却没有做过。

拿到这个题目后，我是按如下步骤解决的。先证明如下引理：

[size=4][color=Red][size=4][b]引理[/b][/size][/color]  [font=楷体_GB2312][b]已知线段AC，BD相交于O点，四边形OAEB反相似于四边形ODFC，且∠OAE＝∠OBE（∠ODF＝∠OCF）。则AD，BC，EF三线共点（图2）。[/b][/font][/size]
   
[color=Red]图2 [/color]                                           [color=Red]图3[/color]

[color=Red][size=4][b]证明[/b][/size][/color]  如图3，延长AE交直线BC于S，延长BE交直线AD于T。
易知A，B，C，D四点共圆，故∠CAD＝∠CBD。
于是∠SAT＝180°－∠CAD－∠SAC＝180°－∠CBD－∠DBT＝∠SBT，由此得A，B，S，T四点也共圆。
∴　∠STA＝∠ABC＝180°－∠ADC，
即 ∠STA＋∠ADC＝180°，
∴　ST∥CD。
又由∠SAC＝∠FCA，∠TBD＝∠FDB，知ES∥FC，ET∥FD。
即△EST，△FCD三边分别平行，于是这两个三角形位似，
从而其对应顶点连线共点，即AD，BC，EF共点。证毕。

再来证明原题：

[color=Red][size=4][b]证明[/b][/size][/color]  如图4，设AC，BD交于P点。分别作出△PAB，△PBC，△PCD的外心和垂心O1，H1；O2，H2；O3，H3。又设直线O1 O2，H1 H2交于Q点，直线O2 O3，H2 H3交于R点。

对四边形P O1Q H1和四边形P O3R H3应用引理（不难验证∠PH1H2，∠PO1O2，∠PH3H2，∠PO3O2都等于∠A，故它们符合引理中的前提条件），得知△Q O1 H1和△R O3 H3彼此透视。

再根据德沙格（Desargues）定理，知其三条对应边的交点X，O2，H2共线（透视轴）。

然而Q O1和R O3的交点正是O2，而QH1和R H3的交点正是H2；换句话说，上述透视轴正是△PBC的欧拉线。由此表明△PAB，△PBC，△PCD的欧拉线的确共点。

同理，△PBC，△PCD，△PDA的欧拉线也一定共点。

这就表明，上述四条欧拉线的确交汇于同一点X。证毕。

[color=Red]图4[/color]

就题论题，这是个不错的题：结论挺漂亮，证法也不算坏。

不过倘若仅此而已，那么其价值就会停留于此。

记得数学大师陈省身先生表达过这样的意思：单个的数学题，再精致，也只是“孤岛”，不具备普遍性。

然而，对我而言，这个题的价值却远不局限于此。原因就在于它意外地与我前段时间思考的“反相似 + 透视”这一课题有了联系，真是很有意思！

当时我和田君两人讨论了一对反向相似的三角形，得到如下有趣的结论：

[b][size=4][font=楷体_GB2312]“如果两个反向相似的三角形ABC和A′B′C′一旦透视的话，则两三角形的垂心连线也必经过透视中心！”[/font][/size][/b]

[color=Red]图5[/color]

而现在，上述引理相当于给出了图2中反相似三角形ABE和DCF透视的一种结构！但因A，B，C，D共圆，表明它还局限于特例。于是就顺水推舟，研究了更为一般的情况，得到进一步结论：

[b][size=4][font=楷体_GB2312]给定任意线段AB和A′B′，为使△PAB，△P′A′B′既反相似又透视，则动点P的轨迹是同时经过A，B两点，以及反相似中心O，线段AB和A′B′的透视中心O′的等轴双曲线，而且其渐近线恰好平行于两条反相似轴！[/font][/size][/b]

（注：反相似中心O指的是满足△OAB∽（反向）△O A′B′的点；一般是唯一存在的。当线段AB和A′B′轴对称时，对称轴上的任意点都成了反相似中心，这是退化的情况。
反相似轴指的是由A →A′，B→B′所确定的反相似变换的两条不动直线。 当线段AB和A′B′轴对称时，其中一条成为无穷远线，另一条就是对称轴。）

[color=Red]图6[/color]

再注意到等轴双曲线上任意三点的垂心仍位于该等轴双曲线上。（参见《圆锥曲线的几何性质》一书问题№306：“证明通过一个三角形的三个顶点及其三条高线交点的圆锥曲线都是等边双曲线，并且确定这些双曲线的中心的轨迹。” Lond．1st  B．A．Hon．1872年）
因此原有结论：“△ABC和△A′B′C′的垂心连线必过透视中心”也就成了必然的推论。

顺着这条思路，还可获得其它一批有趣的结论。也就是说，思考这个问题的乐趣，已不再停留在单个的问题上，它好比是一条导火索，引出了一系列的新问题。

将问题放在更宽广的背景下考虑，结论就会愈加深刻！所以，我认为这就是一个典型的好的数学题。

陈省身先生说数学有好坏之分，在我们看来数学中的题目也有好坏之分。

究竟什么样的数学题，才算是好的？这是非常耐人寻味的话题。

受这一具体问题的启发，我还由此想得更远。

目前数学教育界围绕着是否该让学生做很多习题，究竟应该怎么去做题，该思考何种类型的问题展开过讨论。对此我也试着提出自己的一些看法。

从数学教育的立场看，解题既能给我们带来一定的乐趣，也具有相当的实用价值。作为数学教育的一个有机组成部分，解题的作用决不能低估。

做题是真实而深入地感受数学的最佳途径之一！笔者的师友，南京师范大学的单墫教授就是一位不倦的思考者，是我们大家的楷模。

不做题而空谈数学，那是一种不好的习气，使人在数学学习的过程中只能获得肤浅的感受；好比“入宝山而空返”，会给人留下不尽的遗憾。

但另一方面，是不是就该提倡让学生做很多很多的数学习题呢？

我认为答案也是否定的。

如果仅把学习数学和强化做题等同起来，那就毫无意趣可言，而且也对学生本人未必有太多帮助。

关键要看做什么样的题？抱着什么态度去做题。

从实用角度说，为了掌握好课本知识，提高应试能力，只需做适当数量有针对性的题目就够了，“解剖”若干只“麻雀”，比起强化训练效率反而更高！

因此从学生的立场说，不该提倡让他们做过多的题。题并非一律都有价值，尤其是现在题海中所遇到的题目，很多都是在低级重复，反反复复并不能从中得到有益启示，除了提高熟练度外并不能给人带来更多的东西。而有些综合题，就是将一些知识点揉在一起，就像餐馆里的拚盘。明明能说得简单的话，却故意说得很复杂、很曲折，故意绕圈子，设陷阱。

做低水平的题，甚至包括有些竞赛题，都难以使思维从中得到提高；只有在思考一些真正富有启示性的问题的过程中，才能塑造出思维的深刻性。

当然，这并不是说要一味追求去做难题。我认为更应强调问题的意义及思考的态度。通常，越是简化问题，就越是能得到深刻而有价值的结论。做完一题，不停留在原有层次，多追问一些为什么，往往能导致柳暗花明的新境界。这样思考起问题来，也就格外有趣。

其实，从最终的效果看来，做题的数量以及题目的难度本身都未必能说明什么。追求古怪和难度，往往倒是竞赛题的共有特征，因为它有一个实用的功效，即选拔尖子学生。但对于不受功利目标干扰的数学爱好者而言，完全可以采取另外一种心态，即：静下心来从更本质处关注问题本身；所以比起“可怜的”学生们来说更有一定的优势。

做题的态度如何，应该说是更为重要的。有些学生，包括竞赛选手，抱着功利性目的做题，他们并不关心问题的背景，做完就了事。题虽做了很多，但是说不清做这么多题究竟是为了什么。最典型的就是：一些人考完以后就把从前的笔记全扔了，表明他们对数学并不钟情。即便做了再多的题，对今后也不会有太多帮助。

做题的目标不明确，一味瞎做题，不是抱负责任的态度，盲目追求数量，就会湮入题的海洋，迷失自我，最后连自己也搞不清在做什么了。很多被动的学生我想很可能就会有这种糟糕的感觉。

不过，作为爱好者与研究者，情况就大不一样，他们不但能细细地去品味，而且也能够以更为全面的视角来审视自己究竟在做什么。他们不仅要做所遇到的题，而且最好主动出击去搜罗问题，判定题目的价值，发现题与题之间的联系，作比较与归类，分出条理和层次。

保留好的问题，筛汰不好的问题，还有权拒绝做坏题！这才是好的态度。

并不应以数量为限，蜻蜓点水的做法绝不可取，而应秉着一种执着的态度，不倦地去求索。

《聊斋》中提到一位鸽迷，一生癖好鸽子，“按经而求，务尽其种。其养之也，如保婴儿：冷则疗以粉草，热则投以盐颗……”在数学中也一样的，爱好者就应该抱着这样的态度来对待自己所喜爱的领域！

目前我国初等数学研究中普遍存在浮躁之风。很多作者并不去努力了解并继承前人的成果，造成很多重复无效的劳动。杂志上虽时有一些好的文章，但是良莠不齐，时间一长也就被淡忘。国外有些好的经验值得我们借鉴，他们有比较完备的文献机制，经常有人及时整理前人的工作，这样就能提供问题完整的思考背景，让后人能够站在前人的肩膀上，真正达到后来者居上，这才是做学问的良性态度！只有不断累积，才会不断提高。

作为研究者应多读一些经典原著，如“通俗数学译丛”中的《近代欧氏几何学》，梁绍鸿的《初等数学复习及研究》等，这些书的共同特点，就是比较注重知识体系。在已有的体系基础上不断添砖加瓦，才能起到后浪推前浪之效。

最好也查阅一些国内外杂志上的原始文献。当然及时关注国内外竞赛中的新题也是很有意义的；但不要仅被赛题牵着鼻子，最好对同类的题做归类、比较，去伪存真，这样就可逐步深入地挖掘出问题固有的属性，真正达到胸有成竹。


                                                                               ——《中学数学研究》2006年第5期

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-11-22 11:22 编辑 [/i]].

感恩节思绪

收到从新疆石河子市发来的一条信息：

[color=Magenta]天地间有一种东西叫雪 从天而降 落地而化 人世间有一种东西叫爱 自吸引中诞生 升华中融洽 朋友中有一个人是你 识于偶然 至于永久 祝：感恩节快乐！[/color]

它提醒了我，昨晚是感恩节。在这西方传统节日里，我们也会随之而思绪绵延。

我记起了李大潜院士。据说他是复旦校园里最受学生喜欢的教授之一。在他办公室的书橱里摆着一个奖牌，他获得了2006－2007年度复旦大学研究生“我心目中的好导师”称号。他是以最高票获得这个荣誉的，呵呵。

在同行的心目中，他是学界泰斗，在学生的心目中，他是最受欢迎的导师。连他自己也记不清，他有多少次出现在复旦新生的开学典礼上，一届届复旦学子都有聆听他教诲的记忆。

研究生会、学生会也都喜欢邀请他去做讲座，每当这时候，复旦的3108教室就会被围得水泄不通。一名主办讲座的学生还记得，讲座结束后，李老师执意谢绝了大家的相送，独自骑着那辆老式自行车消失在初冬的寒风中，临别时，他还不忘关照工作人员把所有学生的提问转交给他。“看着李院士的背影，所有的老师、同学和工作人员都从心底感受到一位大师的人格风范和精神魅力。”

不过，作为一名复旦生，我在校时，并没有机会亲聆李教授的课。直到毕业离开复旦后，才有了与他的交往。

那是2002年前后，李老师约我去中法应用数学研究所他的办公室。当时的数学系还在600号老大楼内，而他的办公室就在二楼，复旦数学系资料室旁边的那一间。事因是：当时有一位国家领导人要在电视节日中发表对平面几何教学的言论，李老师嘱我准备一份介绍当前中学数学中平面几何教学现状的调查材料。于是我带去了“大哉几何之为用”，这篇文章是在他的关心鼓励下修改而完成的。

在这次并不很长的交谈中，李老师已经蕴含了数学是文化的思想，他的言谈对我事后的思考是深有指导意义的。




[size=5]附:大哉几何之为用[/size]
——试析平面几何在21世纪教育中的地位



[size=2]在数学的大花园里，几何是最美丽的部分。它既有优美的图形，令人赏心悦目；又有众多的问题，供大家思考探索。它的论证严谨而优雅，命题美丽而精致。入门不难，魅力无限，因此吸引了大批业余的数学家与数学爱好者（包括叱咤风云的拿破仑一世），在这里大显身手。一些历史上有名的大数学家，像费马、帕斯卡、牛顿、欧拉、高斯他们，也禁不住在这里留连驻足，为花园增添奇葩。

伟大的物理学家爱因斯坦在《自述》中曾这样回忆道：

“在我12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。……我记得在这本神圣的几何学小书到我手中以前，有位叔叔曾经把毕达哥拉斯定理告诉了我。经过艰巨的努力以后，我根据三角形的相似性成功地‘证明了’这条定理。……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就像希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了。”（《爱因斯坦文集（第一卷）》）

面对几何世界这笔丰厚的遗产，难怪H·G·弗德会说出这样的话：“谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡。”

几何学的特点之一是其历史的悠久。早在古希腊时代，几何学就逐渐形成一门独立的学科，无论在实际材料方面，还是在某些理论基础的奠定方面，都得到了光辉的发展。古代希腊的许多数学家，如泰勒斯（约公元前640－546年）、毕达哥拉斯（约公元前582－493年）、希波克拉底（约当公元前430年）、柏拉图（约公元前427－347年）、欧几里得（约公元前330－275年）诸人，对几何学都有莫大的功绩。泰勒斯发现了若干几何定理和证明的方法，这是理论几何的开端；毕达哥拉斯认为数学是一切学问的基础，他对几何学有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“毕达哥拉斯定理”；希波克拉底编著了第一部初等几何教科书，他首先会用“反证法”，与柏拉图同为研究“几何三大问题”的有名的人，因而附带发现了许多几何定理；柏拉图首创现在视为证题利器的“分析法”，而确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，这种思想也由柏拉图开其先河；欧几里得搜集当时所有已知的初等几何材料（包括他自己的发现），按照严密的逻辑系统，编成《几何原本》十三卷，这部书在历史上极负盛名，后世誉为几何学的杰作。平面欧几里得几何学，如果从欧几里得算起，也已经有两千多年的历史。

几何学的特点之二是其内容的丰富。美国数学家E·T·贝尔说过：“几何学的浩瀚的文献比算术和代数的加在一起还要多，其广泛的程度至少和分析的文献相当，这是比数学的其它部门更有意思的、然而是半遗忘的东西组成的丰富的宝库，但是匆忙的一代人无暇去欣赏它。”整个欧氏几何确实像是一座丰厚的宝藏，经过两千多年的采掘，大部分菁华已经落入人类的手中。到了19世纪后半叶，又涌现出了一大批瑰宝，发现了数以百计的新定理，形成了所谓的近代欧氏几何学，像Torricelli-Fermat点，Nagal点，Gergonne点，Brocard点和圆，Lemoine点和圆，九点圆，Euler线，Steiner点之类的独特对象都得到了深入的探索和研究。正如M·克莱因在《古今数学思想》中所指出的：“这些成果，或许重要性不大，然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无穷无尽的丰富多采。”

然而，数学也与服装一样，讲究时尚。“20世纪的几何学家早就虔诚地把这些珍品送进了几何博物馆，历史的尘埃很快地把这些珍品的光泽湮没”（《数学的发展》，第323页）。随着时间的推移，几何在上个世纪的发展遭受挫折，曾一度步入低谷。布尔巴基学派的代表人物之一狄多涅，在《我们应该讲授新数学吗？》一文中提出过“欧几里得滚蛋”的说法，试图推倒欧氏几何在数学课程中的基础地位，其影响波及面广，以致在一些西方国家课程改革中欧氏几何体系不复存在，而被其它的一些结构观念所取代。但他的主张当即就遭到许多人的非议，引起了激烈的争论。法国数学家托姆（突变理论的创始人，拓扑学家，菲尔兹奖获得者）认为“几何思维可说是人类理性活动的正常发展中不能省略的阶段”，并建议恢复欧氏几何体系的教学。经过近半个世纪来的实践和反思，人们对此有了重新认识。1995年《美国数学月刊》刊出了“三角形几何学的兴起、衰落和可能的东山再起：微型历史”一文，全面分析了“一个被历史的尘埃和灰烬所掩埋的科目能够东山再起吗？”这一绕有意趣的议题，并得出了正面的回答。作者最后坚信地指出：三角形几何过去是为欧几里得精神作证明的实践的基地，如今已变成了决定性、证明和发现定理策略的实验基地。由计算机带来的三角形几何的变革，以及其它领域中的这种变革，已经重新证实和加强了人类在“做数学”美妙活动中的根本作用。

但直至20世纪末，还有一些自命不凡的人打着这样那样的旗号，拣起20世纪60年代以失败而告终的所谓“新数学运动”的唾余，试图将平面几何内容“请出”义务教育，以为本着“大众数学”的思路，就可以不让公民掌握数学中的公理化思想。几何的严谨性和明晰性遭到了强暴的摈弃，一些不伦不类的实验手段和含糊不清的说理模式被堂而皇之地“请入”殿堂，取代了数学中的论证和推理。与此同时，一些重要的几何概念和优美的定理被大量删削，真可谓是“黄钟毁弃，瓦釜雷鸣”。 甚至连“直径所对的圆周角是直角”这样的最基本的几何遗产也不能幸免，被某些新编教材剔除在外。弄得学生对古希腊人就已掌握的数学常识都不具备，不知道严密论证究竟为何物，连解决一些简单习题的基本功都没能学到。这真是对现行教育制度的一种莫大讽刺。殊不知弃亲忘本、轻视几何、拾人牙慧以为时髦等这一系列陈旧的做法和观念已大大落后于形势的发展。

在20世纪末高新技术发展的推动下，几何学原理得到了空前的应用。无论是在CT扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话、高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论。在人类进入电子信息社会的今天，几何学对于人类社会发展的贡献越来越大。

1998年美国科学年会上,学者们一致认为21世纪的教育应把几何学放在头等重要的地位。硅谷的马克斯韦尔等人甚至喊出“几何学万岁”的口号。与会科学家和教育学家大都认为，21世纪教育的一个重要原则是，学校传授给下一代的将不只是知识，更重要的是技能。几何学具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，应当成为自然科学教育大纲中的首选和重点内容。新泽西州普林斯顿大学数学系的约翰·康威说，几何学早先是大学的课程，现在几何学的许多内容放到中学来教授，其实，最简单的几何学内容完全可以放到小学甚至学前班来教授。他认为应当让孩子们从小接触、了解、认识、熟悉几何这种形象数学，进而从小养成认识事物和形象思维的习惯。华盛顿大学数学系的詹姆斯·金说，他们在华盛顿州帕克市一些中学进行的几何学教学实验表明，几何学教学引进电脑后效果更佳，因为用电脑演示复杂的图形变化过程可以带给学生“看得见的动态立体形象”，而传统方法则要求学生进行抽象思维。由美国N·Jackiw等人编制的《几何画板》正是顺应这种需要而设计出的一种软件，它具有独到的设计思想和强大功能，已成为探索几何学奥秘的强有力的辅助工具。《几何画板》的精彩之处在于它是一个动态的几何学环境，利用其动态几何功能，可以随意改变一个图形的形状，并仍保持原来的几何关系。随着图形的拖动，已构建的几何关系变得极为直观，能更容易地揭示出蕴藏在特殊图形背后的一般规律，发现几何关系将变得多么令人兴奋！《几何画板》还提供了丰富而方便的创造功能，通过编写画板和脚本，可以方便地验证一些新的几何猜测，随心所欲地编写出自己需要的范例，使几何的优雅得到最为完美的表现。毫不夸张地说，这是目前所能见到的最出色的教学软件之一，或许可以称为伟大的教学软件。它的出现，无疑会推动几何的复兴，重新唤起人们对几何学知识的探索热情。

因此，笔者认为，面对高科技信息时代带给我们的机遇，在现行教育中恢复和加强欧氏几何体系的教学，不仅必要，而且完全有这种可能。

数学是一门博大精深的学问，学习它的最好方法是自己去发现它；如果浅尝辄止，就不能深刻体会数学中的乐趣所在；唯有对美的执著追求，才会把自己带入到“奇伟、瑰怪、非常”的新境界。平面几何，正提供了这样的一块良好的实验基地，可供学生们去再现，去创造。

为什么有必要不时地重温昔日的成就，为什么必须对旧有的知识成果不断加以再现和整理。这是因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界。数学本身就是一种文化，如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力地把它们加以简化和统一。抛弃传统，就会断绝未来。继往开来，才能发扬光大。

愿几何世界中的瑶草琼花迎风绽放，来点缀美丽纷芳的数学百花园。[/size]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-11-23 16:59 编辑 [/i]].

闸北区初中新知杯预赛题

这是今年上海闸北区初中新知杯预赛题。题很漂亮，做法也巧妙，只是作为初中赛题，难度似有些偏高。

“在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、CD上的点，满足∠AED＝∠BEC，∠AFD＝∠BFC，对角线AC、BD交于O。求证：OE＝OF。”.

解法如下:

先由Rt△DED0∽Rt△CEC0，证DE / EC ＝ DD0 / CC0 ＝ AD / BC；

于是DE / EC′ ＝ DE / EC ＝ AD / BC ＝ DO / OB，得OE∥ BC′。

同理，得OF∥ CB′。

然后由 △DEO∽△DC′ B，△AFO∽△AB′ C及C′ B ＝ BC ＝ CB′ ，即得结论。.

太精妙了！[em11].

这个证法还算是比较显然的。我的第一个反应也是这样。

还发现一个问题，如果过O点，作上下底的平行线。与两腰有两个交点，则这两个交点和EF共圆。
证明也显然，就是比例而已，结果它们到O点的距离都相等。但是这么有趣的结论难道是第一次出现，太奇怪了。.

我还有一个猜测,明天发布.:P.

等待.

悬赏！

[size=6][b][font=黑体]猜测：[/font][/b][/size]

“已知E、F、G、H分别是四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的点，满足∠DEA＝∠CEB，∠AFB＝∠DFC，∠BGC＝∠AGD，∠CHD＝∠BHA（即光路反射点）。则下面四个断言中，其一成立，必导致其余三个也成立：

（1） AD、EG、BC三线共点；
（2） AB、HF、DC三线共点；
（3） EF、AC、HG三线共点；
（4） EH、BD、FG三线共点。

并问此时四边形ABCD满足什么性质？”

几何画板已表明上述猜测的正确性。第一个给予严格证明者，老封将奖励精美图书一册！.

又有新的猜测了：

[size=6][b][font=黑体]猜测：[/font][/b][/size]

“已知四边形ABCD对角线交于O，O关于四边AB、BC、CD、DA的对称点分别为O1、O2、O3、O4，联线O1O3交对边AB、CD于E、G两点，联线O2O4交对边BC、AD于F、H两点。则下面四个断言中，其一成立，必导致其余三个也成立：

（1） AD、O1O3、BC三线共点；
（2） AB、O4O2、DC三线共点；
（3） EF、AC、HG三线共点；
（4） EH、BD、FG三线共点。

也问此时四边形ABCD满足什么性质？”.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-11-27 13:18 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2268511&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
这是今年上海闸北区初中新知杯预赛题。题很漂亮，做法也巧妙，只是作为初中赛题，难度似有些偏高。

“在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、CD上的点，满足∠AED＝∠BEC，∠AFD＝∠BFC，对角线AC、BD交于O。求证： ... [/quote]
这是一道陈题，抄来的。.

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-11-28 16:45 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2273983&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

这是一道陈题，抄来的。 [/quote]

不要要求太高了，一个区级的竞赛，要是能有新题出现，中国每年的新题目岂不是数以千计。.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2007-11-28 18:04 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2274235&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]


不要要求太高了，一个区级的竞赛，要是能有新题出现，中国每年的新题目岂不是数以千计。 [/quote]
一位在今年全国高中联赛获得一等奖的高二学生曾告诉我，他所在的区的初中竞赛阅卷工作，是由一些只懂得初中会考辅导的老师来完成的。他的一种非常有创意的方法，因为与官方提供的标准答案不同，没有一个老师看得懂，结果判错。

一个无可否认的事实是，现在区研修员层面上的老师，能略通竞赛的已寥寥无几，从这个意义说，抄个把陈题拼凑一份试卷，好像也是可以理解的，我们还能提什么更高的要求呢？

只是，区的单位毕竟不小了，区级比赛，应该与学校的普通练习还是有区别的吧。作为老师，你应该知道，在一个决定市级竞赛入场券的竞赛中出现陈题（尤其是大题目），对没有做过的孩子是一种不公平。

当抄袭已成为一种习惯，当习惯已成为一种自然，当自然已成为一种麻木，连老猫都为此说话，我真的还能再说什么呢？！

鉴于此，我愈发觉得老封的可爱。竞赛圈里，像他这样的人太少了。.

呵呵,这是陈题完全有可能。这么有意思的结论，我想也不太会刚被发现的。

不过老封的这两个猜测应该是没有过的吧？  正在努力思考中.

回复 266#老封 的帖子

老封,你研究并编制了那么多新题,为什么不把他们当产品,推销给这些命题机构

类似词曲作者,可以买词,买歌.

哈哈.......

那就靠炫爸作中间人了，可稍收取些中介费。;P.

悬赏还在延续！

原始的猜测，已被一位解题高手攻破了。

不过，新的结论经过简化后更漂亮了：

“设四边形ABCD的对边AB、DC延长交于P，对边AD、BC延长交于Q，对角线AC、BD交于R，R点关于AD、BC边的对称点记为R′、R″。

求证：R′、R″、P三点共线的充要条件是∠PRQ＝90°。”

老封将继续奖励第一个给出纯几何证法者精美图书一本！.

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-11-28 20:35 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2274653&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

一位在今年全国高中联赛获得一等奖的高二学生曾告诉我，他所在的区的初中竞赛阅卷工作，是由一些只懂得初中会考辅导的老师来完成的。他的一种非常有创意的方法，因为与官方提供的标准答案不同，没有一个老师看得懂，结果判错。

一个无可否认的事实是，现在区研修员层面上的老师，能略通竞赛的已寥寥无几，从这个意义说，抄个把陈题拼凑一份试卷，好像也是可以理解的，我们还能提什么更高的要求呢？

只是，区的单位毕竟不小了，区级比赛，应该与学校的普通练习还是有区别的吧。作为老师，你应该知道，在一个决定市级竞赛入场券的竞赛中出现陈题（尤其是大题目），对没有做过的孩子是一种不公平。

当抄袭已成为一种习惯，当习惯已成为一种自然，当自然已成为一种麻木，连老猫都为此说话，我真的还能再说什么呢？！

鉴于此，我愈发觉得老封的可爱。竞赛圈里，像他这样的人太少了。[/quote]

不是麻木，而是无奈。
还曾经看到某区的在一个决定市级竞赛入场券的竞赛中，用了整套的陈题。
看到之后，总不能去把他们的办公室砸了吧。.

回复 268#老封 的帖子

你的意思是我做老封的经理人，老封要亏大了。:D

老封要加强市场营销力:D.

回复 270#老猫 的帖子

老大，用了整套陈题，好像也没有个个满分。:D.

是的，思想新了，题陈一些也没关系。

老封现宣布，第一本奖品：新版的《现代世界中的数学》（价值83元）已授出，奖给安徽的唐高手！祝贺:handshake

新版《现代世界中的数学》，内容没什么更新，书前有丘老先生的题辞：

[color=Red][size=6][b]“当代数学 能帮助我们了解大自然 也能了解工程学和社会学 无尽美也  丘成桐 二OO六年” [/b][/size][/color]

其实，下一部《当代世界中的数学》已在蕴酿中，估计也会在较远的将来，得以面世。

老封现已将结论推广到任意四边形中:“设四边形ABCD中，对边AB、DC延长交于P，对边AD、BC延长交于Q点，
对角线交点R关于AB、CD的对称点R'、R''的联线交直线PQ于S点。
求证：∠PRS＝90°”

估计又是一块硬骨头。精彩还在延续，悬赏还在继续。再悬赏！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-11-30 12:23 编辑 [/i]].

一本珍贵的书

昨天，去上海市老资格的特级老师、几何专家刘汉标先生家拜访，老人家将他一部珍贵的藏书《圆锥曲线 解析几何学》赠送给了我！

这可是一本稀见的好书。据说苏步青先生年青时曾受这书影响颇大：


[color=Magenta]“1919年，苏步青东渡扶桑，日本东本帝国大学洼田忠彦教授对苏步青非常严格。一次，有道解析几何难题解不出来，他向教授请教， 教授只是说：‘你去查查沙尔门菲德拉的《解析几何》。’苏步青虽不理解，也只得硬着头皮啃完了那本2000页的厚书。这时他明白了教授的用心：让自己掌握终生有用的基础知识。

时隔七八十年，苏老回忆起这几位恩师时，仍然一往深情，连连说：‘念念不忘’ 、‘永远怀念他们’ 。苏步青深深感激为自己进步付出心血的恩师，他自己当了老师后，更以教育后人为己任。他说：作为教师，最大的幸福莫过于自己学生的成长。”[/color]


刘老师赠我的是这书的日译本，译者：小仓金之助 改订第四版1914年（东京山海堂书店）。

原著：A Treatise on Conic Sections（6th edition）1879年
注：1848年初版，法文书名：Traite de Geometrie Analytique deux dimensions (Sections coniques)

作者：沙尔孟（Par G．Salmon，1819．9．25—1904．1．22）

刘老师在我中学时代就教过我们平面几何，他的课精彩绝伦，现已70高龄，但仍精神攫烁，健谈依旧，陪我聊了近两小时天。在我心目中，他是一位绝好的长者，对人虚怀若谷。

我看五十年代的《数学通报》问题栏上，常有张恭庆、刘汉标、盛立人等一些熟眼的名字。他说，很多数学专家都在上海读的中学：那时张恭庆是南洋模范中学的，许以超是大同中学（？）的，史济怀和他同是格致中学的，史比他高一届。当时史的外号是“菩萨”，因为别人问他题目时，他总能做到有求必应。.

[quote]原帖由 [i]老姜[/i] 于 2007-11-28 20:35 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2274653&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

这是一道陈题... 当抄袭已成为一种习惯，当习惯已成为一种自然，当自然已成为一种麻木，连老猫都为此说话，我真的还能再说什么呢？！
[/quote]

老姜奋起痛吼，直击旧题陈袭现象，真是矛马所至，无不大快！

考题，它有一个相当实用的目的，那就是选拔。如果陈题大行其道，势必严重影响公正，应竭尽所能去避免。如果教研员们真像老姜所言那般尽捣浆糊，则目前教学大环境也就可想而知。

考题确不该陈。不过平时我对那些隔年老题却有自己的一种偏爱。

其实至少有两种东西并不是越新越好，一是书，第二我认为就是题了。

先说说书。其实虽说喜欢书，但每当经过新书店，现在我都不太愿意进去了。如今的新书实在是太多了！五花八门，花花绿绿，无奇不有。看多了真会让人头疼，呵呵。

只有我的一位朋友才偏爱新书。明明已有了旧的版本，还愿掏钱买新的，然后把自以为不好的都处理了。新书的封面，新书的格调对他有种特有的吸引力。他对书有这样几种偏好：喜欢新书不喜旧书，喜欢塑封的不喜纸质的，喜欢胶印的不喜铅排的，喜欢中文的不喜外文的，只看简体的讨厌繁体的，尤其厌恶竖排的。呵呵，真是让人没办法。

再说说题。我认为旧的题未必不好，像以前旧教材上的题，我认为比新的更好。《圆锥曲线的几何性质》一书后的4百多个习题，我看是现在刊物杂志上的新题所远难匹敌的。如能对旧有的那些题目真正吃透，做到旧瓶装新酒，推陈出新，那就非常好了。真正的好题我认为是几年一遇的。我们所能做的，是应该把这些好题一道一道地保存下来，作为一种遗产流传下去，而不该任其自生自灭。

我国目前教学环境如此，一个很重原因就是没有一种文化意识，从功利性出发，把学习过程当成敲门砖，门既开，则弃去。这样，偶有好题，也不可能被珍惜的。.

正版的很难买到了，找了本盗版的看看，很多精彩的东西，以前竟然没有听说过。[em03].

当考试出现陈题

reflections说：

[color=SeaGreen]“一道好题，犹如一个艺术品，是用来细细品味的
考试，是用来选拔，适当陈题倒不一定不好，尤其是一些基础题，改改数字再考，也不错
至于大题，最好不要这样，至少不能让那些见过的一下子搞定，没见过的很难搞定，有失公平
其实，我认为，当很难命制非成题的好题时，不如搞一些新题，难度不要很高，但能考验一个人的灵活度和面对新生事物的能力 ”[/color]

呵呵，说得有理，一份好的试卷，应是旧瓶和新酒的完美组合体。正所谓：

[size=5][b][color=Red]海日生残夜，江春入旧年[/color][/b][/size]

不在旧有的题目上多加琢磨，新题也就会失掉凭据。

有了继承，才能有所创新。.

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2007-12-6 09:17 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2301517&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
正版的很难买到了，找了本盗版的看看，很多精彩的东西，以前竟然没有听说过。[em03] [/quote]

数学书也有盗版？？？.

不宜过分传播盗版，可以短信交流。[em07].

据说鲁迅在一部画册的版权页上写下了如下两句：

[color=Red][size=5][b]欢迎翻印，功德无量。[/b][/size][/color]

为了文化传播，盗版一定程度也许是好事，呵呵.

动物世界颠倒歌

由吴康兄原创，由李矗、吴康、袁伟忠、林全钦四人通力合作修改，一幅活龙活现的动物世界颠倒图景新鲜面世了：

[color=Magenta]田鼠爱上大老猫 海豹摘桃踩高跷
公鸡潜水生蛋糕 牦牛飞翔到赤道
蟒蛇长脚鲸长毛 大象抿嘴兔吹箫
袋鼠吃肉狼吃草 乌龟哭闹老雕笑
蝙蝠白昼满街跑 狮子当了和事佬 [/color]

动物世界颠倒若此，人的世界恐亦相去不远了：

[color=Red]傻子偷乞丐钱包，被瞎子看见。哑巴大叫一声，把聋子吓了一跳。罗锅挺身而出，瘸子拔脚就追。麻子说：看我面子算了吧！疯子说：大家要理智些。 [/color]
曾景光评：

[color=MediumTurquoise]古人有公鸡下蛋，女人生须之说，看来非谬。今人老糠沉水，大石浮头亦确有其实。天地阴阳，有时也是玄机与虚幻了。 [/color]

真乃：

[color=DarkOrchid]谁谓无情不可夫 吾意有奶便是娘 [/color]

--------------------------------------------------------------------------------

附吴兄“颠倒歌”旧稿：

[color=Pink]老猫报告海豹咆哮，牦牛用角钓了马鲛。象牙作刀蛇鞭掌勺，龟兔吹箫吃夜宵。袋鼠煎炒斑马烧烤，羚羊偏要做红烧。金雕悄悄咬，鸸鹋大口刁，山猪还要下辣椒。狒狒飞高乐陶陶，老鼠大笑妙妙妙，当心别碰掉鲸毛！鸭啼鹅叫好热闹！惹恼懒猴横竖跳，蝙蝠控告撒腿跑：再吵我用脚上吊！[/color].

在95年之前有很多好书，现在书虽多，好书难匿。八十年代上海教育出版社和上海科技教育出版社出了不少数学方面的好书，写书的人水平高且负责。.

访问深圳邦德学校

深圳市邦德创新思维训练中心创建于2001年12月，目前已有学生两万人，教职员工数百人。创始人为黄邦德兄，一位年青有为的创业人。

近日老封受邀前去位于深圳市的邦德文化发展有限公司参观访问，并在杨学枝校长的陪同下，与邦德学校的百余名青年教师作了一次平面几何教研交流活动。

邦德的格言是：

[color=Red]是谁，把自己的全部精力，奉献于孩子的未来，成就学生；
是谁，把自己的青春年华，奉献于邦德的明天，成就邦德；
是谁，把自己的理想抱负，奉献于教育的发展，成就梦想；
是谁，把自己的美好人生，奉献于祖国的辉煌，兴邦明德；
成就学生，成就邦德，成就梦想，兴邦明德，鹏程展翅，一飞冲天。[/color]

下图是邦德和吴康两位仁兄在为学生颁奖:

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-12-12 01:57 编辑 [/i]].

短信寄哀思

12月17日，一个应该被记住的日子。

晚上近7点，收到单教授发来的消息：“[b][size=6]严镇军昨晚因脑癌在家中去世 享年70[/size][/b]”

中国数奥界一位大师级人物，慈祥可亲的严长辈，就这样过早地离去了！凭借短信，大家寄托着各自的一份哀思。

苏州大学余红兵：追悼会定于周五举行。愿他安息。 想说的话很多，但现在一句也说不出

华南师范大学吴康：我已从单老师来信获知。深感悲痛！

桥牌冠军周晓东：太不幸，年纪还不大。

深圳中学张承宇：哦，他在长沙过世吗？

深圳高级中学冯跃峰：深表哀悼！愿他在天之灵永享仙境！

嘉兴一中吕峰波：太可惜了！我们最后一次请他上课是在96年。

广州大学吴伟朝：可惜，又少了一位奥数前辈和名家。大家都要保重身体，少讲课，多休闲，健康第一。

上海大学冷岗松：严老师是奥数界的大师，深表哀悼！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-12-19 09:42 编辑 [/i]].

我想买一本“数学思想方法”，哪位能够提供信息?.

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-12-19 09:33 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2347402&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
12月17日，一个应该被记住的日子。

晚上近7点，收到单教授发来的消息：“严镇军昨晚因脑癌在家中去世 享年70”

中国数奥界一位大师级人物，慈祥可亲的严长辈，就这样过早地离去了！凭借短信，大家寄托着各自的 ... [/quote]

二十年前的学生表示沉痛哀悼。。。.

[quote]
二十年前的学生表示沉痛哀悼。。。 [/quote]

哦，是中科大的毕业的？.

严镇军教授

严镇军.

我们看着他的书成长着。.

回复 287#老封 的帖子

不是数学系的。。。

[[i] 本帖最后由 zhenai 于 2007-12-19 15:02 编辑 [/i]].

:'( 收藏了他的不少书籍，唉。.

单墫教授连夜赶写专文，今晨用E-mail传来：

[b][size=6]我所认识的严镇军教授[/size][/b]

         [size=5]一   短跑健将[/size]

    严镇军教授(1937.11.20—2007.12.17)，在武汉大学读书时，是短跑运动员。他的身体一直很好。在科大工作几十年，从未请过病假。

        [size=5]二   坚守岗位[/size]

    严教授1959年大学毕业后，即到中国科学技术大学担任教学工作。这几十年，有人当官，有人下海经商。严教授从不见异思迁，几十年如一日，坚守在教学一线。正如科大讣告所说

    “工作勤勤恳恳，认真负责。30多年来，他为数学教材建设和青少年的培养呕心沥血，作出了突出贡献。……。由于他的突出表现，严镇军教授多次受到了国家教委、省教委和学校的表扬和奖励。1992年11月获得张宗植特别奖，1997年9月获得王宽城育才奖。”

       [size=5]三  桃李满天下[/size]

    严教授热心数学普及与数学竞赛。他长期担任安徽省数学会的副理事长，又是国家级数学竞赛教练。1986年我国第一次派出6人代表队参加国际数学奥林匹克，严教授就是教练之一。这第一届的集训资料由胡大同老师和严教授汇编成书，产生很大影响。1992年在莫斯科举行的33届国际数学奥林匹克，他率领中国队取得团体第一，6名队员全部获得金牌。

    每年假期，严教授特别忙。他应邀到各处讲学。北到黑、辽、吉、陕、甘、宁，南到川、黔、粤、桂、琼，更不必说中间的苏、浙、皖、沪、湘、鄂、赣了。他经常一个假期南北往返数次，我戏称他“南征北战”。严教授不畏酷暑严寒，不辞辛劳，风尘仆仆。连续作战（有时中午刚到，下午就上课）。听课人次累计在百万以上。真正桃李满天下。

        [size=5]四  认真[/size]

    严教授上课特别认真。讲稿一定事先准备好，题目一定自己演算一遍。虽然他爱喝酒，但若下午有课，中午一定谢绝东道主的敬酒。

        [size=5]五   勤勉谦和[/size]

    严教授资历很老。但从不以老前辈自居，更不装做无所不知。他非常勤勉。见到好的题目就要做一做。见到好的解法就要记下来。有空时，他也会听别人的讲座，和学生一道做题。他虚怀若谷，不耻下问。有的题目做不出，他就说：“有个问题，请教一下。”

        [size=5]六  纯朴[/size]

    严教授是著名大学的著名教授，可穿着极其朴素，自奉甚俭，又没有架子，看上去如同一位老农民。他抽烟，不讲究牌子，有烟就抽。他爱喝酒，量不算大，而酒德甚好。宁愿喝醉，决不使诈。他嗜好下围棋。下班后就在系里大杀。输赢在所不计。胜固可喜，败亦欣然。他爱看武侠小说。为人亦有几分侠气。常说：“我怕谁？我可不会去拍裘千丈（金庸笔下的反面人物）的马屁”。

        [size=5]七  大度[/size]

    严教授度量大。大家都爱和他开玩笑。他有些重听，大家喊他聋公或老聋，他也不以为忤。文化大革命中，一度抓“反军一小撮”，到处排查，空气十分紧张。有人拿严公的名字打趣，在纸条上写了：“现在竟然有人取名镇军，而且还姓严。这不是冲着我们来的吗？据说他还写了一本小册子，叫什么《从反面看问题》。这个人要好好查一查”。严公看了，付之一笑，毫不生气。

        [size=5]八  老骥伏枥[/size]

    严教授退休后，仍坚持在各处讲学。曾一度担任深圳高级中学的顾问。在这里指导教学，成绩显著。他指导的唐皇同学（女）被选入国家集训队，是这所学校进入集训队的第一人。

        [size=5]九   著作等身[/size]

    严教授著作甚多。他编写的《复变函数》、《数学物理方程》等教材受到广泛的好评，并被许多高校采用。他独著、合著、主编了十多本中学生课外读物，总计100多万字，受到大家的欢迎。如《从反面看问题》、《从正五边形谈起》、《从勾股定理谈起》、《反射和反演》等都是可以传世的作品。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-12-20 09:17 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2007-12-20 09:11 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2351989&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
我所认识的严镇军教授

       六  纯朴

    严教授是著名大学的著名教授，可穿着极其朴素，自奉甚俭，又没有架子，看上去如同一位老农民。他抽烟，不讲究牌子，有烟就抽。
... [/quote]

当年一同学是其第一届国家集训队的弟子，课间的时候曾一起给严教授递烟聊天。他抽烟不讲牌子，穿着简朴，没有架子。。。.

重温了一下严镇军教授的《反射与反演》，大家作品的确不凡，精练、经典但并不繁杂。
这样的题材，换个现在“中师”来写，估计篇幅巨大，售价低于40元很难。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2007-12-20 11:30 编辑 [/i]].

我也来追忆严公

记得很清晰，第一次见到严公是1988年5月。当时刚进社工作，受嘉兴一中曹鸿德老师之邀，前去参与《初中数学竞赛指导》一书的组稿讨论会。严老师戴着一顶标志性的鸭舌帽，亲自到嘉兴火车站来接出版社人员。正如单老文中所说，他的模样，一点没有大教授的架子。一起来到住处后，脱下帽子，才发觉他顶部头发有些稀疏，似比实际年龄稍大一些。

第二次见面，是同年8月，地点是安徽合肥中国科技大学，他的家中。住处没怎么装潢过，十分朴素。

“我把单墫和余红兵一起叫下来吧。”他说。他们住在同一幢楼。于是，又有两位大人物出现在面前。

早在1982年，就在上海科学会堂听过单教授的课，不过能面对面与单老师交谈上，那可还是第一次。余红兵那时还住在单老师的宿舍里，对于出版社的来客他略显有些拘谨。单老问起在上海能否买到岳麓书社出版的《胡适序跋集》。回沪后我还收到了他的一封来信，把书名写在其中。

第三次见到严公，又是在合肥，89年初中国科大举办的全国数学冬令营上（也就是那次冬令营上，首次见到了熊斌。两个上海人在合肥才相识，倒是件有趣的事）。

1990年北京举办31届IMO，又有缘与严公再次相见。

两年后，严公作为主教练，率队参加国际数学奥林匹克，获得团体总分第一的好成绩。那年，我托舒五昌教授递交了一个平面几何题给IMO命题组：

“已知四边形ABCD的对角线互相垂直，以四边向形外作正方形ABR2S1，BCS2P1，CDP2Q1，DAQ2R1。分别联结直线AP1，BQ1，CR1，DS1，交出四边形E1F1G1H1；分别联结直线AP2，BQ2，CR2，DS2，交出四边形E2F2G2H2。求证：四边形E1F1G1H1≌四边形E2F2G2H2。”
结果这个题因难度的原因未被列选。.

回国后，严老曾拉着我的手，告诉说：这题挺不错的，不仅初选进了预选，复选又成了备选题，最后差一步还被列为正式赛题。只是定题的当天晚上，才因俄罗斯领队的反对而被临时撤换掉了。然后严老还询问了几句关于这题解法中的细节。他对细节也从不放松，真是一个认真而又细致的人。

在这位长者面前，人们一点不感觉到他的严，反倒觉得像和亲人拉家常似的。从外形看，有时会觉得他土，但穿上呢风衣后，立即显出一身教授的风度。憨笑起来，露出一颗镶金的牙齿，甚至还略带一点羞涩。说话时，他会用手做出话筒的姿势，凑近别人耳朵，放低声音，让人觉得特别亲切。

作为出版社人员，常向他提出这样那样的要求，他总满口应承，是个最好说话的人。96年时，《初中数学竞赛指导》一书再版时，曾想增补90年后的各届全国初中数学联赛的试题，与他商量后，他说好办，就由他亲自操办。没过多久，一份字体工整的手写稿寄到了出版社，就连图都是用尺规精确作出的。当年7月这书的修订版推出，封面由灰黑色变成了紫红色，其实内容就增加了严老师增补的这一部分。

最近这十来年，没机会和他再次相聚。听说他退休后又到深圳发展。不过几次去深圳，也没缘遇到，没想到却永远没有了机会！

安息吧，严公。.

严镇军教授追思会今举行

中国科学技术大学理学院数学系严镇军教授，因病治疗无效，于2007年12月17日21时10分不幸于合肥逝世，享年70岁。
严镇军教授1937年11月20日出生于湖南省长沙市暮云县。1959年9月毕业于武汉大学，同年被分配到中国科学技术大学数学系任教。1981年11月晋升为副教授，1992年10月晋升为教授。 曾担任中学生奥林匹克数学竞赛中国队领队及教练。
严镇军教授热爱祖国，忠于党的教育事业。工作勤勤恳恳，认真负责。30多年来，他为数学教材建设和数学界青少年的培养呕心沥血，作出了突出贡献。他编写的《复变函数》和《数学物理方程》等教材受到了广泛好评，并被许多高校采用。他独编、合编、主编了13本中学生课外读物，总计达100多万字，受到了广大中学生的欢迎。在1992年于莫斯科举行的第33届国际中学生数学奥林匹克竞赛中，他率领中国队，取得了团体总分第一名的优异成绩，6名队员全部获得金牌。
由于他的突出表现，严镇军教授多次受到了国家教委、省教委和学校的表扬和奖励。1992年11月获得张宗植特别奖，1997年9月获得王宽城育才奖。
严镇军教授的不幸病逝，使我们失去了一位好老师、好同志，是我们学校的一个重大损失。
安息吧！严镇军教授！
中国科学技术大学理学院
中国科学技术大学数学系
中国科学技术大学离退休干部工作办公室
2007年12月18日
严镇军教授的遗体告别仪式定于2007年12月21日（周五）上午10∶00在合肥殡仪馆2号厅举行。参加告别仪式的同志请于12月21日上午9∶30在科大东区教一楼北门前上车前往。
给严镇军教授送花圈的亲朋好友，请与中国科学技术大学离退休干部工作办公室（电话：3602602）或数学系（电话：3601002）联系。.

与严镇军教授有过两面之缘。中学时听过严镇军教授的一次课，通俗易懂。后来又见过一次，很有意思的一个人，没有架子，很容易亲近。我买过唯一的一本竞赛书就是严镇军教授主编的第一届数学奥林匹克国家集训队资料选编，受益非浅。.

书

书.

书.

书.

江泽民与一道几何题

特区青年报（[url]http://www.dahuawang.com/tqqn/20010615/gb/tqqn[/url]^73^^Ta005.htm）



广州大学教授、中国科学院院士张景中最新著作中有一个机器证明几何定理的题目，引起江总书记的浓厚兴趣。2000年10月18日，江总书记亲自打电话向张景中院士询问，并关切地问及张院士的生活和工作经历。



[b][size=5]有趣的几何题[/size][/b]

如果你随手画一个五角星（不一定是正五角星），再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆，这五个圆除了在五角星上的那五个交点外，在五角星外面还有另五个交点。有趣的是，不管五角星是什么样，后五个交点一定在同一个圆上。这就是五圆定理。

现任广州大学计算机教育软件研究所所长的张景中院士，是我国著名的计算机科学家、数学家和教育家。他对解这道几何题有独特的思路。

张景中1959年毕业于北京大学数学系。1995年获中国科学院自然科学奖一等奖，并当选为中国科学院院士；1997年获国家自然科学奖二等奖，同年当选为中共十五大代表。1998年被评为全国优秀教师，同年获全国“五一”劳动奖章。他还是一位优秀的科普作家，被中国科普作家协会评定为建国以来有突出贡献的科普作家，1999年被推选为中国科普作家协会理事长。

张院士创作的科普作品已经出版的超过200万字，多次在国家级评选中获奖。他的最新科普著作《计算机怎样解几何题》是大型科普系列读物《院士科普书系》第一批出版的作品，出版之后短短时间，读者反映非常热烈。在此书的第87页上，张院士论述了计算机解“五点共圆”。



[b][size=5]总书记来电话[/size][/b]

2000年10月18日，对张景中来说，是一个平常的日子。晚饭后散步归来，他和往日一样开始了自己的工作，聚精会神地审阅一篇博士生的论文。

这时，家里的电话响了，电话那端传来十分亲切和蔼的声音：“您好！您是张景中教授吗？”

“是的，我是，”

“我是江泽民。”张景中简直不敢相信自己的耳朵。可是，他还是听出来了，这确实是江总书记那熟悉的声音。

“您好，江总书记！”事先不知道江总书记要来电话的张院士夫人，惊喜地记下了当时的时间：21时19分。

“院士科普丛书里有本《计算机怎样解几何题》，是您写的吧？”

“是我写的。我很高兴您给丛书写了序言呢。”

就这样，总书记从为《院士科普书系》作序谈起，说到书系中由张景中院士撰写的《计算机怎样解几何题》一书，又谈到张院士的经历和现在所从事的智能教育软件的研究开发工作。总书记对各个问题均表示了极大的关心。接着，两人又在电话里一起研讨计算机解几何题的有关问题。总书记对机器定理证明所表示出的浓厚兴趣和他在几何方面的造诣，给张院士留下深刻的印象。

江总书记对张景中院士说，“你那本《计算机怎样解几何题》，因为我写的序，我这里也有。有时间看看，也是一种很好的休息。我也是一个几何爱好者呢。我教过几何，不过是职业学校的，不是普通中学。那本书里有些我不明白的想请教你。”

“谢谢您看我的书。什么问题呢？”

江总书记说，书里有这么个问题，关于一个一般的五角星的问题，不是我们国旗上的那种正五角星，是一般的，五个角大小不一定相同的五角星。五个角，是五个三角形。在每个三角形上作一个圆，外接圆，一共是五个圆。相邻的两个圆本来有一个交点，还会有一个新的交点。要证明的是：这五个新的交点共圆。你的书上说用计算机解决了这个题。计算机得到的信息数目，每种信息都有两个数字，一个较小，后面括弧里还有一个比较大的数，是什么意思？

“较小的是压缩了的信息数目，括弧里较大的数是展开了的信息数目。比如五点共圆，这是一条压缩了的信息。因为几何里通常讲的是四点共圆，一条五点共圆信息，包含了五条四点共圆信息，展开了就成为五条了。又如三条线段长度相等。a＝b＝c，是一条信息。展开了写成a＝b、b＝c和a＝c，就是三条了。”

江总书记问：这个题目，要证明五个共点圆，不用计算机，人也能证明吧？”

“能证。用几何课本上的知识也能。只要证明其中四点共圆就可以了。”

“对的。因为三个点就能确定一个圆。我和陈省身，还有别的几位数学家谈到过这个题目。他们也说能证。你知道怎么证吗？”

“我想能证。我以前给数学奥林匹克选手讲过。可以回忆起。”

“你能不能写个证明给我看？我在休息时喜欢想点几何问题，这是一种很好的休息。你估计多久能写给我？”

“我想明天下午5点前能写好。因为上午约好了的有个采访。”

“好，你不用搞得很工整，普通的手写就行。”

“那好，我就用手写，不打印了。”

“谢谢，再见。”

“也谢谢您，再见。”

10月19日，张景中院士将他为“五点共圆定理”所做的一个证明，连同他写给江总书记的一封短信，交给有关部门，请他们转交给江总书记。



[b][size=5]院士多年的心血[/size][/b]

江总书记是在看了《计算机怎样解几何题》一书后，给张景中院士打电话的。张院士的这本书是作为“院士科普书系”之一，由暨南大学出版社、清华大学出版社联合出版。谈起这套书的出版，暨南大学出版社副总编辑周继武至今还很激动。他说，《院士科普书系》是1998年春由科学时报社（当时叫中国科学报社）提出创意，暨南大学出版社和清华大学出版社积极筹划，会同中国科学院学部联合办公室和中国工程院学部工作部，共同发起的重大科普工程。此书系的编委会名誉主任是周光召、宋健、朱光亚，编委会主任是路甬祥，中国科学院与中国工程院各学部主任均为编委会委员。江总书记亲自为这一书系作序。

谈起张景中院士，广州大学副教授、张景中的助手黄勇博士，更是有说不完的话。黄博士说，题目多种多样，有大有小，有难有易。看起来简单的问题，用计算机做起来不一定简单。解几何要用计算机的许多基本功能，比如认识图形符号，进行加减乘除。人怎样教会机器作加减乘除，这里面大有文章。

黄勇说，张景中院士多年从事机器证明、距离几何、动力系统、教育数学等领域的研究，他提出了系统的面积解题方法，并用之于机器证明的研究，使几何定理可读证明的自动生成这个多年来进展甚小的难题得到突破。张院士及其合作者的这些成果，在同行中享有盛誉。

机器证明可读化研究的进展，导致这一基础研究领域的成果进入应用领域，并开始了产业化的进程。张景中院士自1996年以来，就致力于将机器证明的新成果用于智能教育软件的开发。

在他指导下，中国科学院成都计算机应用研究所自动推理实验室和广州大学计算机教育软件研究所协作攻关，推出了新型教育软件《数学实验室》，前不久又提出了“智能教育平台”的概念并成功地试验了大受数学教师欢迎的产品，张景中院士希望自己的工作能为中国教育信息化的伟大事业献出一份厚礼。

张院士在他论著的前言中说，有许多题目，人做起来往往要冥思苦想，绞尽脑汁，或反复多次试验，不胜其烦。而对计算机来说，却已经学会了解决的办法，做起来得心应手，快捷可靠。他说，几何学丰富多彩，直观有趣，能提供各种难度的例子。书中提出了多种有效的方法，体现了计算机解题的典型思路，有举一反三的好处。

张院士论述的在计算上用人工智能语言LISP来解几何题目，引起众多读者的兴趣，很多人都想自己动手在计算机上解几个题目玩玩。一时间，他的《计算机怎样解几何题》一书，也变得洛阳纸贵。他所在的广州大学计算机教育软件研究所，也常常是门庭若市，很多读者前来了解计算机解几何题的有关程序。



[b][size=5]情动粤港澳[/size][/b]

2000年12月20日，在澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动的国家主席江泽民，来到濠江中学。他即兴给同学们出了一道几何题：证明一个任意五角星的五个外接圆的相交点，都在同一个圆形上。江主席还亲自画图并写下题目。

题目一出来，就难住了大家。江总书记说，他还亲自向一位广东的专家请教过这一题目。

江总书记在濠江中学提出这道题目后，引起了广大师生的浓厚兴趣。很多人想当场知道答案，但总书记并没有给出。他说：“我把这道题出给濠江中学，是要说明：一个人要有钻研精神。”

他离开澳门后，以濠江中学数学老师、数学奥林匹克队教练杨万忍为首的4位老师，尝试用4种不同的思路解答这道题，并通过有关部门将答案交给了江总书记。香港方面也不示弱，大学时主修数学的一位知名人士（民建联主席曾钰成），在圣诞节当天拿出工具试图找出解答，最终还是在旧参考书中找出答案。香港中文大学毕业的著名数学家丘成桐也说：“连我都要先想半个小时才行。”香港科技大学数学系一位副教授说，三角几何能提供逻辑及观察力的训练，可锻炼出分析能力。不过，本港的数学教育注重运算，较少要求学生去处理这类几何难题，本港也只有少数大学生能解答江主席提出的这道几何题。香港喇沙中学的一位2000年会考十优生说，老师曾教授过这道题的基本理论，但他并未做过这道题的相关习作。

接到濠江中学老师的答案后，江总书记第二天即亲笔复信。信中说：“12月20日在濠江中学参观时，曾即席提出‘五点共圆’几何题一道。本拟回京后即寄去参考答案，由于事忙，未及函复。正拟回信时，接到经由中央驻澳联络办转来的信件及杨万忍等四位老师的证题手稿。对他们从不同思路得出解答，不胜欣慰。所寄《数学教学文选》一书，亦已收到，顺致谢意。随信附上原欲寄去的解答，请参阅。祝你们学校在新世纪中取得更大进步，为祖国，为澳门培养出更多的优秀人才。顺祝全校师生新年快乐！”

2000年12月31日晚，在澳门61个青年团体举行的世纪之交文艺晚会上，澳门中华教育会理事长黄枫桦宣读了刚刚收到的这封信。全场响起雷鸣般的掌声。

“江主席的信是我们收到的最好的新年礼物！”濠江中学师生为此惊喜万分。濠江中学校长尤端阳表示：“我们一定不辜负江主席对我们学校的殷切希望。”

江总书记的参考答案被港澳报纸登出来后，引起了轰动。张景中院士感慨地说：“总书记给出的答案十分简洁，看得出他看了我的书面答复后，又进行了一番钻研。”

张院士告诉记者，总书记关心的机器证明可读化问题十分前沿，现在已进入产业化进程。他本人自1996年以来，就致力于将机器证明的新成果用于智能教育软件的开发。

他还感动地说，总书记十分关心科普工作，亲自为正在陆续出版的《院士科普书系》写序，提出“科教兴国，全社会都要参与，科学家和教育家更应奋勇当先，在全社会带头弘扬科学精神，传播科学思想，倡导科学方法，普及科学知识”，这对参加写作的170多位院士是一个极大的鼓舞。据说，总书记还多次在其他场合讲过这套书，希望大家都来看一看。



[b][size=5]可贵的钻研精神[/size][/b]

今年1月，这道由江总书记出的特殊数学试题，见诸报端后，在全国各地引起很多人的兴趣。4月26日，记者再次来到位于广州桂花岗的广州大学计算机教育软件研究所，想再听听张景中院士谈谈由这道“五点共圆”几何题引出的一个个故事。

张院士去开会了。但是，软件所的同志人人都熟悉这道“五点共圆”题。软件所党支部副书记张志青副教授，收集了不少有关江总书记求证这道题的报道。他对记者说，为了满足各界人士的需要，他们还将张景中院士个人简介，江总书记致电张景中院士的有关情况，在网上作了介绍。广州市理达信息科技咨询中心副总经理陈海玲说，全国各地有很多人来电话来信询问张景中院士，并要订阅张院士所著的《计算机怎样解几何题》这本书。她已为不少人复印有关材料。此外，由张景中院士策划指导、由澳门东方科技（集团）有限公司出资开发，即将由人民教育电子音像出版社出版的“Z＋Z教育软件平台系列软件”之一的《平面几何》，也将可以给出“五点共圆”的机器证明。记者在软件所办公室遇到前来联系工作的大连理工大学多媒体中心的一位教授，这位两鬓斑白的老教授，听说这道“五点共圆”的几何题后，即要了一本张院士的书。中午吃饭时又掏出笔记本，将图形画了出来。给张景中院士当助手的黄勇博士，更是忙得不可开交，他每天都要为张院士处理相关的事务。

江总书记说过，我把这道题出给濠江中学，是要说明：一个人总要有钻研精神。自《武汉晚报》刊登此题并向读者征求答案后，截至今年4月4日，编辑部共收到有效答案216份，答题者既有正在刻苦攻读的中学生，也有风华正茂的中青年教师，还有离退休老工人、老干部、老专家等。其中年龄最大的69岁，最小的只有13岁。那些尚未听说过计算机可以解几何题，可以证明几何定理并发现新的定理的人们，有的按照张院士的定理，自己动手在计算机上解几个题目玩，有的则动笔求证。人们在钻研这道题的同时，从中得到了智慧和乐趣。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2007-12-26 15:16 编辑 [/i]].

一道源自课堂的新编几何题

已知：△ABC中，D是BC边的中点，自D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，M是EF联线的中点。求证：DM ≤ R / 2，其中R为△ABC 外接圆的半径；等号当仅且当∠A＝90°时成立。

(图一)

证明：延长ED至G，使DG＝ED，联结CG、FG。

(图二)

一方面，在△EFG中，DM是中位线，故DM＝FG / 2 。 ①

另一方面，由△CGD≌Rt△BED，知∠CGD＝90°，由此表明FG是CD为直径的圆上的一条弦，因此，FG≤CD＝BC / 2。 ②

而在△ABC中，同样，BC是以2R为直径的外接圆的弦，因此，BC≤2R。 ③

综合①、②、③，即知结论成立。且等号成立仅当CFDG为矩形且BC成为直径时，而当∠A＝90°时两者皆能满足。

以上这题及其证法都来自于上海进化中学的蒋辰光同学：靠课堂上用几何画板做的一次有趣实验，发现了这一结论；回家苦思冥想后，又找到了上面的证法。

作为一名初二的学生，在课余的学习中，能独立发现结论，并由自己给出如此的好证明，真是可喜可贺！.

进华中学吧，不是进化中学。
：）.

回复 304#老猫 的帖子

这事只有进化能做，:D.

呵呵，笔误.

2008年北京大学自主招生数学试题

2008年北京大学自主招生数学试题
1．        求证：边长为1的正五边形对角线长为
2．        已知六边形


3．已知 ,
.求证：
4． 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支  南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
5．（理科）xyzo坐标系内 xoy平面系内 绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆c 被光照到的长度为2  求c上未被照到的长度
摘自《奥数之家》感谢成俊锋提供..

是公式编辑器格式的，转不过来。.

4.
北方球队最高得分球队得11分，低于南方球队的平均分。。。.

回复 307#老封 的帖子

1.  (更号5+1)/2.

贴图

贴图

[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2008-1-3 10:34 编辑 [/i]].

08年中科大一道保送生面试题

平面上有n个点，怎样作一个最小的圆，使其包括所有的点.

2008年北京大学自主招生数学试题的第2题

这是2008年北京大学自主招生数学试题的第2题：

“  已知六边形AC[1]BA[1]CB[1]中，AC[1]＝AB[1]，BC[1]＝BA[1]，CA[1]＝CB[1]，且∠A＋∠B＋∠C＝∠A[1]＋∠B[1]＋∠C[1]。求证：△ABC的面积是六边形AC[1]BA[1]CB[1]面积的一半。”

精确图可这么作：先在任意△A[1]B[1]C[1]周围作三个彼此相似的三角形——△DC[1]B[1]∽△C[1]EA[1]∽△B[1]A[1]F，然后取这三者的外心，即可得题中的A、B、C三点。

原题的证法如下：
先作△PA[1]B≌△AC[1]B，然后联结PC。根据已知条件可知∠A[1]＋∠B[1]＋∠C[1] ＝360°，因此∠ PA[1] C ＝360°－∠A[1] －∠PA[1]B ＝360°－∠A[1] －∠C[1]＝∠B[1]，由此可得△PA[1]C≌△AB[1]C（SAS）。

然后，可知△PBC≌△ABC（SSS）。而六边形AC[1]BA[1]CB[1]的面积等于△PBC与△ABC之和，因此也就等于△ABC的两倍。证毕。

这是江苏时代数学学习报的巫平兄传来的题，要我给出简单证明。这题的实质是一种所谓的“完美六边形”，我在很多年前写过一篇专文。湖南岳阳萧振纲兄对此亦心得颇多，我们曾交流过。武汉王方汉（大罕）先生曾建议将这种六边形命名为“三相似六边形”。

关于这种六边形，迄今所得到最漂亮的结论属于北大数学系的黄利兵同学，他大约在2000年得到如下结论：

[size=5][font=黑体][b]“平面上的三组点所确定的分式线性变换成为‘对合’的充要条件，便是这三组点恰好是一个‘完美六边形’的三组相对顶点。”[/b][/font][/size]
注：所谓“对合”，便是指变换的周期为2。

黄利兵毕业于湖北黄冈中学，曾进入1999年北大那届冬令营，后来免试直升入北大的数学系。他中学时及大学三年级前曾与我有过颇多的通信，这几年失去了联系。从网上查他好像还在北大念博士。

不久前遇到深圳中学余祖良老师（以前是黄冈中学的），还谈及了黄利兵，说他很有才华，常常迷恋于几何。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-1-9 17:37 编辑 [/i]].

田兄的绝活

田兄，又称葛之，1972年11月出生，早年习画，小有成就。是位几何解题高手，写过《面积与面积方法》、《三角与几何》两书（“数学奥林匹克小丛书”，华东师范大学出版社）。

去年11月28日，我在东方论坛（forum.cnool.net）的数学板块中挂出了一条帖“一个坚硬的猜测，老封给予悬赏！” （[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3899898&oldpage=2&thesisid=494&flag=topic1[/url]）
当天又发了另一相关的帖“一条更加深刻的猜测，也许容易对付些”（[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3900795&oldpage=3&thesisid=494&flag=topic1[/url]）。

里边介绍了因探索一个图形而引发的一些有趣结论。加工后最终归结为如下核心命题：

“设四边形ABCD中，对边AB、DC延长交于P，对边AD、BC延长交于Q点，对角线交点R关于AB、CD的对称点R'、R''的联线交直线PQ于S点。求证：∠PRS＝90°。”
（07112801.gsp）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-1-9 23:21 编辑 [/i]].

当时，我还曾宣布，会奖励第一位解答者新版的《现代世界中的数学》（价值83元）一册。

自在东方论坛和旺旺网挂出后，除安徽唐传发老师数次来电讨论，并给出一种以计算为主的解法外，迄今还未获其它方面的反馈。

大约两三周前的一个中午，葛之来到了我的办公室中。我问他是否想过这题，他说看到了但还没想。然后他要我腾出一张空桌子给他，说当场就来试试看。隔了大约半个小时，他笑着告诉我：问题已经不那么坚硬了……

果然，他找到了攻击问题的一条绝好的思路：

如下图（08010901.gsp），RR′及RR″的中点E和F分别是R点在直线AB、CD上的射影，它们都落在以PR为直径的圆上。于是，他认为可把R′、R″两点从图中去掉，而改为证：EF联线经过线段RS的中点M，其中RS是过R所作的PR垂线（这里有一些同一法的思想），其实RS也就是该圆在R点处的切线。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-1-9 23:11 编辑 [/i]].

然后，他改换了观察的立足点，认为原四边形并不是图中的关键，而可以从圆出发来构造：

先作出以PR为直径的圆，再在圆上任取两点E和F，也就是说将AB、CD所在直线先确定下来，然后过R任作两条交叉线段AC和BD夹在这两条直线间，就可获得原题中的四边形ABCD。然后再作出另一组对边BC和AD的交点Q；  而根据完全四边形的调和性可知：P—[E，F；R，Q]是调和线束，换言之， PQ其实是固定直线，因之它与过R切线之交点S也就是定点！.

于是问题可改述为：

“如下图，设C是以AB为直径的圆过B切线上任一点，P、Q是线段CB的调和分点，AP、AQ分别交圆于E、F，而D是CB的中点。求证：D、E、F三点共线。”.

考虑到调和点列中一组点偶的中点，实可作为反演中点（注：即上图中，成立DB^2 ＝DP×DQ），问题又可改述为：

“设A、B是⊙O的一对反演点，射线OAB交⊙O于C，在过C的切线上任取一点D，自C作CE⊥DA于E，作CF⊥DB于F。求证：O、E、F三点共线。”.

而这已成了一个低糼级的几何题了。至此一块坚石已彻底瓦解。

为了表彰他的机智灵活，老封当场就决定奖励葛之《现代世界中的数学》一册，并于当天吃午饭时颁发给了他；另一册奖给辅助线大王唐传发的，也将于近日寄出。

祝贺这两位解题高手！.

田兄是解题高手，高手，高高手。.

以前听好几位朋友说过田兄强悍，但是一直没有机会欣赏到田兄的解题丰采。
今天通过老封老师的这道题，开眼了！[em03].

嘿嘿，俺是看了20年了。
从他普通的强悍，看到了非常强悍。.

给一种证明

如下.

单教授的幽黙作品

[b][size=6]致查良镛先生的一封公开信[/size][/b]

[font=楷体_GB2312]by韦小宝[/font]

渣大侠父亲大人膝下：
        首先请允许我这样称呼您。我母亲韦春芳女士不知道她和哪个人生下了我。但我凭着深厚的无产阶级感情，知道这个人一定是您。上帝创造了哑铃铛，您金庸创造了韦小宝，这是铁证如三的事实，谁想否认也否认不了的。“没有您金庸就没有我韦小宝”，“天大地大不如您的恩情大，河深海深不如您的恩情深”。让我们千遍欢呼，万遍歌唱：“金（渣）大侠万岁，万岁，万万岁！祝您老人家万兽无江，万兽无江，万兽无江！”
        可是，最近您患了老年痴呆症，经常胡说八道。对我进行人身攻击，骂我是“小流氓”，“坏人”。油有渗者，竟要将我的七个老婆一齐拆散，占为己有，真是“屎可忍尿不可忍”。我们无产阶级听了人人义愤填阴，那个都气炸了。
        韦小宝是个好人，不是流氓。
我对皇帝忠，对朋友义，对百姓仁（台湾老百姓专门建了韦小宝纪念堂，听说混蛋的阿扁要把它改成什么民主广场），对老婆和儿女爱。忠义仁爱齐全，有什么不好？
        您老人家呢？左派称你豺狼，右派叫你走狗。你标榜不问政治，其实是“曲线从政”，终于混上了一个什么基本草纸委员，可是不久又被人家撸掉了。您是万恶的资本家，残酷剥削明报员工。您家财万罐，金子多得象围棋子。可出过一分钱救济穷人吗？您本来还有点头脑，知道反对独霸武林，现在却糊涂到个人崇拜，而且崇拜武大郎（崇拜美女潘金莲还有点道理），真正羞死人了！
        自古英雄多好色，我好色，所以我是英雄。您不也好色吗？只不过我七战七捷，您追夏天的梦却一场春梦。7：0 ！哈哈，您鸡肚我了。
我的七个老婆个个对我忠字当头，爱得死去活来。为我生了不管三七二十一个儿女。我们的结合是爱的必的结局，也是您老的精心安排。白纸黑字，铁证如三，海枯石烂，永结童心！她们历史性地选择了我韦小宝，就再也不会选择其他人。尤其不会是您这样的糟老头子。她们是您的儿媳妇，您可不能当唐明皇啊！
        据说您的功力已经超过了洪安通，岳不群，任我行，可上北京揽凤，可去湖广调鹰。又何必抢我的女人。
您可能又要摆出一副天王老子的面孔来训斥我，说我不孝。那么您是孝子吗？非也，非也。您的父亲被人杀了，您不报仇倒也罢了，竟然拍仇人的马屁。这就叫人不佩服了。我不佩服的三个人当中，您要算第一个。
        不过，毕竟我是您生的，嘴脸完全像您，惟妙惟笑，尽管您胡说，尽管您八道，我还是会尽孝的。我已经为您定好了水晶棺材，准备建造一所金壁辉煌的“金大侠纪念堂”。您就准备早点安息，睡水晶棺材吧（据全庸说这水晶棺材就是杨过与小龙女练功的白玉床改制的）。
此致那个

敬礼
不孝男韦小宝拜上

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-1-11 23:05 编辑 [/i]].

这是老封中学时代的绘画作品。曾贴在教室的黑板报上，呵呵。.

中国“数学冬令营”(单墫)

提高我国在IMO中的成绩, 严格选拔代表队的队员是十分重要的一环.

每年的全国高中联赛, 问题的难度低于IMO的试题. 因此, 必须再增加一个环节, 在全国联赛的基础上, 进行一次筛选.

1985年, 由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科学技术大学这四所大学倡议, 中国数学会决定每年1月份举办数学冬令营. 冬令营邀请各省(自治区)市在全国联赛中的优胜者70多人(每省市至少一名, 然后从高分起向下排)参加.

冬令营通常安排五、六天, 第一天是开幕式, 第二、三两天上午考试, 第四天听学术报告或旅游, 第五天宣布考试结果并发奖.

考试类似于IMO, 每次3题, 用4.5小时, 两天共考6题. 题目难度接近IMO, 高于全国联赛.

颁奖也与IMO类似, 分为一等奖、二等奖、三等奖三种. 分数最高的23名学生组成国家集训队, 从3月下旬起进行集中训练.

[b]摘自:[/b] [size=2]单墫,《数学竞赛史话》,广西教育出版社, 1992年6月第2版, 第79页. [/size]


第１届　1986年　天津市　南开大学

第２届　1987年　北京市　北京大学

第３届　1988年　上海市　复旦大学

第４届　1989年　合肥市　中国科技大学

第５届　1990年　郑州市　《中学生数理化》编辑部

第６届　1991年　武汉市　华中师范大学　从这届开始也称为“中国数学奥林匹克”　

第７届　1992年　北京市　北京数学奥林匹克发展中心

第８届　1993年　济南市　山东大学　　　　　　　

第９届　1994年　上海市　复旦大学　　　　　　

第10届　1995年　合肥市　中国科技大学　

第11届 1996年　天津市　南开大学　　

第12届 1997年　杭州市　浙江大学　

第13届 1998年　广州市　广州师范学院　　

第14届 1999年　北京市　北京大学　　　　　　

第15届 2000年　合肥市　中国科技大学　　　　

第16届 2001年　香　港　香港教育署　香港数学奥林匹克委员会　

第17届 2002年　上海市　上海中学　

第18届 2003年　长沙市　长沙一中　　

第19届 2004年　澳　门　澳门教育暨青年局　澳门数学奥林匹克委员会

第20届 2005年　郑州市　郑州外国语学校　《中学生数理化》杂志社　

第21届 2006年　福州市　福州一中

第22届 2007年　温州市　温州中学

第23届 2008年　哈尔滨　哈尔滨师大附中.

2008年cmo今天在哈尔滨开幕。

（请大家关注：[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4121852&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-1-18 12:27 编辑 [/i]].

昨天去逛书店，在一家卖旧书的小铺又见到一大堆翻译家李俍民生前的藏书。

去年，就听这家书铺说过，是他家清理过来的。那时我还买到过一本别人签名赠送给他的。

他的书大多不带签名印章什么的，不过昨天见到一本《李贺诗选注》，扉页上倒有 “俍民”两字。因这书我已有了（上面有钱仲联赠给刘大杰的题字），所以没考虑再买，呵呵。


李俍民（1919-1991），国内有影响的十大外国文学翻译家之一。浙江镇海人。1932年就读于宁波效实中学，曾主编校刊《效实中学》。抗战发生后，参加中共领导的地下工作。1942年奔赴淮北，入抗大四分校学习。抗战胜利后考入上海沪江大学英文系。建国后，历任上海少年儿童译文科编辑,上海译文出版社编译员，上海市人民政府参事室参事。主要译著有《牛虻》、《斯巴达克思》，另有俄国童话等。.

常博士炮轰中国数学教育

常博士，复旦数学系毕业，我的老同学，今天在“东方论坛”上发帖（[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4137650&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url]），评论中国当前数学教育改革形势。

常兄从西雅图网站转来一篇旧文，这篇文章批评的是美国的数学教育改革，几乎和中国的情况一样，课本改革得让家长觉得面目全然不是往日的数学了。所以他们在家教孩子传统的数学。

文中临近结束时引了Jack Lee教授的一段话，说传统与现代结合的中间路线或许是对的（哈哈，中庸之道）。这位华盛顿大学教授同时也是TOPS alternative school的家长。

他说，“保守派和改革派都应该做更重要的事性而不是互相攻击，我们把任何一方说成是百分之百正确都是不对的。这场讨论应该不是解决谁是谁非。”

文中所引的的传统数学例子是训练四则运算的习题。而改革后的数学是类似算式谜题的如：用四个7排一个算式使答案为35。

[color=Magenta][b]TRADITIONAL MATH [/b]
Simplify each expression.
1. 25 – 10 ÷ 5
2. 14 + 7 * 6
3. 50 ÷ 5 – 2
4. 32 ÷ 8÷ 4
5. (32 ÷ 8) ÷ 4
6. 32 ÷ (8 ÷ 4)

[b]REFORM MATH [/b]
Write an expression for each number using exactly four 7's and no other digits. You may use the following symbols as often as you wish:
+ - ( ) X ÷
1. __________________________ = 1
2. __________________________ = 3
3. __________________________ = 9
4. __________________________ = 10
5. __________________________ = 28
6. __________________________ = 35[/color]

中美数学教育改革的比较很有意思，美国人改革目标瞄准考试合格率，中国则是瞄准素质教育。这种现象好象双方都在朝对方学习看齐。但要警惕的是，我们学过了头，就会成了邯郸学步。

常博说：“美国人是因为数学赶不上中国而改革数学，中国则在盲目放弃原来的数学的系统性而学习美国。

数学是一个高度有序的系统，不能任意去跨年段地将知识切割重组拼接删除或无限引深。原文有一位家长说，如果继续这样糟蹋数学，我们只有选择别的学校了。

看来美国还有一个州与州的不同而我们的家长别无选择。中国大一统的数学教材的改革不是更该慎之又慎吗？”

[size=5][color=Red][b]注重基础，继承传统，传播文化，多读经典。[/b][/color][/size] ——这才是我国数学教育的出路所在！.

常博士的风采

参见[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4073457&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1[/url].

xinshijie5000说：

[color=SandyBrown]我感觉现在的新课改已经走到了死胡同。
某些专家、教授放着美国等国的前车之鉴视而不见，还在往死胡同里钻。

今天看了《教育研究前沿》第一辑的《数学新题型研究》，感觉所谓的新题型、开放题吹得很高，但问题多多。

一些做所谓课题的人，不顾基本常识，把自己的那点小把戏吹到了天上，例如有个人做了一个关于“分形走进数学课堂”的课题，结论是“分形无比重要，必须立即推广，进入高中正式教材”，这不是开玩笑吗？真的有那么重要吗？真的应该让每个学生都学吗？扯淡。

几十年近百年积累下来的经验真的不值一提？需要全盘推翻？
学生不做数学题就能学好数学？！ [/color]
老封说：

[color=SandyBrown]孔子早就说过：“行有余力，则以学文。”

让些行有余力的学生做些探索之旅，适当“开放”一下，不失为教育的补充手段。但问题在于，现在的教改家，几乎认定人人都是天才了，一方面说要减负，把教材简化得不成体统，另一方面却又将学生能力估量上了天，做法真是十分的矛盾。恰恰却把最重要的基础给忽略了。 [/color].

群论很重要，必须立刻推广，进入高中正式教材。.

xinshijie：读单墫老师的书 一点体会

最近每天睡觉前都读上大约一个小时单老师的书，包括《算两次》、《小花》、《解题研究》。
单老师的书和文章有他独特的文风，幽默风趣，最难得的是深入浅出，能把一个非常复杂的问题的本质一针见血地指出来。这一点在《解题研究》中尤其突出。值得指出的是，这是一本从根本上继承和发扬G.Polya的《怎样解题》思想的书。单老师在这本书里面没有板起面孔，但个人认为其内容之深刻和启迪意义远远大于一些以专著形式出现的讲述解题理论的大部头。
这本书最大的亮点就是集中展示了一个高手面对问题时其最初的思路是怎样的？单老师在这里面现身说法，提供了他解一些高难度题目的过程。这比起很多教程直接给出例题、解答并配以简单的说明要生动得多。同时，这里还破除了一个高难度题目玄之又玄，深不可测的迷信，使愚钝如我辈也斗胆敢去挑战一些看似高不可攀的题目。
可以说，单老师在这里给出了一个数学爱好者可以通过一个什么样的过程最终成为“解题高手”的内功心法。这可能是以往任何书中都未提及或语焉不详的。仅凭这一点，这本书的价值就远远大于目前人们对它的评价。

单老师还在书中提了很多遍　解题必须自然而然，他对很多文章中对一个题目非常勉强地给出上十种甚至数十种证法提出了异议。这恰恰也是我非常反感的。可以说，从高一层次来审视，很多题目的多种证法可能其本质内涵是同一的，并没有根本区别，只为凑数而已。

单老师还提出了一个观点，对当前数学教育界狂批题海战术提出了异议。当然这些异议只有德高望重如单老师才敢公开写在书上，我们虽然也有话想说，却没敢这么“明目张胆”，呵呵。可以说，本论坛的绝大多数人都经历过远远超过普通学生所谓的“题海”容量的锻炼。没有这一番题海畅游的经历，是不可能有解题时得心应手的感觉的，也永远不会到达更高的境界。.

一位中学生引发的几何发现

这是王曦写给我的第一封信：

[color=Sienna]叶老师：您好！
第一次给您写信，我不免有些紧张，正如站在高楼大厦下的渺小的感觉。在我的想像中，您是一位和蔼可亲的长辈。从您对几何题的精彩评述中，我感受到了数学的魄（魅）力，看到了您颇深的造诣。希望您能给我这个普通的平面几何爱好者以指导。

在我看过的几何书中，梁绍鸿先生所著的《初等数学复习与研究（平面几何）》给我留下的印象很深。但其中的习题大都较难，很多我都做不出，不知叶老师您有没有答案呢？是否能给我一份呢？

这儿我想请教叶老师一道题。在黄宣国教授所著的《数学奥林匹克大集1994》中P544例29：ABCD是圆内接四边形，BD＜AC，E为直线AB，CD的交点，F为直线BC，AD的交点，L，M分别是AC，BD的中点，求证：[/color].

[color=Sienna]黄宣国教授给出了一个比较复杂的向量解法，是否有简单一点的纯几何法或三角法呢？我想了许久，但始终没转化出左边部分。虽然我和我的同学对圆内接四边形的性质讨论了一个多月，得出许多优美的结果，如七点共线（远不止七点）、11圆共点等，但这些性质对此题似乎没用。由于期末考试临近，我不能用电脑了（好惨！），下次回信时我把已得到结果打印一份，请叶老师指点一下。另外这段时间我又被另几道平面几何题搅昏了头，还略有所得，下次一并请教。

快放假了，请叶老师百忙之中回信一封至570203海口市××××转王曦。
祝
春节愉快，兔年好运！
海南中学 王曦　　1999年1月23日。夜。
（海南省琼山市，邮编：571158。 海口中学 高二（1）班）[/color]


王曦也是位极富天赋的解题高手，后考入清华大学。2002年趁开国际数学大学之机，在北京还与他见过一面。后失去联系，现在想必已经毕业了吧。

这是他给出的一个极漂亮的结果：.

这个很强的结论我以前并不知道。从解析几何观点看，我相信它一定相当于三阶行列式的的某一展开式。但用纯几何法并不容易做的。

记得2000年前后，我曾找到一种证法，但没及时写下，后来再也回忆不起了。

2001年，因思考“五圆定理”（见于余应龙先生所译的《奇妙而有趣的几何》，［英］David Wells原著，上海教育出版社2006年5月出版），偶获涉及Euler线的一个有趣性质，后与广州大学吴伟朝兄合作，在《美国数学月刊》2002年第12期上发表：

[color=Red]“对于平面上的四条直线，若其中一条直线平行于另三条所围成三角形的Euler线，则每条直线都具有这一性质。” [/color]

从2004年11月《美国数学月刊》上发表的解答可知，这题实是重复了教育家、几何专家戈萨德（Harry Clinton Gossard，1884-1954）八十六年前的一个优美结果。.

据介绍， 1916年《美国数学学会通报》上，由他人记述了戈萨德所发现的关于三角形Euler线的一个有趣结论，但叙述似有些含糊不清（ambiguous）。这一所谓的Gossard's theorem 后还被写入了Cajori的《 A History of Mathematics》一书。

直到1998年，数学怪杰约翰•康威（John Conway）才指出问题所在，并阐释了戈萨德定理的确切意思：

[color=Red]“将三角形的Euler线与其每两边所成三角形的三条Euler线，组成三角形AgBgCg，与原三角形ABC全等，并且共享Euler线。事实上，戈萨德的三角形与原三角形关于一点成中心对称，所以我把这个点叫做戈萨德透视中心（the Gossard Perspector）。” [/color].

注：戈萨德透视中心作为三角形的特殊点，在Clark Kimberling的百科中排号第402：

X(402) = GOSSARD PERSPECTOR

Trilinears f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b), where
f(a,b,c) = p(a,b,c)y(a,b,c)/a, polynomials p and y as given below

Barycentrics g(a,b,c) : g(b,c,a) : g(c,a,b), where
g(a,b,c) = p(a,b,c)y(a,b,c), polynomials p and y as given below

In A History of Mathematics, Florian Cajori wrote, "H. C. Gossard of the University of Oklahoma showed in 1916 that the three Euler lines of the triangles formed by the Euler line and the sides, taken by twos, of a given triangle, form a triangle . . . perspective with the given triangle and having the same Euler line." Let ABC be the given triangle and A'B'C' the Gossard triangle - that is, the triangle perspective with the given triangle and having the same Euler line. The lines AA', BB', CC' concur in X(402), named the Gosssard perspector by John Conway (1998). Barycentrics for X(402) were received from Paul Yiu (2/20/99); the polynomials p and y referred to above are given as follows:

p(a,b,c) = 2a4 - a2b2 - a2c2 - (b2 - c2)2

y(a,b,c) = a8 - a6(b2 + c2) + a4(2b2 - c2)(2c2 - b2) + [(b2 - c2)2][3a2(b2 + c2) - b4 - c4 - 3b2c2]

X(402) lies on this line: 2,3（即为Euler线）

[b]数学怪杰John Conway: [/b].

[b]John Conway与马丁·加德纳在一起:[/b]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 16:25 编辑 [/i]].

[b]《稳操胜券》的三位作者：Richard Guy, John Conway, Elwyn Berlekamp [/b].

这段故事在蒋声先生《趣味解析几何》一书中（107页）中有生动描述。

不过蒋老师这里有一处写得不太准确：

[color=Red]“他的最初出发点，是1990年左右在湖南省长沙市开会时，同室的余应龙先生告诉他，余曾对1988年国家数学竞赛集训队的一道几何试题作了推广。由此引起叶的注意，在以后的十多年里断断续续进一步思考。” [/color]

其实，我那篇文章的标题是“三个几何问题思考”，蒋老师所说到的这是第一个问题“三圆定理”，与第二个问题“五圆定理”并没有关系。不过，所述及这次灰汤的会议，留下的印象确实颇深。同室者不止余先生一人，还有另一位，就是吴康兄，后来便成为了好友，呵呵。另外，记得同行还有晁洪（后成九章老板）、吴建平、唐大昌、陶晓永、叶军等人，一起游览张家界胜境。

戈萨德定理的实质，是揭示了三角形的Euler线方向的一种共轭属性：两次迭代回到原先的方向。因此与我们所发表的那题确实基本等价。（注：给出其漂亮的纯几何证法者为上海延安中学的钟建国老师）

戈萨德定理的立足点是在一个三角形中，我们将它放到完全四边形的背景中，更揭示了其和谐的一面。不止如此，2004年9月27日我又获得了进一步性质：

[color=Red]“这时四条Euler线构成的图形与原完全四边形是中心对称的，且对称中心对于每三条直线围成的三角形而言，必位于它的三边（直线）加上其Euler线后所形成的完全四边形的Newton线上！” [/color]

这实是对戈萨德定理的一种有效加强。也就是说，戈萨德原有的构型中，由于取定了Euler线，因此所得是一个固定的“戈萨德三角形”（与原三角形反向全等）。而若保持Euler线的方向，允许它平行移动，则可类似构造出一族与原三角形始终中心对称的动态三角形A′B′C′。而它们与原三角形ABC的对称中心形成一条直线轨迹，我将其刻划为△ABC的三边，加上它的Euler线后，所形成的完全四边形的Newton线！这是比原先戈萨德定理更加深刻的现象。
（在一般的完全四边形中，取出任意三条直线围成三角形，共可获得四条Euler线，它们形成一个新的完全四边形。一般说来，这个新的完全四边形与原先的完全四边形联系并不密切。可当符合Euler线平行条件后，所得的完全四边形立即呈现出中心对称现象！说明满足Euler线平行条件的完全四边形，实是一种非常和谐的几何图形。）.

直到2006年4月时，我才重新考虑了这一深入性质的内涵，将其转化为如下命题：

[color=Red]“已知梯形ABCD中，AD∥BC，EF是夹在两腰间任意线段。AF，BF，CE，DE的中点分别为M1，M2，N2，N1。求证：直线M1N1，M2N2及梯形中位线MN三线共点。” [/color](06042001．gsp).

后又发现梯形的条件是多余的，可加强为：

[color=Red]“已知凸四边形ABCD，E，F分别是AB，CD上的任意两点。AC，BD，AF，DE，BF，CE的中点分别为M，N，M1，N1，M2，N2。求证：MN，M1N1，M2N2三线共点。”[/color].

这很像Pappus定理；而且上述结论正等价于这种折六边形三组对边中点联线共点！

这时突然意识到它是王曦上述命题的特例！

在Pappus定理的特定图形中，相间三点所构成的两个三角形面积都退化为0。

进而研究，下图中当动点P在直线BC上运动时，相邻两四边形Newton线交点的轨迹是双曲线：.

仅当两者邻接时，轨迹退化为直线：.

这时发现很多进一步性状，如：轨迹始终平行于大四边形ABCD的Newton线；又当E在平行于AD的直线上移动时，轨迹的位置不变化！.

进一步定量化：轨迹离开Newton线的距离与E点离开AD的距离成正比。

然后考虑当E、F两点都不落在边上的情形，发现：

四边形ABFE、EFCD的Newton线的交点X离四边形ABCD的Newton线MN的距离与E、F两点分别离AD、BC的距离有内在联系。(06043001．gsp).

经过艰苦探索，得到一个涉及面积的关系：.

这时突然又意识到它可改述成另一种更好的形式，而它正是王曦命题的本质推广：


[b][size=5]命题[/size][/b] [size=4][font=黑体]如下图，设任意六边形ABCDEF的各边中点依次为G，H，I，J，K，L。相对的中点联线GJ，HK，IL两两交于P，Q，R三点。求证：4S△QGJ＝4S△PHK＝4S△RIL＝│S△ACE－S△BDF│。 [/font][/size].

当S△ACE＝S△BDF时，就得到王曦原先的命题。

2006年时，我将此题提供给中国国家队的六名选手讨论。他们是：柳智宇（湖北华中师大一附中）、沈才立（浙江镇海中学）、金龙（吉林长春东北师大附中）、邓煜（深圳高级中学）、甘文颖（湖北武汉武钢三中）和任庆春（天津耀华中学）。他们指出，要证明题中的三个三角形面积相等并不难，但要证明它们等于两个相间三角形面积差的四分之一却有相当难度。
当时好像没有队员完成证明。后来安徽唐传发老师思考过这一问题。

不久前，它又引起了杨学枝老师及深圳中学李响同学的兴趣，他们各自都用计算办法给出了证明。下面就是李响发来的邮件：

【From：李响 给叶老师的几何题解答‏ Sun, 27 Jan 2008 15:21:21 +0800】
[color=Sienna]叶老师，考试之前很忙，回来后感冒打吊针拖了很久。学校还要我们回去上课。因此有些后补充的就简写了。因为不会截图，所以很难看懂，请见谅。
任意六边形ABCDEF三对边中点联线共点互推三角形ACE和三角形BDF面积相等。
证明：设点A坐标（Xa,Ya）等，脚标和字母对应。
三中点联线方程为：
2{[（Xa+Xb）—（Xd+Xe）]y—[（Ya+Yb）—（Yd+Ye）]x}—[（Xa+Xb）（Yd+Ye）—（Xd+Xe）（Ya+Yb）]=0 等
条件即为行列式
a11=[（Xa+Xb）—（Xd+Xe）]
a12=[（Ya+Yb）—（Yd+Ye）]
a13=[（Xa+Xb）（Yd+Ye）—（Xd+Xe）（Ya+Yb）]
a21=[（Xe+Xf）—（Xb+Xc）]
a22=[（Ye+Yf）—（Yb+Yc）]
a23=[（Xe+Xf）（Yb+Yc）—（Xb+Xc）（Ye+Yf）]
a31=[（Xc+Xd）—（Xf+Xa）]
a32=[（Yc+Yd）—（Yf+Ya）]
a33=[（Xc+Xd）（Yf+Ya）—（Xf+Xa）（Yc+Yd）]
注意到a11+ a21+ a31= a12+ a22+ a32=0
所以条件即为a13+ a23+ a33=0或有二阶行列式a11 a12 等于a21 a22 等于a31 a32
a21 a22 a31 a32 a11 a12
都等于0，意义就是三中点联线平行，而这种情况命题不成立。
将a13+ a23+ a33=0展开，即为三角形ACE和三角形BDF面积相等。展开式略。

推广形式：六边形ABCDEF任两组对边联线交点和另一组对边中点组成的三角形面积相等，为三角形ACE和三角形BDF面积差的四分之一。

证明：引理：消点法公式及行列式展开，证略。

设AB中点为1，BC中点为2等。线25和线36交于Q（以下如有三或以上字母数字连续时则表示面积，只是省略了面积符号S）。
有：Q14=8*8（614*523+314*562）/（8*8*5623）
8*614用行列式展开即为（A+F）（A+B）（D+E）所展开的三角形有向面积和（顺逆时针的顺序不能错）。这个和为2*（BDF+FABE）
同理8*523=2*（BDF+BCDE）
8*314=2*（CAE+DCBE）
8*562=2*（EAC+EFAB）
加起来为4*（BDF—ACE）（BDF+ACE+ABCDEF）
而8*5623=8*（562+623）=2*[（EFAB+EAC）+（FBD+EBCD）]=2*（ACE+BDF+ ABCDEF）
所以Q14=4*（BDF—ACE）（BDF+ACE+ABCDEF）/ [8*2*（ACE+BDF+ ABCDEF）]=（BDF—ACE）/4

第一问用帕普斯的问题。（字母忘了,所以重写一遍字母）
三角形ABC边AB边AC上F，E分别是C,B作AB，AC高的垂足，D为FE上一点，BC中点为M,MF和CD交与Q。H为垂心。
思路：设EF交BC与G
D分EF比值为K
去证向量AQ*DH恒为零。只须证明AQ*DH是关于K的不超过二次的函数。只要有三个K使得向量AQ*DH为零即可。
取D点为E，F，G即有三根，这三种情况都易证。 [/color]

不过，我看李响的证明有点像是计算机的风格。

2月12日，复旦附中陈家豪和韩京俊又传来他们的证法：

[color=Sienna]证明：S_GHJK=S_GHJ+S_GKJ=1/2(S_GBJ+S_GCJ+S_GFJ+S_GEJ)
S_GIJL=S_GIJ+S_GLJ=1/2(S_GAJ+S_GFJ+S_GCJ+S_GDJ)=1/2(S_GBJ+S_GFJ+S_GCJ+S_GEJ)
故S_GHJK=S_GIJL 同理有S_GHJK=S_GIJL=S_HIKL
故S_QHK=((GQ-GP)/GJ ) *S_GHJK=(GQ/GJ)*S_GIJL -(GP/GJ)*S_GHJK=S_GLI -S_GKH
S_GLI=1/2(S_LAI+S_LBI)=1/4(S_LAC+S_LAD+S_LBC+S_LBD)=1/8(S_FAC+S_FAD+S_ABC+S_FBC
+S_BDA+S_BDF)
S_GKH=1/2(S_KAH+S_KBH)=1/4(S_FAH+S_EAH+S_FBH+S_EBH)=1/8(S_FAB+S_FAC+S_EAB
+S_EAC+S_FBC+S_EBC)
故S_GLI -S_GKH=1/8(S_FAD+S_ABC+S_BDA -S_FAB -S_EAB -S_EBC)+1/8(S_BDF -S_EAC)
=1/8(S_FAED -S_FED+S_ABC+S_ABCD-S_BCD -S_FAB -S_EFAB+S_EFA -S_BCDE+S_CDE)
+1/8(S_BDF-S_EAC)
=1/8(S_FADE+S_ABCD -S_FED -S_DCB -S_BAF) -1/8(S_EFAB+S_BCDE -S_ABC -S_EFA -S_CDE)
+1/8(S_BDF-S_EAC)
=1/8S_BDF -1/8S_EAC+1/8(S_BDF-S_EAC)=1/4(S_BDF-S_EAC)
即4S_QHK=S_BDF-S_EAC 同理有4S_PLI=S_BDF-S_EAC,4S_RGJ=S_BDF-S_EAC
即4S_QHK=4S_PLI=4S_RGJ=S_BDF-S_EAC 得证！ [/color].

下面是Euler线结论的提出背景：（录自“三个几何问题思考”第二部分）


[size=6][b]五 圆 定 理 [/b][/size]

所谓“完全四边形”(complete quadrilateral)（在射影几何中亦称“四线形”），指平面上四条一般位置的直线，其中既没有两条平行，也没有三条共点。

完全四边形的每两边的交点，称为其顶点。完全四边形共有六个顶点，可以分成三组，每组称为对顶点，对顶点的联线称为对角线。完全四边形共有三条对角线，其中点共线，称为完全四边形的“Newton线”。

从完全四边形的四条边中每取出三条，构成三角形，称为其基本三角形。每个完全四边形共有四个基本三角形，它们之间关系密切，例如，四个基本三角形的外接圆必共点，所共点称为完全四边形的“Miquel点”； 四个基本三角形的垂心必共线，称为完全四边形的“垂心线”（ortholine），它一定和完全四边形的Newton线相垂直（Gauss-Bodenmiller定理）。

还可以进一步考虑完全五边形（即五线形）——平面上一般位置的五条直线。任意取出其中的四条，都可构成一个完全四边形。这样的完全四边形共有五个，其五条Newton线一定共点，所共的点实际上是同时和完全五边形的五条边相切的二次曲线的中心。

【注记】 有些文献将上述五条Newton线所共之点称为“吴点”，认为是由我国数学家吴文俊首先用机器证明的。但据平面几何高手——深圳市教委主任尚强先生告知，在苏联的一本平面几何习题集中（约50年代出版）早就将这个结论列为习题。另外，萧振纲先生告诉说，《近世几何学初编》（Casey著，李俨译）一书的习题中也有。

由于Newton线是和完全四边形的四条边同时相切的无数条二次曲线的中心轨迹——这正是Newton首先证明的，因此，可以相信Newton本人早已熟知这一结果。本文中，我们约定将此点称呼为完全五边形的“Newton点”。

大约在1838年，A . Miquel考察了完全五边形所含的五个完全四边形各自的Miquel点，他发现这五个点一定位于同一个圆上—— 这就是完全五边形的Miquel定理。 （称这五个Miquel点所共的圆为该完全五边形的“Miquel圆”。）

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 [/i]].

【注记】 严济慈《几何证题法》（第249页总习题第44题）、梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》（第480页习题第17题）以及[法]J•阿达玛《初等数学教程：几何（平面部分）》（第348题）都载有这个定理：“五直线交成五个完全四边形，它们的五个Miquel点共圆。”
《数学通报》1964年第11期陈圣德“关于五边形的密克圆”一文，对这个定理作了详细讨论。

接着考虑由6条直线组成的完全六边形，其所含的6个完全五边形各自的Miquel圆必定共点，称为该完全六边形的“Miquel点”；再考虑由7条直线组成的完全七边形，其所含的7个完全六边形各自的Miquel点必定共圆，称为该完全七边形的“Miquel圆”；……；这样可无限推广下去。首先证明这个奇妙定理的是英年早逝的英国数学家William Kingdom Clifford（1845.5.4—1879.3.3），他曾在非欧几何和非交换代数方面作出过杰出贡献，继Hamilton的四元数之后，引入了新的超复数——八元数（biquaternion），并推广为更一般的“Clifford代数”。

【注记】 南京师范大学单墫教授1997年从加拿大滑铁卢大学图书馆所藏的文献中复印了Clifford的这篇论文（ W. K. Clifford，Synthetic proof of Miquel’s theorem，The Oxford，Cambridge and Dublin Messenger of Mathematics， Vol v. pp.124-141.），回国后将复印件慨然相赠。

而国内，因不了解这题的背景，河南的郑格于先生也独立地给出过一种证明。

这方面登峰造极的工作要数我国数学家周毓麟院士，他于1954年发表了“连环定理”一文，对这类问题作了统一处理，得到了一条囊括全局的普遍定理（《数学通报》1954年第12期）。



*     *     *     *     *     *     *     *      *     *     *     *     *     *     *     *


2001年初，余应龙先生去新加坡开会，买回了一部原版书：David Wells所著的The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry（Penguin Books， 1991；后被译成《奇妙而有趣的几何》，由上海教育出版社出版），他于2001年2月8日将这本书借给了我。同书作者曾写过《数学与联想》一书，他的著作具有内容新奇、图文并茂的特点，我很喜欢其风格。借到这本书，我立刻被这本书的丰富内容所吸引。在书的第79页有这样一个定理：

[b][size=5]五圆定理[/size][/b] 作五个圆，其圆心都坐落在同一个定圆上，且相邻两圆的交点（其中的一个）也在该定圆上。那么，将这些圆的其余交点联结成直线，则恰好可构成一个顶点位于各圆上的五星形。.

可以从不同的角度来欣赏这条定理，我们把立足点放在图中的那个五星形上——它的图形和上面提到的Miquel定理非常相似，但也有区别，因为一般完全五边形的Miquel圆并不经过外心。经研究表明，这时不仅仅图中所示的五个基本三角形的外心在定圆上，事实上，其余五个基本三角形的外心也在同一个圆上，因此加上五个Miquel点，一共有15点共圆！这是Miquel定理的一种非常精致的特例！这个图形的出现为Miquel定理的研究注入了新的活力。

那么，究竟怎么样的完全五边形才满足“五圆定理”呢？由于原书相应的那节中并未引证参考文献，因此我们无从知道该定理的原始出处，只能独立地作一些探索。

2001年2月17日晚，我利用几何画板发现：如果先取定完全五边形中的四条直线，那么第五条直线只有唯一的位置满足“五圆定理”，于是我把探索的重点放在搞清楚这五条直线的内在关系。

第一个发现是：第五条直线必须平行于另四条直线的垂心线。换句话说，在“五圆定理”中，每条直线都必须平行于其余四条直线的垂心线。由此还得到其逆命题：

[b][size=5]命题1[/size][/b]   如果在一个完全五边形中，能够找到两条直线，分别平行于去掉每条直线所剩下的完全四边形的垂心线，那么，其余三条直线也具有同样的性质。
（注：我们目前只给出命题1解析的证明。）

仅仅知道第五条直线和垂心线平行是不够的，因为还不足以确定它的位置。于是，我就着意去寻找关于位置的线索，以便能够给出“五圆定理”的精确刻划。

随着探索的深入，接着又得到了第二个发现：在“五圆定理”中，每三条直线所围成三角形的垂心，和另外两条直线的交点所联成的线段（以下我们将它称呼为“好线段”，一共有10条）两两互相平分。换言之，在“五圆定理”中，完全五边形的10个顶点和10个基本三角形的垂心恰好构成两幅彼此中心对称的图案！由此还可提出其逆命题：

[b][size=5]命题2[/size][/b]   在一个完全五边形中，如果有3条“好线段”彼此互相平分，那么，所有的10条“好线段”一定都两两互相平分。
（注：命题2中的“3条”不能减少为“2条”；否则可以举出反例。）

命题2给出的线索十分重要，整个图形的对称中心非常值得关注——它正是刻划“五圆定理”的一把金钥匙！为了确定第五条直线的位置，我引入了完全四边形的“广义垂心”的概念。它依赖于下面的这条命题：

[b][size=5]命题3[/size][/b]   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。
将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的垂心记为H1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的垂心记为H2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的垂心记为H3； l 1， l 2，l 3所围成的三角形的垂心记为H4。 以H i为中心，作出l i的1/2位似直线l i＇（i＝1，2，3，4）。则l1＇，l2＇，l3＇，l4＇共点，所共点H位于完全四边形的Newton线上。

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 16:52 编辑 [/i]].

称H点为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义垂心”。


[b][size=5]证明[/size][/b]   考虑△CBE和△CDF，记其垂心为H1，H2。过H1作AD的平行线，过H2作AB的平行线，两线交于P。易见C是△PH1H2的垂心。故而PC⊥H1H2。但H1H2是完全四边形的垂心线，故而CP平行于完全四边形的Newton线。.

以A为中心，作直线CP的1/2位似线，则所得到的位似直线就是完全四边形的Newton线（因为它过AC的中点，且垂直于垂心线）。因此AP的中点（即广义垂心）必在完全四边形的Newton线上。证毕。
（注：上述简单证明是田廷彦于2002年1月18日给出的。）

随着“广义垂心”的引入，“五圆定理”的刻划终于有了圆满的结果：只要将完全四边形的垂心线关于“广义垂心”作一次中心对称，就得到了“五圆定理”中所需要的第五条直线！这时，所得完全五边形所含的五个完全四边形的广义垂心合而为一。——它就是该完全五边形的“Newton点”。

对“广义垂心”还可以作如下理解：所谓完全四边形的“广义垂心”，从本质上说就是完全四边形的四条边，加上其垂心线（一共五条直线）所形成的完全五边形的“Newton点”。因此，“五圆定理”中的第五条直线也可以这样描述：先作与完全四边形的四条边以及垂心线都相切的二次曲线Ω，然后再作Ω的切线，使其与垂心线相平行。——它就是第五条直线！

另外，田廷彦给出了“五圆定理”图形中间的那个凸五边形所需满足的充要条件：

[b][size=5]命题4[/size][/b]   “五圆定理”等价于
CD / cos∠A•sin(∠C＋∠D)
＝DE / cos∠B•sin(∠D＋∠E)
＝ … ＝d，
其中d是“Miquel圆”的直径。.

* * * * * * * *

2001年下半年偶然中发现，将命题3中的“垂心”全改为“外心”，结论仍成立：

[b][size=5]命题5[/size][/b]   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的外心记为O1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的外心记为O 2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的外心记为O 3；l 1， l 2，l 3所围成的三角形的外心记为O 4。 以O i为中心，作出l i的1/2位似直线l i″（i＝1，2，3，4）。 则l1″，l2″，l3″，l4″共点，所共点O也位于完全四边形的Newton线上。

索性将O点也称为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义外心”。

【注记】命题5的证明起初甚为曲折：首先用到Steiner定理，说明以三个外心为顶点的三角形之垂心必落在相应的第四条直线上；然后，由于完全四边形的四个外心共圆（即所谓的“外心圆”，Miquel点也在该圆上），再利用“共圆四点，每三点所构成三角形的垂心──共四点，所形成图形与原来的四点是中心对称图形。”（这个结论曾作为竞赛题） 而这个对称中心正是命题5中所谓的“广义外心”，它也位于完全四边形的Newton线上。这样曲折的三部曲，合起来就可完成其证明。

后来（2002年5月23日），在给吴伟朝的一封信中，我给出命题5和下述推论1的简单证明。

将命题3和命题5相结合，可得如下两个结论：

[b][size=5]推论1[/size][/b]   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的重心记为G1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的重心记为G 2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的重心记为G3； l 1， l 2，l 3所围成的三角形的重心记为G4。 以Gi为中心，作出l i的1/2位似直线l i″′（i＝1，2，3，4）。则l1″′，l2″′，l3″′，l4″′共点，所共点G也位于完全四边形的Newton线上。

也可以将G点称为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义重心”。

不难注意到，推论1是这几条同类命题中最简单的一个，因为它是仿射性质。

[b][size=5]推论2[/size][/b]   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。则l1平行于l 2，l 3，l 4所围成的三角形的Euler线的充要条件是广义垂心和广义外心互相重合。

推论2表明，完全四边形的四条直线中，只要有一条平行于其余三条所围成的三角形的Euler线，那么，广义垂心、广义外心、广义重心三者全都重合。——事实上，整条Newton线上的点经演变后都重合为同一个点！

由推论2，即可得到如下漂亮的定理：

[b][size=5]定理[/size][/b]   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。若l1平行于l 2，l 3，l 4所围成的三角形的Euler线，则每条l i都平行于另外三条直线所围成三角形的Euler线。

【注记】最先给出定理解析几何法证明的是南京师大单墫教授和扬州大学蒋声教授，纯几何证法是由延安中学钟建国给出的。后来，这一命题发表于《美国数学月刊》2001年第12期。


关于命题5和推论1的证明，见于我给吴伟朝的一封信：

[color=Sienna]“伟朝兄：
您好！自上封信发出后，晚上我仔细考虑了一下，结果便找出了命题5和推论1的简单证明。现连同命题3的证明介绍如下：

命题3的证明 （略）


为证命题5和推论1，先引入如下引理：

[b][size=5]引理[/size][/b]   点列A1，B1，C1与点列A2，B2，C2，满足A1 B1∶B1C1＝A2B2∶B2C2。过A1，B1，C1分别作三条平行线a1，b1，c1；过A2，B2，C2也分别作三条平行线a2，b2，c2，则对应平行线的交点共线。 [/color].

[color=Sienna][b][size=5]命题5的证明[/size][/b]   考虑△CBE和△CDF，记其外心为O1，O2。
分别过B，E，O1作AD的平行线；分别过D，F，O2作AB的平行线，对应直线两两相交于P，Q，O。以下证明P，Q，O共线。[/color]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 [/i]].

[color=Sienna]设O1O与AB交于S，O2O与AD交于T。
因△O1EB和△O2FD是彼此相似的等腰三角形， 只要能够保证∠EO1S＝∠FO2T，则就可保证比ES∶SB与FT∶TD相等。
但直线AB，O1E的夹角＝直线AD，O2F的夹角（它们都等于等腰三角形的底角），故直线AB，O2F的夹角＝直线AD，O1E的夹角。
而O1S∥AD，O2T∥AB，
故O1S，O1E的夹角＝直线O2T，O2F的夹角，
所以∠EO1S＝∠FO2T。
于是由引理即得P，Q，O共线。
最后以A为位似中心，作1/2位似，则P，Q，C三点的像是完全四边形三条对角线的中点，构成Newton线。O的像即广义外心，故亦在Newton线上。

[b][size=5]推论1的证明[/size][/b]   记G1，G2分别为△CBE和△CDF的重心，M1，M2是BC，CD的中点。过 B，E，G1，M1作AD的平行线；过D，F，G2，M2作AB的平行线，对应平行线交于P，Q，G，M。[/color]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 [/i]].

[color=Sienna]由引理，Q，G，M共线。
又由四边形CM1MM2位似于四边形CBPD，故C，M，P共线。
但由Newton线知，C，P，Q共线，由此G在直线CPQ上。
最后以A为位似中心，作1/2位似，则AG的中点必落在Newton线上。
由此推论1得证。 祝 好！ 2002年5月23日 ”[/color].

一张被删去的照片

《国际数学奥林匹克研究》是“奥博丛书”即将面世的一个新品种，出自今年国家队领队熊老师之手，是其又一部力作。全书不仅收录历届IMO全部赛题精解，还有其余有价值的资料。

书前原收有一些资料照，如陈省身先生望着中国国家队原副领队刘鸿坤签字的照片（身后那位是李成章）。 另一张却经审删去了,毕竟已是改朝换代，令人徒生人未去，茶已凉之慨……呵呵。.

珍贵的照片。收藏。.

要是叶老师也写一本书就好了，孩子特别喜欢叶老师的题。叶老师麻烦您在白忙中像单教授一样写一本几何普及的书吧，那些几何爱好者一定会万分喜欢的。.

写书可要靠累积。老封还是初级阶段。

只有不停努力，才会看到希望，呵呵.

中国的历史就是不断删改照片的历史。。。.

如果愿意的话，去查一下东北有个烈士纪念碑的故事。
当年看到有人评价的话：“历史就像一个婊子，只要有。。。就可以搞它。”.

叶老师经常在这里给孩子出一点题大家讨论吧，好多孩子都特别喜欢几何呢.

[quote]原帖由 [i]刘正谊[/i] 于 2008-2-22 17:24 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2537719&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
叶老师经常在这里给孩子出一点题大家讨论吧，好多孩子都特别喜欢几何呢 [/quote]


呵呵，谢谢刘先生建议。我最近较少登录，迟复了。

不过，由于论坛对象大都是家长，孩子们年级又不一样，所以我倒建议对几何感兴趣的同学可到“东方论坛”（forum.cnool.net) 的数学板块中去发帖，那里高手如云；连著名奥数专家单教授也不时在那里出现呢。我看最近那个论坛上有位活跃分子名叫“Frankvista”，经常发一些几何的帖，达到较高的水准。一打听，才知道还是位延安中学初二的学生，真是后生可畏。

今天挂一道题，是从“东论”转来的，供大家试试吧：

“已知CF是锐角△ABC的高，BC > CA， O、H是外心和垂心，过F作FO的垂线与CA交于P。求证:∠FHP= ∠A。”.

现公布这题的解答过程。证明时只需要用到两个知识：

一是“蝴蝶定理”，可采取梁绍鸿先生书中的形式：“四边形ABCD内接于⊙O，P是它的对角线交点。过P点作直线垂直于PO而交直线AB、CD于E、F。求证：PE＝PF。”（习题十第24题）.

二是所谓“鸭爪定理”：垂心关于一边的对称点落在外接圆上。


原题证法如下：

如图，联BD，设延长PF交BD于P′，延长AF交外接圆于D。

则由一，可知PF＝FP′；由二，可知HF＝FD。合起来，得△HPF≌△DP′F。于是∠FHP＝∠FDP′＝∠A。证毕.

精彩！.

大伙那边瞅瞅：

[url]http://ww123.net/baby/thread-4496754-1-1.html[/url].

我也会动了！

一个固定形状的三角形在椭圆内转动，其内一位置固定的点随之留下运动轨迹：
（用gif-gif-gif软件截图）.

风云际会

上周，在国家集训队首脑奔赴苏州前，举行了一次小规模的聚会。

到场的有：今年中国队的正副领队熊老师、冯老师，去年中国队的领队冷老师，美国国家队领队冯祖鸣，数论和组合高手周晓东，今年国家队培训承办方上海中学周建新老师。.

请教叶老师一道几何题

用正方形完全盖住边长分别为3CM，4CM，5CM的一个三角形，则这个正方形的最小边长是多少？[tt7]

最好能有详细解答过程，先谢谢了！.

[quote]原帖由 [i]男孩爸爸[/i] 于 2008-3-18 20:25 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2623089&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
用正方形完全盖住边长分别为3CM，4CM，5CM的一个三角形，则这个正方形的最小边长是多少？[tt7]

最好能有详细解答过程，先谢谢了！ [/quote]

这就不劳叶老师大驾了，俺来解决。
[attach]123773[/attach]
由于角CEF＝90度，△AEF相似于△DCE。所以AE/3＝DC/4，CD＝4DE，剩下就是勾股定理了。

[[i] 本帖最后由 老猫 于 2008-3-18 21:09 编辑 [/i]].

谢谢老猫大侠！儿子看了恍然大悟，呵呵。.

叶老师他们才是大侠，俺是小跟班。.

在叶中豪主编的奥博丛书中，徐士英老先生撰写的《组合数学》第54-58页，对这类问题作了全面解答。书中解答了：求覆盖任意三角形的最小正方形。.

看到伐，又一个大侠出手了。一下子解决了所有这类问题。
对了，有这本书的电子版嘛？这本书我没有找到。.

[quote]原帖由 [i]老猫[/i] 于 2008-3-19 07:21 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2623718&ptid=4419985][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
看到伐，又一个大侠出手了。一下子解决了所有这类问题。
对了，有这本书的电子版嘛？这本书我没有找到。 [/quote]

叶老师、周老师、魏老师，三位老师的课，我儿子都有幸聆听过，拜谢！[tt7].

再请教一道组合题

10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．[tt7].

[quote]原帖由 [i]男孩爸爸[/i] 于 2008-3-19 18:15 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2627973&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．[tt7] [/quote]
通过已知条件很容易知道每个同学至少属于三个不同的组，10个人两两配对共有45对，有已知条件每一对同学都至少属于一个组，而每组最多有5人，因此最多含有10对同学，这样就说明至少有5组。
接下来证明：5组是不可以的，证明过程像是绕口令，这里字母下标打字不方便，自己也可以思考一下。
最后用构造说明6组是可以的，这样n=6最小。构造如下图，10个同学分别对应1，2，。。。，10。

[[i] 本帖最后由 wood 于 2008-3-19 22:22 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]wood[/i] 于 2008-3-19 22:17 发表 [url=http://www.ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2628763&ptid=4419985][img]http://www.ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]

通过已知条件很容易知道每个同学至少属于三个不同的组，10个人两两配对共有45对，有已知条件每一对同学都至少属于一个组，而每组最多有5人，因此最多含有10对同学，这样就说明至少有5组。
接下来证明：5组是不可以 ... [/quote]

[em01] [em18].

老封近日将推出一个“奇妙而有趣的几何”免费培训班，旨在引领孩子领悟几何世界的奥秘所在，从中体会学习的乐趣，并学会使用几何画板。对象为本市四、五年级及预初学生。

另外，界时还将请出著名奥数专家余应龙先生光临指导！.

回复 384#老封 的帖子

太好啦，啥时候呀？赶快呀！.

回复 384#老封 的帖子

太好了! 我先报个名,什么时候呀?
免费太不好意思了,要不我孝敬您一听龙井茶?

还请到了余应龙,余老师呀? 记得读中学的时候在青年宫数学协会听过他的课呢

[[i] 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-3-20 13:22 编辑 [/i]].

报名！！[em03].

回复 384#老封 的帖子

报名!:handshake.

太好了，啥辰光啊？我先占个位！:handshake.

回复 384#老封 的帖子

报名:handshake

[[i] 本帖最后由 阿黄 于 2008-3-20 14:16 编辑 [/i]].

俺们也报名。谢谢！.

免费讲座内容安排：

[b][size=5]一、几何世界引人入胜种种

二、探讨天赋的培养及“一家式”教育新模式

三、几何画板的安装及使用[/size][/b]

几何画板使用要点
1．下载、安装与启动

2．几何画板的特点
动态、高效、精确

3．几何画板工具箱
选择工具
画点工具
画圆工具
画线工具
文本工具
记录工具

4．几何画板菜单功能
文件菜单——新建文件、打开文件、保存、另存为、关闭、文档选项、页面设置、打印预览、打印、退出
编辑菜单——撤消、重复、剪切、复制、粘贴、清除、操作类按钮、选择各种对象、拆分与合并、参数设置
显示菜单——线型、颜色、字型、隐藏、显示、显示标签、追踪、清除踪迹、动画、文本工具栏、运动控制台
作图菜单——对象上取点、中点、交点、直线、平行线、垂线、角平分线、以圆心和圆上一点画圆、以圆心和半径画圆、圆上的弧、过三点的弧、多边形内部、轨迹
变换菜单——标记中心、标记轴、标记角、标记比、标记向量、标记距离、平移、旋转、缩放、反射
度量菜单——长度、距离、周长、圆周长、角度、面积、弧度、弧长、半径、比、计算、坐标、斜率、方程
图表菜单——建立坐标系、隐藏坐标系、绘制点、制表格、添加和删除表格数据、绘制函数图像
窗口菜单
帮助菜单

5．自定义工具
Tool Folder

6．常用快捷键
Ctrl + N —— 打开一块新画板
Ctrl + O —— 打开已经存在的文件
Ctrl + S —— 存盘
Ctrl + Tab —— 切换文件
Ctrl + W —— 关闭当前窗口
Alt  + Q —— 退出几何画板
Ctrl + Z —— 撤消一步
Ctrl + Alt + Z —— 撤消所有操作
Ctrl + R —— 重复一步
Ctrl + Alt + R —— 重复所有操作
Ctrl + X —— 把选择的对象剪切到剪贴板上
Ctrl + C —— 把选择的对象复制到剪贴板上
Ctrl + A —— 选择所有对象
Ctrl + H —— 隐藏所选择的对象
Ctrl + T —— 追踪对象
Ctrl + B —— 清除对象踪迹
Ctrl + I —— 作出交点
Ctrl + M —— 作中点
Ctrl + L —— 作线段
Ctrl + P —— 填充多边形内部
Ctrl + G —— 画函数图像
Ctrl + Shift + P —— 建立参数
Ctrl + Shift + F —— 标记中心
Alt  + = —— 打开计算器
Alt + ＞ —— 增大文本字号
Alt + ＜ —— 减小文本字号
Alt + ] —— 加快动画速度
Alt + [ —— 减慢动画速度

7．使用gif.gif.gif软件使图画动起来！

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-3-20 15:01 编辑 [/i]].

我们也报名.

报名！
另外，请问几何画板软件哪里可以下载？先让孩子熟悉一下。.

[quote]原帖由 [i]ITmeansit[/i] 于 2008-3-20 15:49 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2632829&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
报名！
另外，请问几何画板软件哪里可以下载？先让孩子熟悉一下。 [/quote]

网上吧。用搜索引擎搜索一下，几何画板4.0以上版都差不多的。.

报名!.

太好了，刚报了封老师的几何启蒙班，因为孩子是五年级，有点担心跟不上，现在好了，可以近距离与老师沟通了。立刻报名。:handshake.

报名免费讲座，请问具体时间？.

*** 该贴被屏蔽 ***

也想参加，报名！.

报名免费讲座，请问具体时间？[tt7].

报名，时间地点请通知.

为了更好地传播数学文化，老封以及精文团队以后每年都要举办若干公益性的文化传播活动。秉承为全民服务的主旨，全程不会收取任何费用。


本次活动现初定在4月13日（周日）的下午2:30--4:00。旨在教会每位参与者使用几何画板，并感受数学学习的乐趣。
采用学习班形式，教会为止，一次不够办两次，两次不够办三次…… 让学员学有所获，学成而归。


由于目前报名人数较多，请提前登记。

可采用网上报名的形式，在本帖后面跟帖，以楼层先后为准，呵呵。具体也可电话与JW联络：
[url]http://ww123.net/baby/thread-4501520-1-1.html[/url]

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-3-21 13:32 编辑 [/i]].

报名!
1排1座

[[i] 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-3-21 19:49 编辑 [/i]].

报名参加免费讲座活动！.

报名参加免费讲座.

报名参加免费讲座，谢谢.

报名.

[em01]

[[i] 本帖最后由 芭比妈咪 于 2008-3-25 16:12 编辑 [/i]].

报名参加免费讲座[tt7].

报名参加,谢谢.

报名参加，谢谢。[tt11].

参加，谢谢！.

报名

前面已经报过，在报一次.

封老师:
   请问精文学院下半年是否招高一新生，如果招新生，是否告知精文学院的地址。
    我儿子今年初三 ，数学是他的强项，初三期间，希望杯获一等奖（满分）、应用数学竞赛二等奖、新知杯三等奖。但他所在的学校数学并不是强项，没有专职优秀竞赛辅导老师，他没有在外上过竞赛辅导班，希望中考后上竞赛辅导班，把数学再提高一个层次。.

[quote]原帖由 [i]kangpingwkh[/i] 于 2008-3-22 14:42 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2642066&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
封老师:
   请问精文学院下半年是否招高一新生，如果招新生，是否告知精文学院的地址。
    我儿子今年初三 ，数学是他的强项，初三期间，希望杯获一等奖（满分）、应用数学竞赛二等奖、新知杯三等奖。但他所在的学 ... [/quote]


上网看了下，见很多孩子涌跃报名，说明大家对几何画板这种新的教学工具，及“一家教育”这一新教育理念感兴趣，老封深受鼓舞，呵呵。看来非得要把这个讲习班办好不可了！

昨天与余应龙老师通电话，他说几何画板在中学也并不普及，许多学校只是在公开课时才偶一使用，还未渗透到平时的教研中去，而这其实是很值得做的。老封今后还愿意为全市中小学提供类似的几何画板义务推广培训，争取让更多的学员掌握使用，也希望精文经常组织这类公益活动。

刚看到楼上家长问及精文是否组织高中的数学培训，这正好与我们前段时间的想法吻合了。

目前高中新课程教学尚存在一些内容上的脱节， 在教学要求上对基础的削弱又使一些学生和家长感受到“校内吃不饱，校外盲目补”的窘境；而旨在参加更高一个层次全国数学联赛的优秀生，又常常为寻求名师而苦恼……

精文确实正在考虑下半年推出高一数学英才训练班，由老封、老姜、周老师、田老师、唐老师、邵老师……等颇受欢迎的奥数团队中的老师亲自主讲，适当时候还会邀请外省市的高级教练，甚至海外名家来为学员作些讲座。

今天接到以前上海中学的冯鑫锃家长的来电，告诉说冯鑫锃目前正在北大数学系念三年级，学习成绩十分优秀，是全系得到特等奖学金的三位同学之一。不日还将派往美国深造……这真是个鼓舞人心的好消息。老封为昔日的努力结出果实而感到欣慰，也为将来提出了新追求的目标，呵呵。

另外，与基础教育相结合，精文也会适当组织名师为更广层次的高中学生提供优质课外学习服务，倡导正确的学习方法，争取打造出新理念高效率学习的模式，为他们创造更多机会，并与一些名牌学校建立挂勾协作关系。凡参加培训的学员想必定会学有所成，满意进入下一学段。

如家长们有兴趣，欢迎与我（老封）和周老师（蕴秀斋）保持联络。.

报名参加,小五男生.谢谢!.

还有，刚与张院士的助手联系了一下，他给我发来了两篇文章。张院士目前正在武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心，致力于“超级画板”的推广普及。
可惜老封目前还不会使用这一由张院士亲自研发的国产教学软件，他老人家去年还曾托人给我捎来了这一软件及《超级画板自由行》一书。老封正打算通过自学逐渐掌握这一带有自动推理功能的先进软件，并在今后来努力推广它！


附：
                    [color=Red][size=6][b]谈谈计算机怎样解几何题[/b][/size]                                         
              [size=5]张景中     彭翕成[/size]      
   （武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心   430079）
    近几年，我们在向中学老师介绍信息技术的时候，不少老师对计算机自动解几何题表示出强烈的兴趣，想了解得更多一些。关于这个问题，笔者曾写过一本科普读物（文[1]），但考虑到该书已经脱销，读者难以买到；再加上近几年智能教育软件又有了新进展，所以很有必要再来谈谈这个问题。
认真起来，所谓计算机解几何题这个说法，其实是有问题的。人是万物之灵，计算机是人造出来的，它并不会解题。是人设计了一套一套用计算机解题的办法。计算机只不过是工具，所以应当是人怎样用计算机解几何题。至于自动推理，其实也并不能自动，也是人出了主意推动计算机进行推理。就像自行车不会自己跑路，自来水不会自己到来一样。不过大家仍然说自行车、自来水，这样通俗生动。反正心里明白，自行车要人蹬，自来水是水塔水泵压过来的。
1 计算机的基本功能
我们若想运用计算机解题，首先就必须了解计算机的一些基本功能。计算机可供解题使用的基本功能大体上有4类：变量赋值，基本运算，条件选择，循环操作。
第一，要记得住东西。如果记不住题目，或者是记不住解题的有关知识和方法，还解什么题呢？光记住还不够，还要能表达出来。解了题闷在肚里表达不出来，不是白白辛苦一场了吗？能记住我们要它记住的信息，又能表达出来，这种功能主要通过变量赋值来实现。
第二，要会做基本的运算。计算机作计算肯定是不成问题的，否则怎么叫计算机呢？不过我们这里所讲的计算，除了包含一般所说的数值计算，还包括符号计算功能。因为数值运算通常容易出现误差，多步推导之后，误差被积累，可能导致结果谬以千里。
第三，求解问题时，常常要根据不同的情形使用不同的公式和方法。简单到如计算一封信的邮费，还分平信、挂号、本地、外地以及是否超重。几何问题的条件更是千差万别。计算机可以根据条件安排，自动区别不同的情形，执行不同的运算，这叫做条件选择的功能。
第四，计算机的另一长处就是不怕枯燥麻烦。一个运算或一套操作，让它重复多少次它也不会罢工或埋怨。几何问题有时要多次检验，有时要反复探索，有时又要作大量演算。只要你一声令下，它就老老实实干起来，直到完成预定次数或达到某个目标。这叫做循环操作功能。
    那么，又如何调用计算机的这些基本功能来解题呢？鸟有鸟言，兽有兽语。计算机也有它与人交流的语言，就是程序设计语言。程序设计语言种类很多，各有特色。常用的如广泛流行的BASIC语言，适于专业软件开发的C语言，利于网上交流的JAVA语言，长于人工智能程序的LISP语言等等。语言千变万化，但万变不离其宗，核心语句就是4类：赋值语句、基本运算语句、条件语句和循环语句，作用无非是用来指挥计算机执行4类基本功能。要想充分利用好计算机，首先得懂它的语言。而不管是什么程序设计语言，熟练运用就好。这里就不多说了。
2 几何解题花样多
几何题有计算题、证明题，还有作图题。他们各有特点，又是相通的。两千年来，人们积累了丰富的解几何题的经验、技巧和方法。这些有待教给计算机的解题本领，大体可以分为4类：检验、搜索、归约和转换。
计算和作图都要有个道理。讲清楚道理就是证明。古希腊人研究几何最讲究证明。中国古代的几何学则讲究计算，把画图和推理都归结为计算，叫做寓理于算。计算、作图和证明，问题的形式不同，却也有相同之处。3类问题的前提，都可以用几何图形来表示。证明题可以转化为计算。要证明两条线段相等，只要算出两者的比为1或差为0就行了。要说明计算是准确的，作图过程是合理的，归根结底要证明。3类问题在解决过程中都要推演论证，推演论证所用的规则又是一致的。这就是3者的相通之处。
    要问计算机如何解几何题，就得先看人如何解几何题。当然，人和人不同，应该说要看几何学家如何解几何题。几何学家拿到一个几何题，有哪些高招呢？
第一，        要画画看看，量量算算，看题目出得对不对，合理不合理。不合理就不做下去了。这叫做检验。
第二，        根据条件，参照问题，试着东推推，西试试，推出来的东西有用没用先记下来。这样或许就解决了问题。解决不了，再想别的出路。说不定记下来的材料还有用。这叫搜索。
第三，        搜索不出来，还可以抓住问题的目标（待证的结论、待求的几何量、或待作的点与线），分析计算，化简条件，消去中间的参数或几何元素，力求水落石出。这叫归约。
第四，        当上述常规的方法不能奏效时，人的智慧和灵感就成为取胜的源泉了。或用反证法、同一法，或加辅助线，或对部分图形作平移旋转，总之是改变问题的形式，以求化繁为简。这叫转换。
计算机是人的学生。它的本领是人教的。它是笨学生，不教不会。但它又是好学生，会牢牢记住你教给它的方法，一丝不苟地按你写好的程序去做。如果你循循善诱，它又能青出于蓝。计算机解题靠人教。人会解一道题，把方法教给计算机，计算机就会解这道题。这道题中的数字换成字母，成了更一般化的一个题型，把处理这个题型的窍门教给计算机，计算机就会解这个题型的题。人掌握了一类题目的规律，把这规律总结提炼成有章可循的算法，实现为程序，计算机本领就更大，会解这一类题了。人掌握了方法，推演计算论证繁了或者累了，容易走神出错；甚至时间长了，所掌握的方法遗忘了都有可能。但计算机一旦学会一套方法，就不会忘记，也很难出错，做得飞快。
几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳。概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换。50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授。使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩。除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了。用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助以至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。
3 几何代数化的道路
在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题。这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难。然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成。也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了。这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步。还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措。从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧。换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。
解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一。图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受。许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣。用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景。通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理。这是有严谨理论基础的。但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大不相同。如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。
   所幸的是，计算机不仅能计算，也能推理。只要我们会教，它也能学会传统风格的几何解题方法。我们希望的是，既要用计算机帮助人脑，减轻人的高级脑力劳动，还要在提高效率的同时，寻求传统几何的魅力。
4 寻求传统风格的几何证明
有经验的老师讲新课，总是从具体例子开始。同样，我们给计算机当老师，教它用传统的风格解决几何问题，也要从具体实例开始，让它知道传统风格解几何题是怎么回事。
例1：如图1，平行四边形ABCD中， 于E， 于F，求证AE＝CF。
  
在初学几何证明的时候，老师常常要求学生画结构图，再将结构图整理成证明，而且每一步的推理都要写出推理规则。下面就给出证明例题的结构图以及整理后的证明过程。

[0]:    ABCD是平行四边形    (已知)        
[1]:    BC∥DA              (0和平行四边形的定义)
[2]:    ∠CBD = ∠ADB       (0、平行四边形的定义和平行线的性质)
[3]:    FC⊥BD              (已知)  
[4]:    ∠BFC = 90°        (3和直角的定义)
[5]:    AE⊥BD              (已知)
[6]:    ∠DEA = 90°        (5和直角的定义)
[7]:    ∠DEA = ∠BFC       (4，6)
[8]:    BC = DA             (0和平行四边形的定义)
[9]:    △BCF≌△DAE        (2，7，8及AAS)
[10]:    CF = AE            (9和全等三角形的性质)
让我们像小孩子拆开玩具那样，把上述命题和证明分解成一堆“零件”，看看它们是如何组装起来的。
先看看命题部分。它提供了有关问题的基本信息：
1：ABCD是平行四边形。这为证明中的[1]、[2]和[8]提供了理论依据。
2： ， 。这为证明中的[4]和[6]提供了理论依据。
3：希望证明的结论：AE＝CF。这是证明中[10]的内容，但不包括后面括号内的理由。
这表明，题目所给的信息都出现在证明过程之中了。这是有道理的，证明中不用的信息，肯定是多余的。
再看证明部分。它由11行组成，每行的前半段是一个判断，或者说提供一条信息，后半段，即括号里的部分是这个判断的理由。如果这个判断来自命题的条件，则简单地说“已知”。否则，就指出这条新信息是由前面已经得到的哪些信息推出来的，以及能够进行这一步推理的依据——定理、定义等几何知识。
   可见，我们能写出上述证明，如果不是死记硬背，那么在头脑中就一定要有保留并运用两类资源：命题所包含的几何信息，一般的几何知识。如果说解几何题有时需要灵感，那么这灵感也只能在所掌握的几何知识的基础上产生。这就是所谓的熟能生巧。
5 自动推理的基本设想
在上述分析的基础上，我们来描述一下解答产生的过程，以便为计算机提供榜样。
在看到题目之前，已经掌握了有关的一般几何知识：公理、定理、定义、公式，通称推理规则。这是预先就存在头脑里的一个知识库——推理规则库。读了题目之后，把题目提供的几何信息记在头脑里，这就形成了一个临时的几何信息库。不管你是不是意识到，你头脑中一定有这两个库，否则就很难解题。如果你缺乏几何知识（没有推理规则库）或记不清题目（没有几何信息库）十之八九不会成功。
然后进行思考。这就是将知识库里的推理规则应用于几何信息库里的信息。推出了新信息，就把新信息和它的来历（用了什么推理规则和哪些旧的信息都要记下来，不然就成了一笔糊涂帐）加到信息库里。并不是每条新信息都有用。可是在题目还没完全解答出来的时候，天晓得哪条信息有用，哪条信息没有用呢，还是统统记下来为妙。这种得到什么要什么的战略叫做大英博物馆方法，破盆子烂骨头进了博物馆说不定都是宝贝。反复进行下去，这个过程叫做前推式几何信息搜索过程。
如果你觉得脑子不够用，记不住越来越多的信息，不妨拿张草稿纸记一下。推理规则太多了记不住，也可以拿本数学手册或几何课本作参考。反正这又不是闭卷考试。
如果所有的推理规则都用了，还得不到新的信息，就到此为止，别干下去了。这表明几何信息库再也不能扩大了，叫做达到了推理不动点。这时，如果几何信息库中包含了所要证的结论或待求的几何量，则解题成功。否则解题失败。
通常，我们随时关注新信息是不是包含了所要的结论。结论一出来，就不再去追求推理不动点。解题成功，就可以从你记下来的信息当中提取有关的东西，组织成一个有条有理的证明或解法。解题失败，并不意味着几何信息库就没用了。它可以作为进一步思考的基础。进一步思考的方向有：要不要多学点几何知识，增加几条推理规则；要不要添加辅助线；要不要用同一法或反证法。
    复杂的推理过程可以化为简单的机械化的操作，但简单的操作重复多次就不再简单了。要提高效率，就又出现复杂的问题。许多几何问题包含了大量的信息。人在进行解题思考时能借助于直觉和经验，抓住最关键的信息得到解答，计算机却靠机械地搜索，大鱼小鱼一网打尽，工作量就非同小可了。譬如一个三角形和它的三条高线以及垂心，这是个很简单的几何图形，用计算机搜索几何信息，居然发现图中有105组成比例的线段。
计算机在搜索中得到的有用信息很多，没用的信息就更多。而推理规则和信息组匹配失败的情形却比比皆是。不幸的是，有用、无用的信息都要经过检查才能决定取舍，成功、失败的匹配都要经过操作才能明白。要去掉大量失败的操作而留下成功的匹配，检查许多无用的信息而获取有用的结论，如同沙里淘金。
这种一网打尽、涸泽而渔的搜索推理，并不是什么新的发现，而是一种古老的机械化推理设想。在没有计算机的时代，也只能想想而已。一旦有了计算机，科学家就希望将之付诸实践，但困难的是难以将这个一般性的想法用有效的算法和程序实现。
用机械的方法解决千变万化的几何问题，曾是历史上一些卓越的科学家的美好梦想。现在，这个梦想已经成为生活中的现实。这个成功来之不易，这是许多科学家多年努力的成果。其中，当代中国科学家的工作起了决定性的作用。机器证明经过50多年的发展，已经形成一个庞大的系统。在这里就不多说了，也不是一篇文章能够说清楚的。文末列举了一些和平面几何证明相关且较为通俗的文献，可供读者参考。
6 自动推理软件的不断成熟  
从1998年起，《几何专家》、《数学实验室》等具备自动推理功能的数学软件相继问世，引起了国内外各界特别是数学教育界的广泛关注。在这些研究的基础上，我国又自主研发了《智能教育平台——超级画板》，这是一个集动态几何、符号运算、编程环境、自动推理等多项功能为一体的综合性平台，具有“人性化，智能化，可视化，动态化和程序化”等特点。下面我们就以例1为例，看看超级画板的自动解题功能。
第一步，根据题意作好几何图形（图1），由于超级画板的智能画笔功能强大，所以画出该图形是相当容易的。
第二步，在推理菜单中点击“自动推理”；此时，若仔细观察，会发现屏幕底部的状态栏在飞快地变化，表示推理正在进行。
第三步，我们很快（大概4秒钟）就能在屏幕左边看到自动弹出的“推理库”，超级画板共推导出194条非平凡信息；根据我们的需求，点击“线段相等信息”前的“+”将之展开，找到我们需要的“CF＝AE”（图2）。
第四步，逐级单击结论前的加号，即可看到推导出该结论的依据，直到已知条件或者显然为止（图3）。
第五步，右键点击结论“CF＝AE”，即可自动生成推理过程（图4）。

    由于我们并没有告诉计算机需要求证的结论，所以计算机就把它能够推导出来的所有信息一股脑推导出来，供我们选用。能在很短的时间内，推导出这么多有用的信息，这正是计算机的威力所在。对比之后，我们会惊奇地发现，超级画板推理库中逐级展开的结构图（图3）以及自动生成的证明（图4）与前面所说的人工的传统证明几乎没有什么差别。在图3中，我们很容易看出，要证明线段相等，就要先证明线段所在的两个三角形全等；而证三角形全等，可以采用AAS定理，这就要去找所需要的三个条件；这三个条件是并列关系，合起来作为三角形全等的理论依据。而这三个条件的满足则来源于题目所给的信息。看懂证明之后，你若懒得花时间书写，则可让计算机自动完成。
使用超级画板的自动推理功能还有几点需要说明。（1）当我们用鼠标选中某一关系式时，譬如“∠DEA = ∠BFC”，则该关系式所牵涉到的对象变色，并作出相应的标注，这非常有助于理解和学习；（2）超级画板的自动推理是相当详尽的，最后的落脚点总是题目已知信息或最基本的一些几何知识，假如你在逐级展开的过程中，发现自己已经弄懂了题目，那么就可以右键点击结论，没有必要将所有的“+”都展开，而此时自动生成的证明也会随之简单很多。这就好比通常所说的，高手解题比较简略，一些较明显的结论被一笔带过。（3）学习是一个循序渐进的过程，所以要避免证明中用到学生还没有学过的知识，可以根据学生的学习进度，选择证明过程中可以选用的推理规则，而这也是可以设置的。
另外，对于牵涉到长度，角度等几何量的题目，超级画板还允许人工增添“附加条件”，计算机会根据图形条件和添加的附加条件进行推理。
例2：如图5所示，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC上的高，AD=4，求CD。
           
（1）作任意△ABC（拖动到上图近似的形状，与问题中的数量关系保持接近）；自点A作BC边上的垂线段AD。
（2）单击菜单项“推理|添加附加条件或结论…”，结果弹出“增加条件或结论对话框”。如图6所示，从“条件或结论”列表中，选择“线段的值”类型的条件。
（3）如图7所示，在右边对象列表中依次单击点A、点B，将其增加到条件对象列表框中；同时在条件编辑框中出现条件的类型和对象。将待增加的条件修改为：(segmentvalue A B 5)。
   
（4）单击【增加已知】按钮，将条件增加到条件列表框。从对象列表框中，依次单击点B和点C，然后将待增加的条件修改为：(segmentvalue B C 13)，单击【增加已知】按钮，将条件增加到条件列表框。
（5）从对象列表框中，依次单击点A和点D，如图8所示然后将待增加的条件修改为：(segmentvalue A D 4)，单击【增加已知】按钮，将条件增加到条件列表框。
（6）单击【确定】按钮退出后，单击菜单命令“推理|自动推理”，计算机开始进行根据已知图形条件和增加的辅助条件进行推理。推理结束后，推理工作区自动被激活。这时可以看到推理得到的结果。如图9所示，打开“有值线段的信息”列表，可以看到推导出线段CD的长度。依次打开推理信息列表，可以看到推理的依据。右健单击结论“CD=10”，在作图区自动列出演绎推理文本对象（图10）
   
本文所举实例都很简单，为的只是告诉大家计算机是如何解几何题的，同时也向大家展示了超级画板自动推理的一个过程。我们以后的文章将列举一些有难度的实例，详尽介绍超级画板的自动推理功能。有兴趣的读者也可参看文[7]。
参考文献
[1]张景中.计算机怎样解几何题——谈谈自动推理.北京：清华大学出版社；广州：暨南大学出版社.2000
[2]吴文俊主编.王者之路 机器证明及其应用.长沙：湖南科学技术出版社,1999.
[3]张景中.平面几何新路 解题研究.成都：四川教育出版社,1994.
[4]孙熙椿.平面几何定理的机器证明.南宁：广西教育出版社,1999.
[5]吴文俊.几何定理机器证明的基本原理 初等几何部分.科学出版社,1984.
[6] Shang-Ching. Chou, Xiao-shan Gao,Jing-zhong Zhang. Machine Proofs in Geometry: Automated Production of Readable Proofs for Geometry Theorems.World Scientific,1994
[7]李传中，左传波.超级画板范例教程.北京：科学出版社,2004.

                [size=6][b]《超级画板》的自动推理功能简介[/b][/size]                                         
               [size=5] 张景中     彭翕成  [/size]   
    （武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心   430079）

使用动态几何软件，可以在计算机屏幕上画出所谓的动态几何图形：在拖动图中某些点或某些线时，图形在变动中能保持当初作图时被赋予的几何属性不变。中点仍是中点，垂线仍是垂线，等等。通过几何图形的动态变化，可体现以前在纸上无法观测到的几何原理，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的。同时，也可利用动态几何提供的各种作图功能，根据所学的几何原理画出变化无穷的几何图形，真正体验几何的美妙，提高学生的学习兴趣和教师的教学效果。关于动态几何的机理，[1]中有比较详细地论述。第一个动态几何软件GSP[2]出现于1987年；到目前为止，全世界已经有几十种动态几何软件，其中广为人知的有[2]，[3]，[4]等。动态几何对教育的积极影响，已经成为国际教育界的共识。但数学教育不仅有几何，还有算术，代数和分析；几何也不仅仅是作图看图，还有推理和计算。为了满足数学教育的需求，人们希望动态几何软件能够集成更多的功能，并且希望使用起来更加容易和快捷。
例如，在[5]和[6]中都提出了并致力于把几何作图和推理组合在一起的问题。在[7]中介绍了致力于把代数和分析功能和动态几何作图组合起来软件Geogrbra。在[8]中提出未来的数学软件应当更容易使用和更智能化。
《智能教育平台——超级画板》是一个集动态几何、符号运算、编程环境、自动推理等多项功能为一体的综合性平台，具有“人性化，智能化，可视化，动态化和程序化”等特点，对于上面的这些要求都作了考虑并尽可能地予以落实，而且还根据教学需要，增加了很多功能，详见文[9]。
在《谈谈计算机怎样解几何题》一文中，我们介绍了计算机解几何题的相关知识，并举例说明了智能软件《超级画板》自动推理得到的证明和人工的传统风格的证明基本上是一致的。本文将列举更多实例，介绍《超级画板》的自动解题功能，也让大家了解一下现代信息技术的发展情况。
例1：如图1，在△ABC中， ， ，F、G分别是DE、BC的中点，求 。
求证：∠GFE = 90°
证明：
[0]:    DC⊥BA
[1]:    △BDC是直角三角形                            (0)
[2]:    G是BC的中点
[3]:    BG = DG                            (2  1)
[4]:    BE⊥AC
[5]:    △BEC是直角三角形                            (4)
[6]:    BG = EG                            (2  5)
[7]:    EG = DG                            (3  6)
[8]:    △GDE是等腰三角形                            (7)
[9]:    F是DE的中点
[10]:    DE⊥GF                            (9  8)
[11]:    ∠GFE = 90°                            (10)
                       
例2：如图2，在正方形ABCD中，AC和BD交于点E，点F是BD上一点， 交AC于H，求证： 。
证明：
[0]:    AC⊥DB
[1]:    DG⊥AF
[2]:    点F, E, G, H共圆                            (0  1)
[3]:    ∠AFB = ∠GHC                            (2)
[4]:    ∠DHA = ∠GHC
[5]:    ∠AFB = ∠DHA                            (4  3)
[6]:    ∠DEA = ∠CED
[7]:    DE = AE
[8]:    △AFE≌△DHE                            (6  5  7)
[9]:    FE = EH                            (8)
  例1和例2取自教科书的配套习题册，难度不是很大，但这种难度的题目正是广大中学生需要解决的。下面给出的例3、例4和例5难度则要大一些。
例3：如图3，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点E作 ，与AC和AD延长线分别交于点F、G， 交AB于点H，求证：BG = FH。（1990年四川省初中数学竞赛试题）
证明：
[0]:    EF∥BA
[1]:    ∠BFG = ∠FBA                            (0)
[2]:    D是BC的中点
[3]:    BD = CD                            (2)
[4]:    HE∥AC
[5]:    AD/AI=CD/CE                            (4)
[6]:    AD/AI=BD/CE                            (3  5)
[7]:    AD/AG=BD/BE                            (0)
[8]:    AG/AI=BE/CE                            (6  7)
[9]:    AG/FG=GI/EG                            (4)
[10]:    AH/AI=EG/GI                            (0)
[11]:    AG/AI=FG/AH                            (9  10)
[12]:    AH/CE=FG/BE                            (8  11)
[13]:    AH/BH=CE/BE                            (4)
[14]:    BH = FG                            (12  13)
[15]:    △BFG≌△FBH                            (1  14)
[16]:    BG = FH                            (15)
                  
例4：如图4，设凸四边形ABCD的对角线交于点E。△ABE和△CDE的外接圆交于E、F两点，△ADE和△BCE的外接圆交EF直线于G、H两点，求证：F是GH的中点。（2006年女子奥林匹克试题）
证明：
[0]:    ∠CBD = ∠CHG
[1]:    ∠HFC = ∠BDC
[2]:    △BCD∽△HCF                            (0  1)
[3]:    BD/CD=FH/CF                            (2)
[4]:    ∠FBA = ∠HEC
[5]:    ∠FDC = ∠HEC
[6]:    ∠FDC = ∠FBA                            (4  5)
[7]:    ∠AFB = ∠CED
[8]:    ∠CFD = ∠CED
[9]:    ∠CFD = ∠AFB                            (7  8)
[10]:    △ABF∽△CDF                            (6  9)
[11]:    AB/AF=CD/CF                            (10)
[12]:    AB/AF=BD/FH                            (3  11)
[13]:    ∠ADB = ∠AGH
[14]:    ∠DBA = ∠GFA
[15]:    △ABD∽△AFG                            (13  14)
[16]:    AB/AF=BD/FG                            (15)
[17]:    FG = FH                            (12  16)
[18]:    F是GH的中点                            (17)
例5：如图5，在 中，过A、B、C三点作圆交BD于E，过B、C、D三点作圆交CA延长线于F。求证： 。
   
   证明：
[0]:    点B, C, D, F共圆
[1]:    ∠BFC = ∠BDC                            (0)
[2]:    ABCD是平行四边形
[3]:    AB∥CD                            (2)
[4]:    ∠DBA = ∠BDC                            (3)
[5]:    ∠DBA = ∠BFC                            (1  4)
[6]:    点A, B, C, E共圆
[7]:    ∠AEB = ∠FCB                            (6)
[8]:    △ABE∽△BFC                            (5  7)
[9]:    AB/BE=BF/CF                            (8)
[10]:    ∠DBF = ∠DCF                            (0)
[11]:    ∠BAC = ∠DCF                            (3)
[12]:    ∠BAC = ∠DBF                            (10  11)
[13]:    ∠FCB = ∠FDB                            (0)
[14]:    △ABC∽△BFD                            (12  13)
[15]:    AB/AC=BF/BD                            (14)
[16]:    AC/BD=BE/CF                            (9  15)
此题是《数学通报》2007年第7期《数学问题解答》栏目的问题1683。原证法用到三角形相似和托勒密定理，而托勒密定理是现在的初中生不太熟悉的，《超级画板》自动生成的证明只用到了三角形相似，而且证明过程也比原作者提供的证明简单。这说明计算机自动生成的证明完全可以和人工证明相媲美。
众所周知，有一些几何题，如果要求纯几何证明，中间不用代数运算的话，证明过程会变得相当复杂。很多数学爱好者即使用代数计算证明出题目之后，还是希望找到纯几何证明。而《超级画板》所提供的恰恰是纯几何证明，如果嫌其过程繁琐，可以在看懂证明思路之后，再作简化。因为计算机解题“规规矩矩，相当老实”，此时就需要再加工。用《超级画板》推导例6和例7，证明较长，但经过笔者的加工，可得到较精简的证法（由于加工后的证法不具一般性，此处省略）。
例6：如图6，已知CH是Rt△ABC的高（∠C= 90°），且与角平分线AM，BN分别交于P，Q两点。QN，PM的中点分别是E，F。证明： 。（第52届白俄罗斯数学奥林匹克（决赛A类））
           
例7：如图7，圆 和圆 相交于B、C两点，且BC是圆 的直径，过点C作圆 的切线，交圆 于另一点A，连接AB交圆 于另一点E，连接CE并延长，交圆 于点F。设点H为线段AF上的任意一点，连接HE并延长，交圆 于点G，连接BG并延长与AC的延长线交于点D，求证： （2002年中国女子数学奥林匹克）。
例8：如图8，作出五角星ABCDE，产生5个交点G、H、I、J、F；再分别作△AGF、△DHG、△BIH、△EJI、△CFJ的外接圆；这5个圆生成5个新的交点M、N、P、K、L；求证：M、N、P、K、L五点共圆。

例8是一道经典的平面几何问题，难度较大。江泽民主席在澳门视察工作时，曾给中学生出过这道题。从证明的结构图来看，要证五点共圆，只需证两次四点共圆。根据结构图，我们可以比较容易地整理出证明过程。
辅助线在证明几何题中所起的作用是不言而喻。但添加辅助线属于人的高级智慧，需要“灵机一动”，目前的计算机在这一点上还属于很初级的水平，但我们也在作一些尝试和努力，而且已经有了初步成果，否则很多题目是不可能解答出来的。譬如，在推导例6和例8的过程中，《超级画板》会自动弹出一个对话框“DO you append auxiliary-line？（需要添加辅助线么？）”，此时选择“（是（Y））”计算机就会自动添加一些可能的辅助线。
有时，一些题目用自动推理不能直接到位，但并不能因此就否定自动推理。我们可以将已经推导出的一些信息加工整理，进行交互性解题。下面给出这样的两个例子。
例9：如图9，已知△ABD中，两高AF、DC交于点G，AB＝CD，点E是AB中点。求证： 。
此题用《超级画板》自动推理不能直接到位。但可推导出 ，将 与其他已知条件输入程序区，最后输入需要计算的 ，执行之后即可得结果（图10），这说明《超级画板》的符号运算功能对自动推理起到了很大的帮助。
                 
    笔者的朋友在上海介绍《超级画板》的时候，一位老师提出了下面这个问题。
例10：如图11，已知ABCD为菱形， ，点E为BC延长线上的一点，连接并延长ED使之与BA直线交于点F，点G是AE和FC的交点。求证： 。

证明：
[0]:    AB = AC
[1]:    AB/AF=DE/DF
[2]:    AC/AF=DE/DF                            (0  1)
[3]:    BC = AC                            (0)
[4]:    BC/CE=DF/DE
[5]:    AC/CE=DF/DE                            (3  4)
[6]:    AC/AF=CE/AC                            (2  5)
[7]:    ∠ECA = ∠CAF
[8]:    △ACE∽△FAC                            (7  6)
[9]:    ∠AEB = ∠FCA                            (8)
[10]:    ∠AEB = ∠EAD
[11]:    ∠FCA = ∠EAD                            (10  9)
[12]:    ∠DAF = ∠ACB
[13]:    ∠FCB = ∠EAF                            (11  12)
[14]:    ∠BAE+∠EAF = 180°
[15]:    ∠BAE+∠FCB = 180°                            (13  14)
经尝试发现直接推导 不能实现，但可以推导出 。我们将之与已知条件 结合起来，轻松解出 。
需要说明的是，我国自主研发的智能教育平台系列产品的自动推理功能相当强大，在全世界都属于领先水平；不单是本文所介绍的解决平面几何问题，还可以解决解析几何，立体几何问题以及三角函数化简求值问题。而另一方面，由于从计算机的发明到现在也只有几十年的时间，人工智能的发展还处于起步阶段。尽管在人工智能的各个分支中，计算机解几何题的研究相对完善一些，但还有大量的工作等着我们去做。至于自动推理功能会给中学数学教学带来什么新的变化，我们将另撰他文探讨。

参考文献：
[1] Ulrich Kortenkamp. Foundations of Dynamic Geometry. Federal Institute of Technology Zurich, Dipl -Math Swiss, 1999.
[2] Nicholas Jackiw. The Geometer’s Sketchpad. Key Curriculum Press, Berkeley, 1991–1995.  
[3] Jean-Marie Laborde and Franck Bellemain. Cabri-Geometry II. Texas Instruments, 1993–1998. Copyright Texas Instruments and Universit′e Joseph Fourier, CNRS.
[4] J¨urgen Richter-Gebert and Ulrich Kortenkamp. The interactive geometry software Cinderella. Book & CD-ROM, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1999. First commercial release of the Cinderella software.
[5] Kortenkamp, U. and J. Richter-Gebert, Using automatic theorem proving to improve the usability of geometry software, in: Mathematical User Interfaces, 2004.
[6] Sean Wilson and Jacques D. Fleuriot, Combining Dynamic Geometry, Automated Geometry Theorem Proving and Diagrammatic Proofs, Email: [email]sean.wilson@ed.ac.uk[/email] ,  [email]jacques.fleuriot@ed.ac.uk[/email]
[7] Markus Hohenwarter and Karl Fuchs, Combination of dynamic geometry, algebra and calculus in the software system GeoGebra，[url]http://www.geogebra.at[/url]
[8] Ulrich Kortenkamp. The Future of Mathematical Software, [url]http://kortenkamps.net/tiki-index.php[/url]
[9]李传中，左传波.超级画板范例教程.北京：科学出版社,2004.[/color].

[tt9]

[[i] 本帖最后由 steven的妈妈 于 2008-3-25 23:24 编辑 [/i]].

记一位天才少年frankvista

frankvista名字叫毛周行，今年才初二，我与他还没见过面。不过我们在网上神交已久了，这是昨天他与我的一次QQ对话：

[color=Magenta]Frank阿米 19:19:37
近世几何学初编里面有许多难懂的繁体字

Frank阿米 19:20:10
我不明白是什么意思

老封 19:21:57
字都认识，可意思有点含糊呵呵

Frank阿米 19:22:41
字我不太认识

Frank阿米 19:24:04
他里面的繁体字比梁的书的繁体字难懂 不知道为什么

老封 19:24:01
“任二点之连结线，与关于已知三角形等角共轭点之连结线，其对于三角形任顶点之角为相等或为补角。”

Frank阿米 19:25:40
好像也不明白是什么意思

老封 19:26:18
是的，以前有人指出这书译得较差，李俨先生在几何方面是外行

老封 19:26:36
但原著找不到

Frank阿米 19:30:28
我在研究一个问题:
三角形ABC中,(D1,D2),(E1,E2)是等角共轭点,且D1D2//E1E2,那么D1,E1满足怎样的规则

老封 19:31:46
D1和D2等角共轭点，且E1和E2也等角共轭点？

Frank阿米 19:32:11
对吧

老封 19:34:44
这个问题太一般，很难回答。应该和三次曲线有关

老封 19:35:43
D1、D2确定后，E的轨迹是三次曲线，总过内心和三个旁心

老封 19:36:07
也过D1、D2

老封 19:36:24
再加上三个顶点

Frank阿米 19:37:47
近代的三角形研究里面有许多关系都和三次曲线有关

老封 19:38:01
十点就能确定三次曲线了，现在还有一个自由度

老封 19:38:08
是的

Frank阿米 19:38:57
我记得有根三次曲线过很多特殊点

老封 19:38:57
我一直没能力给出一般的三次曲线的几何画板作法

老封 19:42:59
要一对等角共轭点连线经过定点，轨迹也是三次曲线

老封 19:43:22
这是平行的推广，因为平行就是经过一个无穷远点

Frank阿米 19:51:37
三次曲线比较常用,我上次看到数论中都有应用

老封 19:52:04
数论中的三次曲线要深刻得多

Frank阿米 19:53:17
我看见有个方程叫做Weierstrass方程

老封 19:53:31
这我不熟

Frank阿米 19:54:36
这很难,我99,99%看不懂的

Frank阿米 19:56:03
这东西是人家专门研究数论的人研究的,^_^

老封 19:57:02
是的，代数数论是最难的

Frank阿米 20:03:48
前两天你发给我钟建国老师的结论在哪里出问题了?还是我的作图出问题?

老封 20:06:03
我这两天一直还没画图呢，呵呵

Frank阿米 20:07:07
这样可以省力些

文件“zjg.gsp”已经成功接收。
打开文件 打开文件夹 转存至QQ网络硬盘

Frank阿米 20:12:59
还有我实在不明白筝形定理和射影得关系.因为筝形不是射影等价类,估计对于一般四边形都有怎样得关系.能不能明示一下,这样可以去找资料

老封 20:14:22
我解释不清

Frank阿米 20:14:58
那么有没有相关资料

老封 20:15:53
就是一次射影对应的代数关系，与筝形应该没什么关系

Frank阿米 20:16:33
一次射影好像有一个分式线性方程,

老封 20:16:50
你这图确实错了，是AG而不是AC与圆的交点

Frank阿米 20:17:18
哦,怪不得觉得不对

老封 20:17:46
以后我在论坛上发一个蝴蝶定理的帖吧，详细解释一下 这事

Frank阿米 20:20:24
原来是他打错了

老封 20:20:30
呵呵

Frank阿米 20:30:55
这样是不是极易证了

老封 20:31:07
是的

Frank阿米 20:32:04


Frank阿米 20:32:10
好像这样就结束了

老封 20:32:57
有了配极关系，很多几何题就容易了

Frank阿米 20:34:25
哦?用配极?我再想想......我是这样考虑得:已知条件相当于EJFM,EMHG是调和四边形,求证EM,JH,FG两者平行就三者平行

Frank阿米 20:34:55
本质和我前两天那道题目略有推广.我得题目相当于:FG重合!

老封 20:35:13
是的

Frank阿米 20:36:07
过一会儿我看看您得证法是怎么回事

老封 20:36:27
大同小异

Frank阿米 20:39:07
和我很早得一道题目很像[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4184165&thesisid=494&flag=topic1[/url]

Frank阿米 20:39:31
不过这道题目有更加简洁得证法,但是很莫名其妙

Frank阿米 20:40:43
哦,对了Brianchon定理您说有一种很简洁得证明,手头有资料么?

老封 20:41:07
没电子的

Frank阿米 20:41:35
能扫描仪么

老封 20:41:42
我画一个试试

老封 20:41:54
你有空挂到论坛上

Frank阿米 20:44:50
^_^,我尽力而为

文件“08032304.gsp”(16.7KB)已经发送完毕。

Frank阿米 20:52:58
我突然发现有件事情很奇怪,就是说如果我们已经了解了一道题目类似题目得证法(即使很复杂),然后再作这道题目就不经意会说极易证

老封 20:53:25
那不一定

Frank阿米 20:54:32
至少在我们一辈这种事情很常见.比如说我问同学题目,凡他们做过得而且现场可以作出来皆云"极易证"

Frank阿米 20:55:18
给出得图我好像不明白

Frank阿米 20:55:55
问一下:是不是把AD,BE,CF构造成三个

Frank阿米 20:56:00
根轴

老封 20:56:40
六条绿色的相等线段是截取的，长度任意，再作三圆，对角线就成了这三圆的根轴！

Frank阿米 20:58:18
问一下证明过程中用了哪些定理

老封 20:58:46
就用了根心定理，另外就是两圆的外公切线长相等

Frank阿米 20:59:49
根心定理 我似乎不太清楚怎么证明 我只知道特殊情况 公共弦 怎么证明

老封 21:00:54
用轨迹说明，到两圆幂相等的点全在一直线上

Frank阿米 21:01:30
我回头在看看

老封 21:03:32
Brianchon定理的这种证法极为漂亮，是很后来才发现的

Frank阿米 21:03:52
EOO1共线对不

老封 21:04:12
no

Frank阿米 21:05:09
哦?我怎么发现是共线得,而且恒共线

老封 21:05:36
O是什么
…… [/color]


倘若不经我的说明，人们准会以这是位专业的几何工作者，呵呵。

这让人联想到数学英才Pascal，他在16岁那年发现了射影几何中的重要定理。可Frank今年才14，真是前途无量！

田廷彦在邮件中也说:

[color=Magenta]我看这个论坛中毛周行批评我是比较厉害，我其实欣赏这种带有实质性的正确批评，不过想到他将来的棱角也会被磨成鹅卵石，这个过程在太多人身上重复发生，确实感到人生有点无聊。[/color]

呵呵，后生可畏啊。


Frank去年在上海市初三数学竞赛中获得二等奖。这是他与同学林天齐在一起的合影：.

去报名,没个人,搞不懂,正常吗下午三点多.

回复 421#duiduimama 的帖子

老封送你一本签名书[tt2].

[quote]原帖由 [i]duiduimama[/i] 于 2008-3-27 19:44 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2665249&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
去报名,没个人,搞不懂,正常吗下午三点多 [/quote]

这是很不应该的。老封答应赠书，呵呵.

名报好了.老师的书一定要的.先谢过.

想报名几何培训班而不是报名免费讲座（因13日下午有事），请教如何报名？.

[quote]原帖由 [i]宝儿[/i] 于 2008-3-31 12:23 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2677140&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
想报名几何培训班而不是报名免费讲座（因13日下午有事），请教如何报名？ [/quote]

请电话联系JW吧。.

回复 426#老封 的帖子

:handshake ，不过还想问个很菜的问题，谁是JVV？能发个短消息我吗？.

老封的平面几何公开讲座

上周日（4月13日），在精文进修学院内，老封启动了“奇妙而有趣的几何——教你学会几何画板”公开讲座系列。吸引了上海市的数十名低年级小朋友前来听讲。

第一讲的内容是展示了几何世界优美的一面，并初步让孩子了解几何画板的特点。

在短短1个半小时的时间里，老封画出了很多有趣的图形，然后教小朋友在几何画板中怎样建立工具，例如画一个正方形：

接着探索了由费嘉彦同学发现的一个新的图形性质。费嘉彦是位初二的同学，很善于思考问题，他及时捕捉到了一些有趣的性质。

著名奥数专家余应龙先生、论坛的副版主yunxiu及老猫老师应邀光临，他们也饶有兴致的上起了课，孩子们更是听得不亦乐乎。

老封今后还打算定期举办这类免费、义务的公益性讲座，旨在让更多的中小学生学会使用几何画板，借此传播数学文化。

本周的第二讲照常举办，只是时间略作调整，改为周日（4月20日）上午9：30～11：00. 欢迎爱好者踊跃参加！.

公开讲座

讲座内容：.

公开讲座

讲座内容：.

讲座场景：.

余老师,:lol.

中国数学奥林匹克泰斗人物 单墫教授光临指导，为大家举办公开讲座！

[color=Red][size=7]明天上午，中国数学奥林匹克的泰斗单墫教授将光临精文进修学院，为大家举办公开讲座！

欢迎本市中小学生踊跃参加，一睹大师风采。[/size][/color]

[size=5]时间：4月20日上午9：30——11：00

地点：胶州路941号长久大厦15层（近长寿路），上海精文进修学院内。

问询电话：62667011[/size].

遗憾昨天众所期待的单老师公开课未能如期举办。原因是前一天应一家出版社的盛邀，单老被留吃晚饭到了很晚，赶到目的地时已很是疲惫。考虑到他的身体原因，学院将会改期专程特邀单老前来，再次举办类似活动。

下面是单老在学院留影，并欣然为学院题辞：

[[i] 本帖最后由 老封 于 2008-4-21 15:02 编辑 [/i]].

[quote]原帖由 [i]老封[/i] 于 2008-4-21 14:28 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=2775226&ptid=4419985][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
遗憾昨天众所期待的单老师公开课未能如期举办。原因是前一天应一家出版社的盛邀，单老被留吃晚饭到了很晚，赶到目的地时已很是疲惫。考虑到他的身体原因，学院将会改期专程特邀单老前来，再次举办类似活动。

下面 ... [/quote]
是2007年的？.

是的，这是去年学院起动伊始，单老前来指导时的留影。

这回单老是受其他单位邀请来沪的，本打算光临学院，但因身体原因临时取消了.

殷切的期望

五四寄语：.

方校长，20年前的事了。.

中国知识分子任重而道远（葛之）

男人就是除了小家庭，还要有强烈的社会责任感，难道一定要外表高大威猛，才算是真男人吗？

最近几年我一直想到陈独秀、鲁迅、粱启超、孙中山这些伟大先贤，他们的信念和口号在中学读历史时是为了应付考试而背诵的，但是现在工作了，才深深地感受到他们的存在，内心越发激荡而心向崇敬之情。我还想到林觉民这个人，他写《与妻书》是为了革命放弃家庭，这也是那个时代的创举。因为中国人向来就是用小家庭意识来叫人规规矩矩的，李鬼见到李逵说的话还不典型？当然，这倒也有好处，宗教极端势力在中国没有市场，我可以放心地去坐地铁……

中国人的封建意识实在是太顽固了，今天也没有完全改变。专制等级制度把中国人的价值观完全压缩成两点：升官发财，传宗接代。我承认，这两点也是符合人性的，对多数人也是重要的，尽管我本人对此兴趣不大，以至于从中学开始一直到现在跟主流价值观对抗而落到今天这个地步而不后悔。但中国人好象在行为上并不那么中庸，所谓“吃得苦中苦，方为人上人”多少是腐朽甚至变态的。科学、艺术竟没有独立价值，这就比较过分了。人的创造力被无情扼杀，有没有才能根本不要紧。直到今天，要知道这些观念在中国人心目中——无论是政府官员还是小老百姓——多么有市场，只要听听他们平时整天在说什么就知道得一清二楚了！！！全世界都在笑话中国，中国人好象还是挺无所谓的样子。

中国也不是没有机会。当20世纪初，先贤们打开一扇窗户，看到有一丝曙光透进来，那便是科学和民主。万分可惜的是，西方的历史与中国的历史发生了错位。当中国刚刚开始认识到科学对于国人是多么需要的时候，当中国正准备接受科学几百年的洗礼的时候，
西方的状况偏偏是开始批判科学，自从非理性主义、存在主义、虚无主义和后现代主义出现后，科学的地位就开始走下坡路。现在落得这个状况，正是因为我们一方面完全被西方的历史牵着鼻子走，另一方面对自己的过去又来不及反思。或者说，我们打开国门实在是太晚了一点，我们来不及整理、整合所有的旧东西和新东西，一切都还是比较混乱的。现在依然如此。

我们发明火药、指南针、八卦等都是为了玩，为了搞迷信，人家就去地理大发现，就去开拓疆域，就去发明二进制和计算机。从历史上看，东方和西方本来就是循着两条截然不同的路径，但是目前的状况是，他们的历史一步一步走得很有章法，而我们却被打乱得找不到方向。道理很简单，因为我们落后；为什么落后，因为不希望老百姓有才能。

当我在1989年的电台里第一次听到方励之的名字时，颇有些惊讶，因为我看过他和夫人的书《宇宙的创生》，觉得他们在物理上很有想法，但是一个搞天文宇宙学的人似乎是比较超脱漠世的，怎么会来关心社会政治呢？当时人们都说，方励之是不是有点像苏联的萨哈罗夫。

后来在大学里，我还是读到了吴国盛的夸奖方励之的文章，还有方的《哲学是物理学的工具》，这样的口气很有挑逗性质，因为方反对的不是哲学本身，而是当时的哲学教条主义对思想的统治，现在是好一点了……

一般来说，在自然科学家中，搞物理的想法最多。不过，我在老封家里看到这两封信的时候，也略为改变了这样的看法……估计现在吴国盛胆子要小多了，北大现在嘛，不说了…….

矫枉过正不太符合国情，目前的状态还是很合理的，20年前是难以想象。
微观的看，几乎处处不合理，每一步都显得愚笨。但是为什么我们能一直以世界上的最高斜率向前发展？存在的就是合理的。

上善若水，水善利万物而不争，处众人之所恶，故几于道。.

老封，那时后正是方校长落难的时候，这两封信的背景是怎样的？
《哲学是物理学的工具》这本书俺一直收藏着。。。.

痛悼史树中教授

[size=5]惊闻噩耗：史树中教授突然去世。[/size]
[url]http://forum.cnool.net/thesis.jsp?thesisid=494[/url]


史树中教授于2008 年5月7日晨7时在北京不幸逝世,享年68岁。他是国内著名数学家、金融学家。曾担任中国数学会常务理事，中国数学会传播工作委员会主任。
史教授是“通俗数学名著译丛”的主编，我国数学文化传播的泰斗人物！


史树中，北京大学光华管理学院金融系教授。浙江镇海（今宁波）人。１９６１年毕业于上海华东师范大学数学系，毕业后留校任教。后调至天津南开大学数学系数学研究所，长期从事纯粹的数学研究和教学，在金融数学和经济数学领域有较深造诣。最后又从南开大学数学研究所调到北京大学筹建金融数学与金融工程研究中心，去世前任职于北京大学光华管理学院，曾任系主任。

１９７９年至１９８１年在法国巴黎法兰西学院进修。从事泛函分析、非光滑分析、微分包含和经济数学方面研究。撰有论文《关于广义梯度的注记》、《可分Ｂａｎａｃｈ空间上的局部Ｌｉｐｃｈｉｔｚ函数的可微性》、《集值映射的殆半连续性》。


有人回忆说：

史教授很有才，很有学术功底，但那还感动不了我们，有学问的人多着哩！有的不那么好打交道，有的甚至人品也不怎么好……

人与人相处，真正能引起感动的是他的热心。

史教授走了，中国大地上又少了位真正有学问的人，这是一个大损失；中国大地上又少了位既有真学问又没有学者架子、愿意平等交流、乐于助人的人，这是一个重大损失！.

史树中教授在百家讲坛

史树中教授在百家讲坛.

许三宝老师也去世了！.

下一位是曾容老师：

[url]http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=6680429&thesisid=494&flag=topic1[/url].

陈永明教授新著出版了

[color=Red][b][size=4]名师介绍[/size][/b][/color]
    陈永明曾任上海市中学数学继续教育中心组副组长，教育部中学数学教师继续教育项目组组员，现在是全国高师数学教育研究会理事，全国教育数学学会理事。1992年起享受政府特殊津贴，1996年获曾宪梓三等奖。陈永明遵纪守法，作风正派，为人和蔼。他一直在数学教学和研究的岗位上辛勤工作。早年他在中学任教，后来又在教师进修岗位上工作了30年。
    数学教学方面：
    陈永明一贯主张重视学生素质的培养，也主张让教师的个性得到充分的发展。早在90年代初，他就发表文章阐明自己的观点。长期以来，他形成了深入浅出，联系实际，分析透彻，注重组织师生互动的教学风格。1989年春，他开出了上海市第一门继续教育的课程《数学教学逻辑》，期间没有一个流生。课程结束时，市教育局前来听课评课，看到学员参与讨论的热情是如此的高，无不感到吃惊。他曾应邀在上海教育电视台和中央电视大学授课101节；曾2次为全国继续教育会议开公开课；录制数学教师继续教育课《“每一个”和“有一个”》，参加教育部师范司优秀课展示。
    数学教学研究方面：
    陈永明至今已经出版著作40种，论文50多篇，其中包括发表在《数学教育学报》上的2篇论文，在《数学通报》上的3篇论文，和市小学教师大专的教材，市中学教师继续教育教材等。他的研究都有一个特点，那就是密切联系数学教学实际，力图用理论去解决一两个实际问题。研究方向有3个：大中学数学衔接，数学教学中逻辑问题和语言问题，其中主要有：
    《高等数学引桥》，该书论述大中学数学的衔接。
    《数学教学逻辑》，市“八五”中学数学教师继续教育教材，后被推荐为全国中学数学教师继续教育教材。
    《数学教学中的语言问题》，市“九五”中学数学教师继续教育教材，1998年被评为市A类课程，即市重点课程，2001年被评为全国数学教育类图书一等奖。
    《图形计算器在理科教学中的应用研究》，上海市教育科研项目，主持人。2004年结题。
    《平均值原理》，《数学通报》，内容为新教材所引用。
    数学教师培训的组织方面：
    陈永明在“八五”期间，担任上海市初中数学教师继续教育中心组组长，主持了上海市初中数学教师继续教育培训方案的制定、课程的试点和编写、总结等工作。该组是上海市各继续教育中心组中工作开展得最好的组之一。全市第一门继续教育课程，就是他的《数学教学逻辑》。在“九五”期间他担任上海市中学数学教师继续教育中心组副组长，又推出了《数学教学中的语言问题》新课程，对全市的继续教育工作有一定的推动作用。
    他能够带动大家做好这项工作的原因，除了他的业务水平，是他的人格魅力，最突出的是他在13门课程的研讨中都积极出谋划策，但他只在他自己主编的教材上署名。
    数学普及方面：
    陈永明是有成绩的科普作家。他是上海市科普作协会员，成绩主要有：
    《1+1=10——漫谈二进制数》获上海市科普作品奖；
    《数学脑袋探秘》被选为希望工程丛书。.

《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》第2版推出

全书对1978-2009年间的全国数学联赛中的一百余道平面几何试题进行了诠释，每道试题给出了尽可能多的解法（多的近30种）及命题背景，以82个专题讲座的形式对试题所涉及的有关知识或相关背景进行了深入探讨，揭示了平面几何试题的有关命题途径。由湖南师范大学沈文选教授主编，哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室出版。

一册在手，解题不愁。

[b]全书上、下册共一千多页，定价为98元，欲购者可与哈尔滨市南岗区复华四道街10号哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室联系（邮政编码：150006）

联系电话：0451-86281378，13904613167
E-mail：[email]lpj1378@yahoo.com.cn[/email] [/b].

又出了几本新的，见这里：

[url=http://bbs.cnool.net/topic_show.jsp?id=10946739&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1]刘培杰数学工作室[/url].

今年菲尔兹奖揭晓了

昨天，从印度Hyderabad举行的国际数学家大会上传来消息：本年度的菲尔兹奖授予了四位数学家：耶路撒冷希伯来大学的Elon Lindenstrauss（40岁），巴黎第十一大学的越南数学家吴宝珠（37岁），日内瓦大学的俄罗斯数学家Stanislav Smirnov（39岁），法国庞加莱研究所的Cédric Villani（36岁）。

菲尔兹奖被认为是数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，获奖者必须是未满四十岁的年轻数学家。

国际数学联盟在颁奖词中称，Lindenstrauss在遍历理论中取得了突出进展。而吴宝珠的贡献是证明了罗伯特·朗兰兹和戴安娜·谢尔斯塔德的基本引理，年轻时他曾经获得了第29届和第30届国际数学奥林匹克金牌，2005年他成为巴黎第十一大学教授，目前在普林斯顿高等研究院；Smirnov的贡献是统计物理学；Villani的工作是“在数学和物理之间建立深入联系，尤其是在熵的概念上”。 国际数学家大会还宣布计算机科学相关的尼纳奖（Rolf Nevanlinna Prize），得主是耶鲁的Daniel Spielman，以奖励他在线性规划和纠错码方面的贡献。应用数学相关的高斯奖授予了法国数学家Yves Meyer，他在小波理论上的进展是JPEG 2000图像压缩标准的基础。新设立的奖金为50万美元的陈省身奖授予了纽约大学的Louis Nirenberg。 （[url]http://science.solidot.org/science/10/08/19/099259.shtml[/url]）

越南数学家[b][color=Red]吴宝珠[/color][/b]工作极难，他与[b][color=Red]佩雷尔曼、陶哲轩[/color][/b]是当代数学三杰，三人都是IMO金牌得主，佩是满分，16岁时；吴可能被扣1分或满分，15或16岁；陶与吴一起参加一次IMO，最后一题没做出，当然他当时不到13岁。当时得金牌的中国人[b][color=Red]何宏宇[/color][/b]与[b][color=Red]陈xi[/color][/b]好像现在没声音了



陶哲轩不久前参加国内的青少年活动：

[[i] 本帖最后由 老封 于 2010-8-20 08:45 编辑 [/i]].

回复 449#老封 的帖子

女二现在初二,最近对数学学习兴趣很浓,很想拜您为师,不知老封老师最近是否有开几何方面的课程呢?.

:D.

相见恨晚的帖子。.

老封几何课程

老封几何课程

老封几何课程

老封几何课程

老封几何课程

您好!给您发了短信,希望得到回复,谢谢!

请问浦西有教学点吗（初一）

浦西在虹口足球场附近，56718511 ，

回复 460楼老封 的帖子

请问浦西只有这一个点吗？

回复 460楼老封 的帖子

太好了，谢谢！[em01] 我马上打电话问问寒假里有入门班吗。

寒假没有，春季有的，谢谢老师！

我家孩子喜欢老封的课，来为老封加油！